Problemas de Sucesiones

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1 Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ] iii 3 l 3 3. iv l + [ iitésimo del logaritmo ] Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a y b, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a + b + b + + [ y por el cojugado] 5 3

2 6 Problemas Problema. Calcular los siguietes ites: se i l + iv ii se v cos iii ta + Solució: se i se ii se se iii ta + π 4. l + iv [escala de iitos] 0. [se acotada] + 0 acotada. [ iitésimos equivaletes ]. v cos [iitésimos equivaletes] 0. Problema.3 Calcular los siguietes ites: cos l + i ii e iii se + Solució: cos l + i [ escala de iitos cos acotada ] 0 acotada 0.

3 Sucesioes 7 ii e e [ iitésimos equivaletes]. iii se + e se e 0. Para el cálculo de este ite hemos utilizado el criterio del úmero e. Problema.4 Calcular los siguietes ites: e i iii se ta ii + se iv 4 Solució: e e i ii + se [ ] e se e iii se [iitésimos equivaletes] e. se ta [ escala de iitos]. e se ta [0 acotada] iv 4 Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a y b 4, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a b + b Problema.5 Calcular los siguietes ites: cos se i ii e iii l + se

4 8 Problemas Solució: cos se cos i ii e + iii l + se se [0 acotada] l + Problema.6 Calcular los siguietes ites: Solució: i iii v i e se [iitésimos equivaletes]. arcta l + ii iv cos + cos + + cos e e Para el cálculo del ite hemos aplicado el criterio del úmero e. arcta l [ + arcta es acotada ii escala de iitos 4 4 iii iv + 4 [ y por el cojugado] ] acotada

5 Sucesioes 9 cos + cos + + cos v Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a cos+cos+ +cos y b, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a cos + b + b + cos + [acotada 0] 0. + Problema.7 Calcular los siguietes ites: i iii l + + l ii l + se + se + + se iv Solució: i e e e Para el cálculo del ite hemos aplicado el criterio del úmero e. ii l + l + [escala de itos] iii l + + l l + + l [iitésimos equivaletes] se + se + + se iv l + + Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a se+se+ +se y b, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a se + b + b + se + [acotada 0] 0. +

6 0 Problemas Problema.8 Calcular los siguietes ites: Solució: i se iii ta + se l ii iv l + + l l + i se + se. [ ] se l escala de iitos ii 0. se acotada iii ta ta [iitésimos equivalete]. l + + l + iv + + l +. Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a l + + l l + y b, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a b + b l + + [iitésimos equivaletes] + Problema.9 Calcular los siguietes ites: i ii cos + 7 se iii e iv Solució: l + a + l + a + + l + a ; a > 0 segú los valores de a. 3 i e

7 Sucesioes e e 3. Para el cálculo del ite hemos aplicado el criterio del úmero e. ii se iii iv cos cos. e [ orde de iitos] 0. l + a + l + a + + l + a. Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz cosiderado las sucesioes a l + a + l + a + + l + a y b, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a b + b l + a + l + a 0 a 0,, l a, + a >. Problema.0 Calcular los siguietes ites: i ii 3 + se iii + + iv a + + a ; a > 0 segú los valores de a. l Solució: i e 4 e 3. e Para el cálculo del ite hemos aplicado el criterio del úmero e. + + ii [0 0 3 ]. Por tato, supodremos que A, de dode + 3 +

8 Problemas + l + la l 3 l3 + [escala de iitos] 0. + Fialmete, A e 0. se iii [acotada 0] iv a + + a. l Para calcular este ite aplicamos el criterio de Stolz, co a a a y b l, ya que b es creciete y tiee ite iito. a + a b + b a + l + l { +, a l + a + 0, a > a + l + Problema. Calcular los siguietes ites: i + b ; b IR ii 3 + e +7 + iii e Solució: b + i, si b 0. Supogamos que b 0. ii + b e + b e b e b. 3 + e +7 [iitésimos equivaletes] e iii [escala de iitos]. e

9 Sucesioes 3 Problema. Calcular los siguietes ites: i se l + ii se ta iii cos Solució: i se l + l + ii iii se ta cos se 0 acotada 0. se ta ta [ iitésimos equivaletes ]. l + ta cos [ escala de iitos] 0. Problema.3 Sea x N la sucesió deida de forma recurrete por x + x, x 0 /. Demostrar que: a x está acotada iferiormete por 0 y superiormete por. b x es ua sucesió decreciete. c Estudiar la covergecia de la sucesió. Solució: a x 0 / 0 y x + x 0. Luego, x está acotada iferiormete por 0. Para deducir que x está acotada superiormete por procedemos por iducció. E primer lugar, x 0 / /. Supogamos que x / H.I, debemos demostrarlo para x +. x + x /4 /, por la hipótesis de iducció. b Para demostrar que x es ua sucesió decreciete procedemos de uevo por iducció. E primer lugar, x 0 / /4 x. Supogamos que x + x H.I., debemos demostrar que x + x +. x + x + x x +, por la hipótesis de iducció. c Por el Teorema de la covergecia moótoa, x es ua sucesió covergete, ya que está acotada iferiormete y es decreciete. Para calcular el ite de la sucesió, supoemos

10 4 Problemas que x l. Etoces, de la relació de recurrecia teemos que l l l 0 o l. Como x /, el ite de la sucesió es l 0. Problema.4 Sea {x } N la sucesió deida de forma recurrete por x + x + α x, x0 α. Demostrar que: a {x } N está acotada iferiormete por α. b {x } N es ua sucesió decreciete. c Estudiar la covergecia de la sucesió. Solució: a Debemos demostrar que x α. x α x + α x α x + α x α x x α + α 0 x α 0, desigualdad que es siempre cierta. b Debemos demostrar que x + x. x + x x + α x x x + α x α x α x, desigualdad que es cierta por el apartado a. c Como x es ua sucesió decreciete y acotada iferiormete el Teorema de la covergecia moótoa asegura que x coverge. Además si l x se verica: x + x + α α x l l + l l l + α l α l α, ya que el ite debe ser positivo, por ser x ua sucesió de térmios positivos. Problema.5 Sea y ua sucesió de úmeros reales tal que siguiete ite: y + y + + y. l y a. Calcular el

11 Sucesioes 5 Solució: Para el cálculo del ite podemos aplicar el criterio de Stolz ya que la sucesió del deomiador l es estrictamete creciete y tiee ite iito. y + y + + y y + + y + a, l + l + l + dode se ha aplicado que l + es u iitésimo equivalete a y + + y que y a. Problema.6 Ua sucesió x es ua progresió aritmética si existe d IR tal que x + d + x,. i Probar que x x + d, N. ii Probar que x + + x x + x. iii Calcular Solució: Sea x ua progresió aritmética es decir x + d + x,. i Para probar que x x + d, N, procedemos por iducció. Por deició x d + x x + d, por tato se verica la fórmula para. Supogamos que es cierta para, es decir, x x + d H.I., debemos probarla para +, x + x + d x + d + d x + d. Luego la fórmula es cierta para todo N. ii Para probar x + + x x + x, procedemos de uevo por iducció. Para, x + x x + x, luego la fórmula es cierta. Supogamos ahora que es cierta para, es decir, x + + x x + x. Debemos probarla para +. x + + x + x + x + x + x + x + x + d + x + x + x + x + x + x + x + d + x + d x + x + + d + x + x + + x + x + x + x +. + d + x

12 6 Problemas iii Usado el apartado aterior obteemos que Por tato el ite pedido es x.

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