Definiciones. Los valores de los términos necesarios para empezar a calcular se llaman condiciones iniciales.

Transcripción

1 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez RELCIONES DE RECURRENCI Defiiioes Relió de reurrei o reursiv pr l suesió { } es u epresió que relio el térmio geerl de l suesió o uo o más de los térmios preedetes,. Los vlores de los térmios eesrios pr empezr lulr se llm odiioes iiiles.

2 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplos ) Suesioes geométris =r =r ejemplo: { } = {,, 4, 8, 6,, 64, 8, 6, } ) Suesioes ritmétis = + d = + ( ) d ejemplo: { } = {, 4, 7, 0,, 6, 9,,, 8, }

3 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez ) Se l relió reursiv = y =, = y, etoes { } = {,,,,,,, } es u suesió que stisfe l relió reursiv. 4) L suesió { =} es soluió de l relió reursiv =

4 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez ) U perso deposit e u uet bri que le proporio u iterés ul del %. Si los itereses se bo e l mism uet, uáto diero hbrá e l uet l bo de 0 ños? 4

5 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Soluió: Se el sldo de l uet u vez trsurridos ños, etoes l suesió { } stisfe l relió reursiv = + 0,00 =,0, 0 = por tto = (,0 ) 0 0 = 8.06,

6 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Defiiioes reursivs Ejemplo Se rets e el plo, de mer que d ret ort ls teriores y o hy tres rets oiidetes e el mismo puto, ) uáts regioes defie? soluió: dfiiió defiiió reursiv, ) uáts regioes ifiits defie? soluió: b b b, defiiió reursiv 6

7 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Defiiió Relió de reurrei liel de orde l form es u relió de ( ) ( ) ( ) g( ) dode i,...,, i :, g : Si g() =0, N, etoes es u relió homogée. 7

8 Reurreis lieles homogées o oefiietes osttes poliomio rterístio p ) ( ríes rterístis so ls ríes del poliomio rterístio 8 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

9 Teorem Teorem es ríz del poliomio rterístio. es ríz del poliomio rterístio p ) ( si y sólo si es soluió de l relió de reurrei p ) ( si y sólo si es soluió de l relió de reurrei 9 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

10 Demostrió es ríz de p ) (. es ríz de 0 p ) ( 0 es soluió de l relió de reurrei es soluió de l relió de reurrei 0 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

11 Teorem. Si es ríz o multipliidd r > del poliomio p ) ( etoes {,,,..., r } so soluioes de l relió de reurrei Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

12 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Teorem. Si, y so soluioes de l relió de reurrei, y etoes { + y,, } so soluioes de l mism reurrei. rrei

13 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplo: Suesió de Fiboi Leordo de Pis ( 7 0 ) e Liber bi. Se tiee u prej de oejos, mho y hembr, reié idos; l fil del segudo mes y de meses suesivos, d hembr d luz u prej de oejos, mho y hembr. Cuáts prejs de oejos hbrá l fil de meses?

14 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez 4

15 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez : reié idos : jóvees C : dultos fi º mes = fi º mes = fi º mes C = fi 4º mes C 4 = fi º mes C C = fi 6º mes C C C 6 =8 Si es el úmero de prejs de oejos l fi del mes, etoes = +

16 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez L suesió de Fiboi { } verifi l reurrei, El poliomio rterístio es p() = uys ríes so, , etoes l soluió geerl de l reurrei es 6

17 dode, debe umplir ls odiioes iiiles, Por tto, l soluió o ls odiioes iiiles es 7 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

18 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplo: Suesió de Édourdd Lus (84 89) E Ivestigioes sobre vris obrs de Leordo de Pis y sobre diversos tems de ritméti superior (877), l suesió terior, suesió de Fiboi. Ivetó el juego de ls Torres de Hoi. Rérétios mthémtiques (rtíulos publidos ) deomió 8

19 L ió d Éd d L ifi l i L suesió de Édourd Lus verifi l reurrei o, 9 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

20 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplos ) Se osider l reurrei 0 8 6, El poliomio rterístio es p() = uy ríz es = 4 doble etoes l soluió geerl es ( ) 4 dode, debe umplir ls odiioes iiiles , 0

21 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez ) Se osider l reurrei 0, El poliomio rterístio es p()= + uys ríes so = i, = i etoes l soluió geerl es i ( i ) dode, debe umplir ls odiioes iiiles i i 0 i, i

22 Por lo tto Por lo tto, ) ( os ) ( i i osiderdo que os ) ( i i osiderdo que i i e i i se os se os i i e i i se os se os Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

23 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez ) Se el úmero de plbrs de logitud o ls ifrs {0,,,..., 9} que tiee u úmero pr de eros oseutivos. Hllr u relió de reurrei pr lulr.

24 Se ñde u ifr distit de 0 u de válid de ó se ñde u 00 u de válid de. Etoes verifi l reurrei 9 9, Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

25 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez El poliomio rterístio es p()= 9 uys ríes so , etoes l soluió geerl de l reurrei es dode, debe umplir ls odiioes iiiles ,

26 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez 4) U iño tiee moeds igules que quiere gstr e dís suesivos. Se sbe que u bols de plomits uest moed, u pquete de rmelos uest hiles uest moeds. moeds y u pquete de De uáts forms puede efetur el gsto de ls moeds, teiedo e uet el orde de los dís? 6

27 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Se el úmero de forms distits de gstr moeds. = moed p form = moeds pp h forms = moeds ppp p h p = 4 moeds pppp pp h pp p p h forms pp p h p pp h pp h h h h forms 7

28 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Se ñde p l fil de ó se ñde ó h l fil de, El poliomio rterístio es p() ) = uys ríes so =, = etoes l soluió geerl es ( ) dode, debe umplir ls odiioes iiiles 4, 8

29 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Reurreis lieles o homogées o oefiietes osttes g( ) U soluió P () de l euió o homogée terior es u soluió prtiulr udo o se tiee e uet ls odiioes iiiles. 9

30 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez L soluió prtiulr P() se obtiee de l siguiete form:. si g() ( ) es u poliomio i degrdod r etoes P() es u poliomio de grdo r.. si g() es u poliomio de grdo r y + + = etoes P() es upoliomio de grdo r +.. si g() ) =. b o,, b y b o es ríz del poliomio rterístio, P() =. b b es ríz del poliomio rterístio, de multipliidd r, etoes P() = r b 0

31 L soluió geerl de l euió liel o homogée g g se obtiee de l siguiete form: se lul u soluió geerl de l euió homogée. se lul u soluió geerl de l euió homogée. se lul u soluió prtiulr P() de l euió ) ( g. l sum de mbs soluioes es u soluió geerl de l euió ) ( g 4. se obtiee l soluió orrespodiete ls odiioes iiiles ) ( g Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

32 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplos ) Se l reurrei liel o homogée L relió de reurrei liel homogée 6 tiee omo poliomio rterístio f () = 6 uys ríes so, etoes l soluió geerl de l reurrei homogée es ( )

33 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Como g( ) 6 6 es u poliomio de grdo r =, etoes P() es u poliomio de grdo Probmos u soluió prtiulr de l form P () = + b + que sustituid e l relió de reurrei result b b 6 b 0 b 7 0 luego, l soluió prtiulr de l reurrei es P () =

34 L soluió geerl de l euió o homogée es ) ( Ls odiioes iiiles so 0 por tto, l soluió de l reurrei es ) ( 4 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

35 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplos ) Se l reurrei liel o homogée L relió de reurrei liel homogée 6 tiee omo poliomio rterístio f () = 6 uys ríes so, etoes l soluió geerl de l reurrei homogée es ( )

36 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Como g() = y b = o es ríz del poliomio rterístio probremos o u soluió prtiulr de l form P() =. que sustituid e l reurrei result 6 = Luego, l soluió prtiulr de l reurrei es P() = 6

37 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez L soluió geerl de l euió o homogée es ( ) Ls odiioes iiiles so 0 0 0, Por tto, t lsoluiól de l reurreies 7

38 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplos ) Se l reurrei liel o homogée L relió de reurrei liel homogée 6 tiee omo poliomio rterístio f () = 6 uys ríes so, etoes l soluió geerl de l reurrei homogée es ( ) 8

39 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Como g() = y b = es ríz del poliomio rterístio, o, probremos pob oso u soluió prtiulr de l form P()= que sustituid e l reurrei result ( ) 6 ( ) uy soluió es = /. Luego, g, l soluió prtiulr es P( ) 9

40 L soluió geerl de l euió o homogée es ) ( ) ( Ls odiioes iiiles so 0 0 4, Por tto, l soluió de l reurrei es 4 ) ( 4 40 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez

41 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Ejemplo: Torres de Hoi Es u juego formdo por tres vrills vertiles y u úmero idetermido de disos distitos, olodos de myor meor e l primer vrill. El juego osiste e psr todos los disos otr vrill, o l odiió de que o se puede olor igú diso myor sobre uo meor. Cuál es el míimo úmero de movimietos que so eesrios pr trsldr disos? 4

42 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Soluió: El míimo úmero de movimietos verifi l relió de reurrei L relió de reurrei liel homogée tiee omo poliomio i rterístio ti p() ( ) = uy ríz es = etoes l soluió geerl de l euió homogée es = 4

43 Deprtmeto de Mtemáti plid. ETSIIf. UPM. Vitori Zrzos Rodríguez Probmos u soluió prtiulr de l form P() = que sustituid e l reurrei result = + uy soluió es =. Luego, l soluió prtiulr es P() = L soluió geerl de l euió o homogée es = Ls odiioes i iiil iiiles so = = = Por tto, l soluió de l reurrei es = 4