Límites de sucesiones de números reales

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1 Límites de sucesioes de úmeros reales Ejercicios resueltos Academia Kepler C k Ikastegia Febrero 08

2 Límites de sucesioes de úmeros reales. Hallar el ite de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes: Solució: a + a + b g a co a 0 cos b h + l c i l + + d j e + ae f a + a + b a + b a cos cos b + cos! l 0 + a + b + + c + + Stoltz l l + + d A + l A + l e l + ae! f A + 5 k cos l + a + b + 4 A e 4 l + l A! [ e ] l + a π e ae π π a a π * Stirlig:! π e + + e a Academia Kepler C k Ikastegia

3 Límites de sucesioes de úmeros reales g a l a l a l a + l h A l A + l i A l l A l 0 A j k l 0 00 l 0 l l A e Stoltz l 00. Hallar 8 +. Calcular l A l ab a + + b + l ab a + + b ab a + + b A [ a + ab + ] b l a + l ab + l b + + l a b lab 4. Calcular Solució: Sea a 5, a 5a, a 5a,..., a + 5a y llamemos L a + 5a 5 a 5L L 5L LL 5 0 Academia Kepler C k Ikastegia

4 Límites de sucesioes de úmeros reales L 0, L 5 y como o puede ser L 0, pues la sucesió es creciete y es a > 0, se deduce que es L 5 5. Hallar Solució: Deotemos la sucesió por b y cosideremos otras dos sucesioes de térmio geeral a y c Es claro que a < b < c IN luego 0 a b c 0 b 0 6. Calcular l Solució: l 7. Calcular l Solució: l [ l si π i i π + π si π i i Stoltz ] si π + l + l π si + l + 8. Demostrar que la sucesió defiida por el térmio geeral a si calcular su ite. Solució: Es claro que IN es < + + < y que a + a π + es covergete + + > 0; e defiitiva, se trata de ua sucesió estrictamete creciete y acotada superiormete tambié lo está iferiormete, pues 0 < a, IN; así, es covergete. Por otra parte, es claro que + Academia Kepler C k Ikastegia

5 Límites de sucesioes de úmeros reales 9. Sea {a } la sucesió defiida por a, a a. Es {a } moótoa? Está acotada? Es covergete? Solució: Es claro que IN es a > 0, luego la sucesió está acotada iferiormete y como + < < se deduce que a + < a y así la sucesió es estrictamete decreciete. Por otra parte, está acotada superiormete, pues es a < a. Como cosecuecia es covergete y además se tiee a, a, a 4,..., a + 0. Sea a IR + {0} y a a + a a Es {a } moótoa? Es covergete?,... luego a a b Demostrar si hallar su ite que a es covergete. Solució: a Es claro que a > 0 ; además es a + a a + a a > 0, luego a es estrictamete creciete. Si llamamos L a resulta L L + L, luego es divergete. L b Sea b a a a + etoces b a b + de dode + b a si es A b se tiee que A. Calcular + e a+ co a IR Solució: Distiguiremos dos casos: A + A A 0 a Si es a + > 0 etoces + e a+ 0 e a+ e a+ b Si es a + 0 etoces sea A + e a+, luego l A l + e a+ ea+ 0 A 4 Academia Kepler C k Ikastegia

6 Límites de sucesioes de úmeros reales. Calcular tg cos e + 4 l + Solució: cos cos e + 4 e + 4. Calcular Solució: i i i + i i i + Stoltz + i 0 i i + i + i i Sea {x } la sucesió defiida por x + x co 0 < x < a Está acotada? Es moótoa? Es covergete? E caso afirmativo hallar su ite y e caso egativo es divergete u oscilate? b Calcula x + x Solució: a 0 < x < 0 < x < x > x x > x x 0 < x < x < 0 < x < x > x x > x x y así sucesivamete, 0 < x < x > x x > x x +, IN; e defiitva, la sucesió {x } es estrictamete decreciete. Además está acotada, pues IN es 0 < x < x. Por tato la sucesió es covergete. Sea L x +, etoces L x x L L L L ó L 0; como ha de ser L el ite es L 0 x + b x x x x l x x x l x x 5 Academia Kepler C k Ikastegia

7 Límites de sucesioes de úmeros reales 5. Hallar el ite de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes: a!! e b f c l si! + + g + a + 7 dode a > 0 d a + b, co 0 < a b Solució:!! Stirlig a! [ + ] π π4 [ + ] e + + e b c l d Si es 0 < a < b etoces a + b A l A la + b Stoltz a a + b l b a<b a l b A b + b l a + + b + a + b + Si es a b etoces a + b b e b b Stoltz si! f + si! Academia Kepler C k Ikastegia

8 Límites de sucesioes de úmeros reales g + a a Por tato, + ; 0 < a < ; < a 0 ; a a a 6. Hallar el ite de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes: a + g cos a, a IR b si l + tg a arcsi h + a + + a siedo a cos a l c i + cos l + k + d + k IR j l + l e k f l l Solució: a + + si l + tg b arcsi cos c k + d + k l A l tg 4 l Stoltz + + A + + k l { ; k > 0 + ; k 0 7 Academia Kepler C k Ikastegia

9 Límites de sucesioes de úmeros reales { 0 ; k > 0 Por tato, A + ; k 0 e 4 + f g cos a a + a + + a l a + Stoltz + l + h + cos + i l + j l + l l k + + l l 7. Calcular a siedo: l! a a l b a i i + Solució: a + + a + l A l A l l l A 0 i l! Stoltz l +! l! a l l + + l b i i i + + Stoltz + + l + l + + l + 8 Academia Kepler C k Ikastegia

10 Límites de sucesioes de úmeros reales 8. Calcular... Solució: Sea a, a a,..., a + a y sea L a +, etoces L L L L 0 L 0 o L y como es L 0 ya que la sucesió es estrictamete creciete resulta L + b+4 + a + 9. Hallar a y b tales que + + Solució: + a + + l + + a + 0. Hallar b dode es Solució: Sea las sucesioes a b + 4 l b a b [ ] b , c ; es claro que se cumple + a b c IN Por tato, a b c b b. Calcular el siguiete ite: Solució: Sea Dada la sucesió de térmio geeral a covergete? Justifica las respuestas. Solució: Es claro que a A l A l p 0 A, es moótoa? está acotada? es + p + luego < a < < a < + < IN; y así la sucesió está acotada. 9 Academia Kepler C k Ikastegia

11 Límites de sucesioes de úmeros reales Por otra parte, a + a > 0 {a }, es decir, la sucesió es estrictamete creciete, por tato, es covergete. Además a +. Demostrar, si calcular su ite, que la sucesió cuyo térmio geeral es a 4 es covergete. Solució: La sucesió es estrictamete decreciete; e efecto, a + a < 0 y además está acotada, pues 0 < 4 < IN, luego es covergete. 4. El producto de ua sucesió divergete por ua acotada es siempre: a covergete b divergete c oscilate d covergete o divergete e covergete, divergete u oscilate. Razoa la respuesta. Solució: La respuesta correcta es la e ya que puede ocurrir cualquiera de los casos; e efecto, Sea la sucesió divergete a, y cosideremos las sucesioes acotadas b, c, d ; se tiee que a b es covergete, a c es divergete y a d es oscilate. 5. Calcula 7 + Solució: + 7 l Sea la sucesió {x } siedo x + α, co IN y α IR. Calcular los valores de α que hace que: a x + b x IR 0 Academia Kepler C k Ikastegia

12 Límites de sucesioes de úmeros reales Solució: x + α + α α 0 si α < α α + α + si α + si < α 7. Sea {a } la sucesió dada por a y a + a +. Demostrar que a < 4,. Es moótoa? Es covergete? Razoa las respuestas. Solució: Demostrémoslo por el método de iducció: a < 4 Supogamos que a < 4 a < y veamos que tambié se verifica que a + < 4; e efecto, a + a + < + 4. Por otra parte, la sucesió es estrictamete creciete; e efecto, a + a a + a a > 0; e defiitiva, la sucesió es covergete. Además si es L a etoces L L + L L 4 Academia Kepler C k Ikastegia

13 Límites de sucesioes de úmeros reales Por tato, al Rey de los siglos, imortal, ivisible, al úico y sabio Dios, sea hoor y gloria por los siglos de los siglos. Amé Timoteo :7 Pedimos disculpas al lector por los posibles errores tipográficos o coceptuales del presete documeto Academia Kepler C k Ikastegia