D E T E R M I N A N T E S M A T R I Z I N V E R S A

Transcripción

1 º DE BACHILLERATO DETERMINANTES D E T E R M I N A N T E S M A T R I Z I N V E R S A DETERMINANTES I. Determites. II. Primers pliioes de los determites. I. Determites.. Defiió álulo de u determite. ) Defiió.- Siedo E u espio vetoril de dimesió sore el uerpo omuttivo K referido u se i vlor pr, eiste u úi form -lel lterd defid sore E que tom el. Su vlor pr,, se llm determite de,, se l represet por det,, o por,, respeto l se i d lugr ofusió ) Determite de u mtri udrd A de orde sore K. ) Apliió = =.. Primers propieddes de los determites. i det,, si o ) Regl de l dulidd. ) Si A tiee u líe ul, etoes det(a) =. ) Si B se otiee termdo dos líes de A, etoes det(b) = - det(a). d) Si A tiee dos líes prlels igules, etoes det(a) =. e) Propiedd de l sum (ª propiedd de -lelidd). f) Si B se otiee de multiplir u líe de A por u mismo eslr k, etoes det(b) = k det(a) (ª propiedd de -lelidd). g) Permutió de líes. h) Sustituió de u líe por u omió lel de líes. i) U determite es ulo si sólo si los vetores fil o vetores olum form u sistem ligdo.. Determite del produto de mtries.. Desrrollo de u determite o relió los elemetos de u líe. ) Adjutos (o oftores) meores omplemetrios. ) Apliió l álulo de determites.

2 -- ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA º DE BACHILLERATO ) Determite de u mtri trgulr. II. Primers pliioes de los determites.. Regl de Crmer. Si A es vertile A =, etoes i det Ai dode det( A) sustituir l olum i-ésim de A por el vetor olum. Cálulo de l mtri vers. Si A es vertile A T dj A dode dj A A i j ij dij det( A) ij A es l mtri que se otiee l i DESARROLLO DE ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.- El determite de u mtri oide o el determite de su trspuests: A A T.- Si e u determite se m etre sí dos líes prlels, el determite mi de sigo pero oserv el mismo vlor soluto. h k h k h k k h k h = k h.- U determite que tiee dos líes prlels igules vle ero. Es oseuei de l propiedd terior. Si termimos dos líes igules, por u prte el determite o dee mir pues se trt del mismo determite, pero por otr prte, l mir del orde de dos líes el sigo dee mir, es deir: A A A.- Si e u determite los elemetos de u de sus líes so ulos, el determite vle ero. Bstrí desrrollr por es líe..- Si se multipl los elemeto de u líe por u úmero, el determite qued multiplido por ese úmero. k k k i i k i i Pr demostrrlo tmié strí o desrrollr por es líe.

3 º DE BACHILLERATO DETERMINANTES.- Si los elemetos de dos líes prlels so proporioles, el determite es ulo: k i i k i i k i i i i i i k k i i 7.- Si e u determite los elemetos de u líe so l sum de dos sumdos, este determite se puede desompoer e sum de otros dos, que eepió de l líe uos elemetos está formdos por dos sumdos, oide o el determite ddo. L líe e uestió, e el primer determite de l desomposiió está formd por los primeros sumdos, e el segudo por los segudos: Tmié e este so strí desrrollr el determite por l fil que es sum de dos sumdos. 8.- Si los elemetos de u líe so omió lel de los elemetos de ls otrs, el determite vles ero. = i j i j i i j j i i i i = j j j j i i j j 9.- Si los elemetos de u líe se les sum u omió lel formd o los elemetos de u o más líes prlels, el vlor del determite o vrí. El determite oteido se puede desompoer e sum de dos:

4 -- ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA º DE BACHILLERATO i j i j i i j j = i i j j + i j i j i i j j Por l propiedd 8, el segudo sumdo vle ero. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Comprue que se verif ls siguietes igulddes: ) 9 ) ) 9 e) t se os os f) se t os se d). Siedo que, lul s desrrollr el vlor de los siguietes determites: ) ) ). Siedo que k, utildo ls propieddes de los determites euetr:

5 º DE BACHILLERATO DETERMINANTES ) ) ). Demuestr, s desrrollr, que los determites: respetivmete. 7 so múltiplos de. Teiedo e uet que 99, 8 7 so múltiplos de, prue s desrrollr que el 9 9 determite 8 tmié lo es 7. Eotrr el vlor de los siguietes determites de Vdermode: ) ) d d d ) Euetr el vlor de los siguietes determites: ) ) ) 8. S desrrollr los determites, demuestr ls siguietes igulddes: ) ) ) se se se ( ) d) os os os se( ) se( ) se( ) d e f ( )( d )( f ) 9. Si A M siedo A, uáto vle A?. Y si A es u mtri de orde?.. Supogmos,, so ls olums de u mtri udrd de orde, uo determite vle. Euetr rodmete : ) El determite de l mtri A. ) El determite de l mtri A

6 -- ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA º DE BACHILLERATO ) El determite de u mtri us olums so :,,.. Si A B so mtries udrds de orde, es ierto que A B B A?. Y si A B fuer de orde?. Es e ulquier so A B A A B B?. Eotrr l vers de ls siguietes mtries: ) ) ) d) os se se os. Pr qué vlores de e l mtri A o tiee vers?.. Resolver ls siguietes euioes mtriiles: ) X ) ) A 9. Dd l mtri A m, verigu pr qué vlores de m A tiee vers lul A m pr m. Si A u mtri que verifi: A I A, desmostrr que A es u mtri regulr A 7. Euetr u respuest rod ls siguietes uestioes: ) A es u mtri que verifi A A. Qué vlores puede teer A?. ) Si A es u mtri ortogol, que vlores puede tomr A?. ) Si A es u mtri udrd de orde Adj A es l mtri formd por los djutos de A, uáto vle Adj A? 8. Euetr el rgo de ls siguietes mtries: ) 8 9 ) 8

7 º DE BACHILLERATO DETERMINANTES 7 ) 8 9 d) 9. Estudir, e fuió del prámetro orrespodiete, el rgo de ls siguietes mtries: ) h h ) ) d) CUESTIONES PROPUESTAS EN SELECTIVIDAD. Apldo ls propieddes de los determites, omprue que: ). Epres el determite e fuió de, siedo: l k h l k h l k h. S desrrollr, demuestr: ) ). Euetr el vlor de los siguietes determites: ) ) )

8 -8- ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA º DE BACHILLERATO m m. Demuestr que l mtri A tiee vers euétrl. m. Hll los vlores de pr los ules l mtri A o tiee vers A. 7. Si l mtri B tiee rgo, puede l mtri C d e f d e f teer d e f tmié rgo?. Róese.