Solución de Recurrencias. Dr. Ivan Olmos Pineda

Transcripción

1 Soluió de Reurreias Dr. Iva Olmos Pieda

2 Coteido Itroduió a la Soluió de Reurreias Téias para la Soluió de Reurreias Por sustituió Reurreias homogéeas Reurreias o homogéeas Cambio de variable Trasformaió de Itervalo

3 Itroduió a la Soluió de Reurreias Determiar el orde de u algoritmo reursivo requiere de u aálisis más miuioso it fat(it ) { if ( 0) retur ; else f ( ) if * f ( ) 0 otherwise retur( * fat(-)); }

4 Téias para la Soluió de Reurreias Existe diversas téias para la soluió de reurreias Ituitivas Basadas e euaioes araterístias Para la mayoría de los asos, utilizado la téia adeuada es posible soluioar ua reurreia

5 Método de Sustituió

6 Sustituió El método más simple y seillo Se va evaluado la reurreia para iertos valores Se dedue, a partir del omportamieto mostrado, ua euaió que represete el omportamieto de la reurreia Se demuestra que la euaió, efetivamete, resuelve a la reurreia

7 Ejemplo Cosidere la siguiete reurreia: si T ( ) 3T ( / ) + si > Cómo resolverla? Primera idea, ostruir ua tabulaió de los valores que toma la reurreia para diferetes valores de TIP: ote que la reurreia solo queda defiida para poteias de, es deir, para k, dode k es u etero positivo

8 Ejemplo 3 4 T() 3T()+ 3x+ 3T()+ 3[3x+]+ 3 x + 3x + 3T(4)+ 3 3[3 x + 3x + ] x + 3 x + 3 x + 3 3T(8)+ 4 3[3 3 x + 3 x + 3 x + 3 ] x+3 3 x+3 x +3x T ( k ) 3 k k k k i 0 3 k i i

9 Ejemplo E la expresió aterior, otemos que T queda e térmios de ua sumatoria, por lo que se requiere maipulaió algebraia para dejarla e térmios exlusivamete del argumeto: k 3 k i i 3 i 0 i 0 k k ( / 3) i 3 k + k + Para resolver esta fórmula se utilizó la serie: a, ar, ar, ar 3,, ar s a(-r )/(-r)

10 Ejemplo Por tato: T( k ) 3 k+ - k+ Como sabemos que k log k, o lo ual se obtiee ua T e térmios de : T() 3 log + log +

11 Reurreias Homogéeas

12 Itroduió Las reurreias homogéeas tiee la forma: a 0 t + a t a k t -k 0 () Por ejemplo, la suesió de Fiboai tiee la forma de ua reurreia homogéea: f f - + f -

13 Poliomio Caraterístio Si osideramos que t x y sustituimos e (), tedremos: a 0 x + a x a k x -k 0 Esta euaió se satisfae si: p(x) a 0 x k + a x k- + + a k 0 A este poliomio se le ooe omo euaió araterístia de las reurreias lieales

14 Soluió del Poliomio Caraterístio Por teorema fudametal del álgebra, todo poliomio p(x) de grado k tiee k raies (reales o omplejas), por lo que p(x) se puede fatorizar omo: k p( x) ( x r ) i i

15 Soluió del Poliomio Caraterístio De la fatorizaió, se oluye que: x r i es soluió de la euaió araterístia r i es ua soluió de la reurreia Dado que toda ombiaió lieal de soluioes es tambié ua soluió, se oluye que toda soluió de ua reurreia t (si raíes múltiples) tiee la siguiete forma: t k i i r i

16 Ejemplo Cosideremos la suesió de Fiboai: f si 0, f + f otro aso Esta reurreia tiee la forma: f f. f - 0 Poliomio araterístio: x x 0 k, a 0, a -, a -

17 Ejemplo Raíes del poliomio: r + 5, r Soluió geeral de la reurreia (si raíes múltiples): f r + r Para eotrar el valor de las ostates y, es eesario evaluar el valor de la reurreia f e sus asos base 5

18 Ejemplo r r 5, 5 Resolviedo el sistema de euaioes: Por tato, se oluye lo siguiete: + f 5 5 5

19 Ejemplo Cosidere la reurreia: t 0 5 3t si 0 si + 4t otro aso Poliomio araterístio: x + 3x Raíes: r -, r 4 Soluió geeral: t (-) + 4

20 Ejemplo De lo aterior y utilizado los asos base, se forma el sistema de euaioes siguiete: Dode -,. Por tato: t 4 (-)

21 Soluió de Reurreias o Raíes Múltiples Si la reurreia a soluioar tiee raíes múltiples, etoes la soluió varía por lo siguiete: p(x) a 0 x k + + a k pol. araterístio de la reurreia Sea r ua raíz de multipliidad, etoes p(x) se puede reesribir omo p(x) (x-r) q(x), dode q(x) es de grado k-

22 Soluió de Reurreias o Raíes Múltiples Cosidere los siguietes poliomios de grado : u (x) a 0 x + a x a k x -k v (x) a 0 x + a (-) x a k (-k) x -k v (x) x u (x) u (x) se puede reesribir de la siguiete forma: u (x) x -k p(x) y omo p(x) (x-r) q(x) etoes u (x) (x-r) [x -k q(x)]

23 Soluió de Reurreias o Raíes Múltiples Derivado u (x) o respeto a x se tiee: u (x) (x-r)[x -k q(x)] + (x-r) [x -k q(x)] Por tato, u (r) 0, lo ual implia que r u (r) 0, por lo que se oluye que a 0 r + a (-) r a k (-k) r -k 0 Co lo aterior, se tiee que t r es ua soluió de la reurreia

24 Soluió de Reurreias o Raíes Múltiples E geeral, si r es ua raiz de multipliidad m, se tiee que: t r, t r, t r,, t m- r so soluioes de la reurreia t E resume r,, r s raies distitas m,, m s sus multipliidades respetivamete, etoes: t s i m i j 0 ij j r i

25 Ejemplo Cosidere la reurreia: t 5t si 0,, 8t + 4t 3 otro aso Su poliomio araterístio es: t 5t - + 8t - 4t -3 0 El poliomio araterístio es: p(x) x 3 5x + 8x 4 0 Por lo tato: r, m r, m

26 Ejemplo De lo aterior, se oluye que para esta reurreia, su expresió geeral es: t De las odiioes iiiales se obtiee lo siguiete: Resolviedo el Sist. de E., se tiee que: -,, 3 -/, por lo que: t

27 Reurreias No Homogéeas

28 Reurreias No Homogéeas Estrutura geeral reurreia o homogéea: a 0 t + a t a k t -k b p() b es ua ostate p() u poliomio de grado d Estrategia geeral Trasformar la reurreia a ua expresió homogéea Resolver la expresió, tomado e ueta que la expresió homogéea o es idétia a la expresió origial

29 Ejemplo Cosidere la reurreia: t t - 3 b 3, p() Para trasformar la reurreia, se sigue el siguiete proeso: 3(t t - 3 ) 3t 6t Sustituyedo se tiee 3t - 6t - 3

30 Ejemplo Se resta las reurreias eotradas: t t - 3 * - 3t - 6t - 3 ** Resultado: t 5t - + 6t - 0 Euaió araterístia: x - 5x Raíes: r, r 3 Por tato, la soluió es: t + 3

31 Ejemplo Dado que (*) y (**) o so la misma reurreia (o tiee los mismos aso base), para eotrar los valores de las ostates, se toma e ueta que de la reurreia origial, t t t t0 + 3 Resolviedo el sistema, se oluye que: t 0 3, 3 Por tato t (t 0-3) + 3 +

32 Ejemplo Cosidere la reurreia: t t - (+5)3 Dado que se desea ua ombiaió lieal de esta igualdad que sumadas de ero, se observa lo siguiete: (+5)3, - (3/3) (+5)3, (3 /3 ) (+5)3 De lo aterior se obtiee las siguietes reurreias, las uales so sumadas:

33 Ejemplo t t 6t + t 9t 8t Sumado las reurreias, obteemos ua reurreia homogéea: t 8t - + t - 8t -3 0 El poliomio araterístio es: x 3 8x + x ( + 5)3 6( + 4)3 9( + 3)3

34 Ejemplo Co u poo de maipulaió algebraia, se dedue que: x 3 8x + x 8 (x-)(x-3) t ()3 De esta reurreia, se dedue que: t 0 + De t t - (+5)3 t t - + (+5)3 t t t t + (+5)3 4t

35 Ejemplo De lo aterior, se dedue que: t 0 9, 9, 3 3 Por tato: t (t 0-9) + (+3) t t t

36 Geeralizaió De los ejemplos ateriores, se puede oluir que el poliomio araterístio de ua reurreia o homogéea a 0 t + a t a k t -k b p() es: (a 0 x k + a x k- + + a k )(x-b) d+ Reuerde que: b es ua ostate d grado del poliomio p()

37 Ejemplo 3 Cosidere el problema de las torres de Haoi: La reurreia se expresa omo: t t - Observemos que b y p() (poliomio de grado 0). Por tato, el poliomio araterístio es: (x-)(x-) Por tato, la reurreia queda de la forma: t + t 0 t si 0 + aso otrario

38 Ejemplo 3 Demuestre que después de despejar el sistema, se obtiee la reurreia: t -

39 Cambio de Variable

40 Ejemplo Trasformar ua reurreia ompliada e ua más simple T ( ) si 3T ( / ) + si >, poteia de Cosideremos que i La reurreia resultate ahora queda e térmios de i Por tato, t i T( i )

41 Ejemplo t i T( i ) 3T( i- ) + i 3t i- + i Reesribiedo t i 3t i- i Para este aso, b, d 0, por lo que el poliomio araterístio es: p(x) (x-3)(x-) De este poliomio se determia que: t i 3 i + i Dado que T( i ) t i y i, etoes T() 3 lg + lg lg 3 +

42 Otras Téias para Resoluió de Reurreias Trasformaió de Itervalo Reurreias Asitótias E estas téias, básiamete se utiliza u ambio de variable, así omo equivaleias que permita trasformar a la reurreia e ua expresió de la forma lieal