LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

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1 LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b) e que a b R a R b Propiedades de la relació = : A 1 Reflexividad : a R a = a A 2 Simetría : a, b R, si a = b b = a A 3 Trasitividad : a, b, c R, si a = b b = c a = c Operacioes e R Defiició: Adició o Suma (+) : (a,b) R a + b R Multiplicació o producto (. ) : (a,b) R a. b R Propiedades de las operacioes ( + ) y (. ) : B 1 Comutatividad : B 2 Asociatividad : B 3 Existe u elemeto idetidad para la suma : a + b = b + a a + ( b + c ) = ( a + b ) + a a + 0 = 0 + a = a B 4 Existecia de elemetos iversos para la suma : a + (-a) = (-a) + a = 0 B 5 Comutatividad : B 6 Asociatividad : B 7 Existe u elemeto idetidad para la multiplicació: a. b = b. a a. ( b. c ) = ( a. b ). c a. 1 = 1. a = a B 8 Existecia de iversos para la multiplicació, si a 0 : a. a -1 = a -1. a = 1 B 9 Ley distributiva: a. ( b + c ) = a. b + a. c 1

2 La compatibilidad etre estas dos operacioes y la relació de igualdad, se establece mediate las leyes: Si a = b a + c = b + c ; Si a = b a. c = b. c Teorema 1. E R, los elemetos idetidad para la suma y para la multiplicació (eutro aditivo y multiplicativo respec.) so úicos. Demostració: Se emplea el Método de Reducció al Absurdo. Supogamos la existecia de otro elemeto eutro para la suma, desigado como 0* 0. Etoces aplicado B 2 se tiee: 0* + 0 = 0 y 0 + 0* = 0* Por comutatividad (B 1 ) y aplicado trasitividad (A 3 ), se cocluye que 0 = 0* la suposició de la Hipót., luego es falso que 0* 0 y etoces el eutro para la suma es úico. TAREA: Demostrar e forma aáloga la uicidad del eutro multiplicativo. Teorema 2. E R, los elemetos iversos para la suma y para la multiplicació so úicos. Demostració: Dado a R, supogamos (-a) y a elemetos iversos de a para la suma e que (-a) a. Etoces se cumple: a + (-a) = 0 y a + a = 0 a + (-a) = a + a [ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a ] + (-a) 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a luego (-a) = a la Hipótesis Es falso (-a) a y el iverso aditivo es úico. TAREA: Demostrar e forma aáloga la uicidad del iverso multiplicativo. 2

3 Teorema 3: i) El cero es el iverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0 ii) El uo es iverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1 Demostració: i) a + (-a) = 0 y el iverso aditivo es úico, luego si a = 0 etoces: 0 + (-0) = 0 por lo tato: (-0) = 0 ii) Demostrar de maera aáloga. COROLARIO: i) Por uicidad del iverso aditivo, si a + b = 0 a = -b y b = -a ii) Por uicidad del iverso multiplicativo si a. b = 1 a = b -1 y b = a -1 Teorema 4: a R ; a. 0 = 0 Demostració: Por axioma B 3 se tiee que: = 0, por lo tato: 0. a = ( ). a 0. a = 0. a + 0. a Distributividad. (-0. a) + 0. a = (-0. a) + 0. a + 0. a 0 = a. 0 + [ (-0. a) + 0. a ] 0 = a. 0 = 0. a E particular, por este teorema: 0. 0 = 0 y 1. 0 = 0 Teorema 5: a, b R, se cumple las siguietes propiedades: i) - (-a) = a ii) (-a). b = - (ab) iii) a. (-b) = - (ab) Demostració: TAREA 3

4 Teorema 6: a, b R e que a 0 y b 0 se tiee que: i) (a -1 ) -1 = a ii) a -1 b = (a. b -1 ) -1 iii) a. b -1 = (a -1. b) -1 iv) a -1. b -1 = (a. b) -1 Demostració: i) (a -1 ) -1 = (a -1 ) = (a -1 ) -1. ( a. a -1 ) = [(a -1 ) -1. (a -1 )]. a Tarea: Demostrar i), ii), iii) e iv). = 1. a = a (a -1 ) -1 = a Teorema 7: Leyes de Cacelació: i) a + b = a + c b = c ii) a. b = a. c b = c a 0 Demostració: ii) Si a 0 a -1 etoces si: a. b = a. c por la compatibilidad de la igualdad co la multiplicació: a -1. (a. b) = a -1. (a. c) (a -1. a). b = (a -1. a). c b = c. El recíproco correspode a la compatibilidad igualdad-multiplicació. Tarea: Demostrar i) Teorema 8: a, b R si a. b = 0 a = 0 b = 0 Demostració: Si a 0 etoces a -1 por lo tato: a -1. (a. b) = 0. a -1 (a -1. a). b = 0 b = 0. Demostrar para a = 0. Teorema 9: i) La ecuació a + x = b tiee úica solució: x = b + (-a) ii) La ecuació a. x = b tiee úica solució: x = a -1 b ( a 0 ) Tarea: Demostrar 4

5 Defiició 9: Se defie a + (-b) como la diferecia etre a y b ; a b Teorema 10: a, b R se cumple: i) a (-b) = a + b ii) a b = 0 a = b iii) a (b + a) = a b - a Demostració: i) a (-b) = a + [- (-b)] = a + b por T5 i) ii) a b = 0 a + (-b) = 0 a + b + (-b) = 0 + b a + 0 = b a = b iii) a = a a + 0 = a + 0 a + (a + b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) a + a + (-a) + b + (-b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) + (-a) + (-b) a [-(a + b)] = a (-a) + (-b) a + [-(a + b)] = a + (-b) + (-a) a (a + b) = a b a Por def. 9 Defiició 10: Dados a, b R b 0 se defie a a. b -1 como b a o bie a : b expresádose cuociete etre a y b o bie a dividido por b. Teorema 11: Dados a, a 1, a 2, b, b 1, b 2 R etoces se cumple: i) 1 a = a ii) Si a 0 a 1 = a -1 iii) Si a 0 a = 1 a iv) Si a 2 0 b 2 0 a 1 b = 1 a 1. b 2 = b 1. a 2 a 2 b 2 5

6 LOS REALES COMO CUERPO ORDENADO Sea R + R, este subcojuto satisface los siguietes axiomas: 1. R + es cerrado para la suma. Si a, b R + a + b R R + es cerrado para la multiplicació. Si a, b R + a. b R Axioma de Tricotomía. a R se cumple ua y solo ua de las siguietes afirmacioes: i) a = 0 ii) a R + iii) -a R + Defiició 1: i) a < b b a R + ii) a > b a b R + Teorema 1: Dados los reales a y b se cumple ua y solo ua afirmació: i) a = b ii) a < b iii) a > b Demostració: Aplicado el axioma de Tricotomía al úmero b a, se tiee ua y solo ua propiedad: i) b a = 0 ii) b a R + iii) (b a ) R + i) Por T 10 ii): si b a = 0 a = b ii) Por defiició 1 i): si b a R + a < b iii) Por defiició 1 : si - (b a) R + a b R + a > b 6

7 Teorema 2: Dado u real a, se cumple ua y solo ua proposició: i) a = 0 ii) a > 0 iii) a < 0 Demostració: Cosecuecia del Teor. 1 haciedo b = 0 Teorema 3: La relació < tiee las siguietes propiedades: i) No reflexiva: a R, o se cumple que a < a ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b o se cumple que a > b. iii) Trasitiva: Si a > b b > c a > c Demostració: i) Si a > a a a R + 0 R + Ax. Tric. ii) Si a > b a b R + por Ax. Tric. b a R + iii) Si a > b a b R + si b > c b c R + por lo tato dado que R + es cerrado para la suma: (a b ) + (b c ) R + a c R + a > c Defiició 2: Llamaremos cojuto de los úmeros egativos al cojuto: R - = x R : - x R + OBSERVACIÓN: El 0 R - por lo tato, o es positivo i egativo, además R + R - = φ pero como todo real perteece a uo y solo uo de los cojutos R +, R -, 0 etoces: R = R + R - 0 e que 0 represeta ua frotera etre positivos y egativos. 7

8 Defiició 3: i) a b (a < b) (a = b) ii) a b (a > b) (a = b) Teorema 4: La relació tiee las siguietes propiedades: i) Reflexiva: a a, a R ii) Atisimétrica: Si a b b a a = b iii) Trasitiva: Si a b b c a c Demostració: i) Como a = a etoces a a ii) iii) Si a b (a < b) (a = b). Si b a (b < a) (a = b). Por Teor. 1 solo es posible a = b Se tiee aquí las siguietes posibilidades: a < b b < c a < c por Teor. 3 a < b b = c b a R + y c b = 0 ; por lo tato: b a + (c b) = c a R + luego a < c a = b b < c Similar a la aterior. a = b b = c La igualdad es trasitiva y de la defiició de la relació. Teorema 5: a b a + c b + c Demostració: Si a b a < b a = b. Si a < b b a R + (b a) + 0 R + (b a) + (c c) R + (b + c) (a + c) R + a + c < b + c a + c b + c. Si a = b a + c = b + c 8

9 Teorema 6: i) Si a b y c es positivo, etoces: a. c b. c ii) Si a b y c es egativo, etoces: a. c b. c Demostració: i) Si a b a < b a = b. Si a < b b a R + como c R + (b a ). c R + a. c < b. c Dado que a = b, por compatibilidad igualdad-multiplicació a. c = b. c Por lo tato: a. c b. c ii) Si a b a < b a = b. Si a < b b a R + como c R - - c R +, luego: - c (b a) R + - bc + ac > 0 a. c > b. c. Por lo tato: Por compatibilidad igualdad-multiplicació a. c = b. c a. c b. c Teorema 7: i) Si a > 0 - a < 0 ii) Si a < 0 - a > 0 iii) Si a > 0 a -1 > 0 iv) Si a < 0 a -1 < 0 Demostració: i) Si a > 0 a R + -a R - -a < 0 ii) Si a < 0 -a R + -a > 0 iii) Si a > 0 Supogamos que a -1 < 0 por T.6 i) a. a > 0 y por T.6 ii) : a -1 ( a. a ) < 0 (a -1. a). a < 0 a < 0 Hip., por lo tato: a -1 > 0 iv) Tarea 9

10 Teorema 8: a. b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) Demostració: ( ) Si a. b > 0 a 0 y b 0 (T8., Nº s R). Si a > 0 a -1 > 0 a -1 (a. b) > 0 b > 0 Si a < 0 a -1 < 0 a -1 (a. b) < 0 b < 0 ( ) Tarea Teorema 9: a. b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) Demostració: ( ) Si a. b < 0 Si a > 0 a -1 > 0 a -1 (a. b) < 0 b < 0 Si a < 0 a -1 < 0 a -1 (a. b) > 0 b > 0 Teorema 10: Sea a, b R, si a < b a < a + b < b 2 Demostració: Si a < b sumado etoces : a + a < b + a 2a < b + a Si repetimos pero sumado b se tiee: a + b < 2b Por trasitividad: 2a < b + a < 2b. Luego dividiedo por 2 > 0 a + b Se tiee: a < < b 2 Este teorema permite afirmar que siempre etre dos úmeros reales distitos es posible itercalar u tercer úmero c, 10

11 VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES Permite determiar cua cerca o lejos se ecuetra u úmero del cero, por ejemplo. Defiició 1: a, al úmero: Llamaremos valor absoluto del úmero real a, deotado por a si a 0 a = - a si a < 0 Podemos apreciar que el úmero a y su iverso aditivo -a está a igual distacia del cero. Teorema 1: i) a 0 ii) a = a iii) - a a a iv) a = 0 a = 0 v) a. b = a. b vi) Si b > 0, a b -b a b vii) Si b > 0, a b a b a -b viii) a + b a + b Demostració: i) Por Tricotomía: a > 0 ; a = 0 ; a < 0. Aalizado cada ua: Si a > 0 etoces a = a > 0 Si a = 0 etoces 0 = 0 Si a < 0 etoces - a > 0, luego: - a > a > 0 Por lo tato: a 0 11

12 ii) a = a Aplicamos Tricotomía: Si a > 0 - a < 0, por lo tato: a = a y a = - ( - a ) = a Luego se cumple Si a = 0 etoces: 0 = 0 = 0 Se cumple Si a < 0 etoces - a > 0, por lo tato: a = -a y a = -a Se cumple iii) - a a a Aplicamos Tricotomía: Si a 0 a = a, además - a 0. Puesto que : a > - a a a > - a - a a a - a Si a < 0 a = - a y - a > 0. Por lo tato a < - a. - a = a < - a = a a a - a iv) a = 0 a = 0 Si a = 0, por defiició a = 0 = 0 a R, por tricotomía a > 0 a < 0 a = 0. Descartado las dos primeras posibilidades por cotradiccioes co la hipótesis por ej: Si a > 0 a = a > 0 cotradice la hipótesis. resta la úica posibilidad a = 0 12

13 v) a. b = a. b Por Tricotomía: a. b > 0 ; a. b = 0 ; a. b < 0 Si a. b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0). Por defiició de valor absoluto: a. b = a. b y para la primera posibilidad: a > 0 b > 0 a = a b = b. Por lo tato a. b = a. b Luego: a. b = a. b Si a. b = 0 a = 0 b = 0 etoces: a. b = 0 = 0 = a. b Si a. b < 0 Tarea vi) Si b > 0, a b -b a b Aplicado Tricotomía Si a 0 a = a Por Hipót., a b a b como b 0 - b < 0. Luego: - b a b Si a < 0 a = - a Por Hipót. a b y como - a 0 y - b 0 - b a - a b - b a b Si a 0 a = a, por Hipót., a b Si a < 0 a = - a. por Hipót., a b luego a b 13

14 vii) Si b > 0, a b a b a -b Supogamos a b. Si a 0 etoces a = a y por lo tato a b. Si e cambio a < 0 etoces a = - a y e este caso a b luego: a - b Tarea viii) Tarea AXIOMA DEL SUPREMO Defiició 1: Si x A R, y tal que y x etoces y es cota superior de A. Defiició 2: Si y R A R, etoces y es el supremo de A si y solo si: i) y es cota superior de A. ii) Si z, cota superior de A, se tiee y z. El supremo es la meor de las cotas superiores. Teorema 1: Si A R, etoces y es el supremo de A y es ua cota superior de A y ε R +, x A tal que y - ε < x. 14

15 Demostració: Si y es supremo de A y es cota superior de A, por defiició de supremo. Sea ε R +, supogamos, por reducció al absurdo, que x A tal que y - ε < x, luego se puede afirmar que x y - ε x A, por lo tato y - ε es ua cota superior, pero y - ε < y la hipót., que y es supremo de A (y es la meor de las cotas superiores). Por lo tato debe existir al meos u x A mayor que y - ε. Por Hipót., y es ua cota superior de A, será supremo si es la meor de las cotas superiores. Supogamos, al absurdo, que existe ua cota superior de A, z < y luego x < z x A. Como z < y y z > 0 aplicado la hipót., co ε = y z, x A, x > y (y z). Luego x A tal que x > z co hipót., que z es cota superior de A. E cosecuecia es falso supoer que existe ua cota superior de A meor que y, luego y es la meor cota superior de A y por tato su supremo. Teorema 2: U cojuto de úmeros reales puede teer a lo más u supremo. Demostració: Supogamos que e A R existe dos supremos y, z e que y z, supogamos además que z < y, lo cual sigifica que y z > 0. Si tomamos este úmero positivo como ε particular, por defiició de supremo cocluimos que x A tal que: x > y (y z), luego x > z que z sea supremo de A. Por lo tato existe a lo más u supremo e u cojuto de úmeros reales. 15

16 El cojuto vacío es acotado superiormete por cualquier úmero real, puede demostrarse por reducció al absurdo. Luego, el supremo de vacío es - Axioma del Supremo. Si u cojuto o vacío de úmeros reales tiee ua cota superior, etoces tiee supremo e R. Defiició 3: Si x A R, y tal que y x etoces y es cota iferior de A. Defiició 4: Si y R A R, etoces y es el ífimo de A si y solo si: iii) y es cota iferior de A. iv) Si z, cota iferior de A, se tiee y z. El ífimo es la mayor de las cotas iferiores. Teorema 3: Si A R, etoces y es el ífimo de A y es ua cota iferior de A y ε R +, x A tal que x < y + ε TAREA: Demostrar e forma aáloga a Teor 1. Teorema 4: U cojuto de úmeros reales puede teer a lo más u ífimo. 16

17 TAREA: Demostrar e forma aáloga a Teor 2. El cojuto vacío es acotado iferiormete por cualquier úmero real, el ífimo de vacío es + Teorema 5: Si u cojuto o vacío de úmeros reales tiee ua cota iferior, etoces tiee ífimo e R TAREA: Demostrar NUMEROS NATURALES E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Defiició 1: Sea I R, diremos que I es iductivo si se cumple: i) 1 I ii) Si k I k + 1 I Teorema 1: Si A, B so cojutos iductivos, etoces A B es iductivo. Demostració: Sea A y B dos cojuto iductivos de R. Por propiedad i) de la def., 1 A B. Si k A B k A k B pero como A y B so iductivos, etoces k + 1 A y k + 1 B k + 1 A B. Etoces A B es iductivo. 17

18 Defiició 2: Llamaremos cojuto de los úmeros aturales ℵ, al meor cojuto iductivo de R, es decir: ℵ = { I : I R, I es iductivo } Teorema 2: Pricipio de Iducció Sea k ℵ y P( k) ua propiedad satisfecha por k. Si se cumple: i) P( 1 ) ii) k, si P( k ) etoces P( k + 1) Etoces la propiedad P( k) se satisface para todo k ℵ. Demostració: Sea I = { k R : P( k) se satisface}.veremos que I es iductivo 1 I, pues P(1) se satisface por i) Si k I etoces P(k) y por ii) se tiee P(k + 1), por lo tato k + 1 I Como I es iductivo, por defiició 2 ℵ I, es decir, P(k) se cumple k ℵ. FUNCIONES DE VARIABLE CONTINUA Defiició 1: Sea x perteeciete a u itervalo I. Si mediate ua cierta regla tal que a cada x I le correspoda u úico y R, decimos que y es ua fució umérica de x deotada: y = f(x) ; x se deomia variable idepediete e y variable depediete. 18

19 Defiició 2: Se defie domiio de la fució f(x) al cojuto: D( f ) = x I : y R tal que y = f(x) Se defie recorrido de la fució f(x) al cojuto: R( f ) = y R : x D( f ) : y = f(x) Se defie gráfico de f(x) al cojuto: G( f ) = (x, y) D( f ) R( f ) : y = f(x) Ejemplos de fucioes: Fució costate: x I le correspode u mismo elemeto c; f(x) = c Fució lieal: x I le correspode el úmero ax + b co a, b costates y a 0 Fució cuadrática: x I le correspode el úmero ax 2 + bx + c co a, b, c costates y a 0. Fució poliomial: x I le correspode el úmero a x a 1 x + a 0 e que los a i so costates. Fució racioal: Aquella que se obtiee mediate cuocietes p( x) de poliomios: f ( x) = e que D( f ) = R - x : q(x) = 0 q( x) Defiició 3: Dadas dos fucioes uméricas f y g, se defie las siguietes fucioes cuyo domiio es D( f ) D( g ) i) ( f ± g ) ( x ) = f( x ) ± g( x ) ii) ( fg )( x ) = f( x ). g( x ) iii) ( f / g )( x ) = f( x ) / g( x ) 19

20 Defiició 4: Dadas dos fucioes uméricas f y g, se dice que: i) f = g si D( f ) = D( g ) y f( x ) = g( x ) x D( f ) D( g ) ii) f < g si y f( x ) < g( x ) x D( f ) D( g ) Defiició 5: Diremos que la fució f es acotada, si su recorrido es u cojuto acotado, es decir, si, M > 0 : f (x) M, x D( f ). Defiició 6: Sea f ua fució umérica o costate, I u itervalo coteido e el domiio de f y x 0 u puto de I. Se dice que f tiee: i) U cero e x 0 cuado f( x 0 ) = 0. ii) U máximo e x 0, co valor f( x 0 ), cuado x I, f( x ) f( x 0 ) iii) U míimo e x 0, co valor f( x 0 ), cuado x I, f( x ) f( x 0 ) iv) U extremo e x 0 cuado f tiee u máximo o u míimo e x 0. Defiició 7: i) Ua fució se dice periódica, si existe u T R, tal que: f(x + T) = f( x ) ii) Ua fució f se dice par si f(-x) = f(x), x D( f ) iv) Ua fució f se dice impar si f(-x) = - f(x), x D( f ) Defiició 8: Sea I y J itervalos. Sea f y g fucioes uméricas tales que D( f ) = I, D( g ) = J y R( f ) J. Etoces la fució compuesta de f co g, deotada g f está defiida por: i) D(g f) = I ii) ( g f )(x) = g( f(x)), x I 20

21 Defiició 9: R( f ) = J Ua fució f : I J se dice sobreyectiva si y solo si: Defiició 10: Ua fució f se dice uo a uo o iyectiva sobre u itervalo I, si x 1, x 2 I, co x 1 x 2 se tiee f( x 1 ) f( x 2 ). Equivaletemete: f( x 1 ) = f( x 2 ) etoces x 1 = x 2 Ejemplos: 1. Sea f(x) = (x 2)(8 x) para 2 x 8. Ecotrar: a) f(6) y f(-1) b) El domiio de f(x). c) f(1 t) y su domiio d) f [ f(3) ] e) Su represetació gráfica. f) Determiar si esta fució es acotada superior e iferiormete y si es así determie las cotas. Solució: a) f(6) = (6 2)(8 6) = 4. 2 = 8 ; f(-1) = (-1 2)(8 - -1) = - 27 b) Df(x) = x R : 2 x 8 c) f(1 t) = [(1 t) - 2] [8 (1 t) ] = - t 2-8 t 7 d) f [ f(3) ] = f(5) = 9 y e) y = (x 2)(8 x) para 2 x x 21

22 f) La fució es creciete para 2 < x < 5 pero es decreciete para 5 < x < 8, por lo tato su cota superior es 9 (para x = 5) y e los extremos 2 y 8, la fució preseta su míimo valor por lo tato es acotada iferiormete y su cota iferior es x = Determiar el domiio de las siguietes fucioes: a) ( 3 x )( 2x + 4) b) x 2 x 2 4 c) se 3 x d) log 10 (x 3 3x 2 4x + 12) Solució: a) Df(x) = x R : -2 x 3 b) x R : x ± 2 c) 2m π 3x (2m + 1) π 2m π /3 x (2m + 1) π /3 co m = 0, ±1, ±2,. d) (x 3)(x 2 4) > 0 x > 3, -2 < x < 2 SUCESIONES Defiició 1: Ua sucesió es ua fució f: ℵ R tal que a cada le asiga f() = a. Tambié se deota como a e que a es el térmio geeral de la sucesió o térmio eésimo. 22

23 Ejemplo: a = 2 ; 2 = 1 2, 2 2, 3 2,..., 2 a = 1/(2 1) para = 1, 2, 3,... los térmios de la sucesió so 1, 1/3, 1/5, 1/7,... Defiició 2: Se dice que ua sucesió es acotada si existe u úmero M tal que a < M, ℵ Defiició 3: Ua sucesió es: i) Estrictamete creciete si a < a +1, ii) iii) iv) Creciete si a a +1, Estrictamete decreciete si a > a +1, Decreciete si a a +1,, v) Moótoa si satisface cualquiera de las codicioes ateriores. Formas Idetermiadas i) x R, e que - < x < ii) (+ ) + a = +, a R iii) (- ) + a = (- ), a R iv) (+ ). a = +, si a > 0 v) (- ). a = -, si a > 0 vi) (- ). a = +, si a < 0 vii) (+ ). a = -, si a < 0 Las operacioes co estos símbolos que o está explícitamete defiidas o tiee setido, ada se puede cocluir, por tal razó se deomia formas idetermiadas, por ejemplo: (+ ) + (- ) ; (+ ). 0 ; (- ). 0 ; etc. 23

24 Límite de ua sucesió Defiició 4: El úmero L es el límite de la sucesió a si dado u úmero positivo ε, existe u úmero N ℵ tal que si N, se cumple que: a L < ε, es decir, L - ε < a < L + ε, N. E este caso se expresa: lim a = L o que la sucesió coverge hacia L. Ejemplo: Aplicado la defiició de limite de ua sucesió, verifique que el 3 1 limite de la sucesió u = es ¾ Solució: Debemos mostrar que para cada ε > 0 (o importa cua pequeño) existe u úmero N (depediete de ε) tal que 3 u < ε > N. 4 Ahora: = 19 4(4 + 5) < ε cuado 19 4(4 + 5) < ε o bie 1 19 > 5 4 4ε 3 Escogiedo N = ¼ (19/4ε - 5) vemos que: u < ε 4 para todo > N, por lo tato Teorema 1: Si lim a = A y lim b = lim u = 3 4 B etoces: 1. lim ( a + b ) = 2. lim ( a b ) = lim a + b lim a - b lim = A + B lim = A - B 3. lim (. b ) = a a lim. lim b = A. B 24

25 4. a lim = b lim lim b a = A B e que lim b = B 0 5. Si B = 0 y A 0 etoces el límite o existe, pero si A = 0 y B = 0, etoces el límite puede existir o o. p p lim a = lim a = A p p R si A p existe. 6. a lim p = p lim a = p A p R si p A existe. Demostració: 1. Si lim a = A y lim b = B etoces: lim ( a + b ) = lim a + lim b = A + B Debemos demostrar que ε > 0, podemos ecotrar N > 0 tal que ( a + b ) ( A+ B) < ε > N. De la desigualdad co módulo a + b a + b resulta: ( a + b ) ( A+ B) = ( a A) + ( b B) a A + b B. Por hipótesis, dado ε > 0 podemos ecotrar N 1 y N 2 tal que: a A 1 1 < ε > N 1 y b B < ε 2 2 > N de la desigualdad: ( a + b ) ( A+ B) < ε + ε = ε 2 2 > N e que se debe cosiderar a N como el mayor de N 1 y N 2 25

26 Teorema 2. Toda sucesió covergete está acotada Demostració: Dado lim a = A, debemos demostrar que existe u úmero positivo P tal que a < P > N. a = a A + A a A + A Por hipót., se sabe que podemos ecotrar N tal que: a A < ε > N Por desigualdad co módulo: a b a b a < ε + A > N Por lo tato se cumple a < P > N si escogemos P como el mayor de los úmeros: a 1, a 2, a 3,..., a, ε + A. TAREA: Demostrar los restates. Ejercicios: 1. Calcular los límites de las siguietes sucesioes aplicado los teoremas de límites: a) lim 2 b) 2 + lim c) lim ( + ) d) lim 3 (3 ) ( ) e) lim f) lim ( ) 1/ 2. Aplicado la defiició de límite de ua sucesió, demuestre que: lim =

27 LIMITE DE FUNCIONES. Defiició: Sea y = f(x) ua fució umérica. Decimos que L es el límite de esta fució e x = a, co a R, si ε > 0, δ > 0 tal que, si 0 < x a < δ etoces f ( x) L < ε, se expresa: lim x a f ( x) = L L + ε L L - ε Y y = f(x) O a - δ a a + δ X Ejemplo: Si f(x) = 2 x 1 x + 1 etoces lim f ( x) = 2 x 1. Sigifica que dado ε > 0 queremos que f ( x) L = 2 x 1 ( 2) x + 1 = x 1+ 2 = x ( 1) < ε 27

28 DERIVADA DE UNA FUNCION Defiició: Sea y = f(x) ua fució defiida e todo puto x 0 del itervalo abierto (a, b). Se defie la derivada de la fució e el puto x = x 0 al límite: lim = h 0 f ( x 0 + h) h f ( x 0 ) Si este límite existe. Se deota como: d dx d y f ( x) = dx x = x 0 Iterpretació Geométrica Y Q B A P θ S f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) δ R f(x 0 ) Δx = h x 0 x 0 + h X Sea la curva APQB la represetació de la fució y = f(x) de la figura, el QR f ( x0 + Δx ) f ( x0 ) cuociete = = tgθ es la pediete de la secate PR Δx que ue los putos P y Q de la curva. Cuado Δx 0 la secate se aproxima a la tagete a la curva e el puto P, es decir PS etoces: f ( x0 + Δx ) lim = = x 0 Δx SR PR = tg δ 28

29 29

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