Examen de Febrero de 2005 de Cálculo I. Soluciones.

Transcripción

1 Eame de Febrero de 5 de Cálculo I Solucioes Sea la fució f() = e sh + co domiio R a) Hallar los tres primeros térmios o ulos de su desarrollo de Taylor e = b) Probar que eiste su fució iversa f y calcular (f ) () a) Como f o es ua fució cuyo desarrollo podemos escribir imediatamete, usamos la defiició: f() = ; f () = ch e sh + f () = ; f () = sh e sh + ch e sh f () = Por tato: f() = [Tambié podríamos compoer series: e sh + = + sh + sh + 6 sh3 + + = + [ ] + [ [ + ] ] + + = + + +, pues los demás térmios so potecias al meos 3 ] b) Como tato ch como e sh so positivos, es f () > Por tato, f es estrictamete creciete e todo R, co lo que es iyectiva e todo su domiio y eiste su fució iversa Al ser f derivable, f tambié lo es Y se tiee que: (f ) () = f (f ()) = f()= f () = Determiar si coverge la serie ( se = ( ) log ) Es covergete por ser la suma de dos series covergetes: Comparado co desigualdades: se 5 + ya que / 5 + / 3/ = + 5/ (o ya que 5 + serie covergete, 5 + < ) 3 y coverge 3/ La serie alterada ( ) log coverge por Leibiz ya que y es decreciete por crecer log log log( + ) 3 Hallar, si eiste, el límite lím se Por Taylor: log( + ) = log( + ) +, se = se = + o( ) + o( ) Por L Hôpital: log( + ) lím se = lím + se cos = lím ( + )cos lím se =

2 4 Calcular la itegral log d Por partes: log d = [ ] e log d = e [ ] e 4 = e Sea F() = 3 te t4 dt, co [, ] Determiar e qué del itervalo alcaza su valor máimo y su valor míimo El itegrado es cotiuo t y el límite superior de itegració es derivable El teorema fudametal del cálculo os asegura etoces que F es derivable y que su derivada es: F () = (3 )(3 ) e (3 ) 4, derivada que se aula e =, = 3 y = 3 F > e [, 3) F crece e [ ], 3 } F < e ( 3, ] F decrece e [ 3, ] El valor máimo ( 9/4 ) se alcaza e = 3 El míimo (que ha de eistir por ser F cotiua e el [, ] cerrado) se tomará e uo de los etremos Debemos determiar cuál de las dos siguietes itegrales es meor: F() = tet4 dt ó F() = tet4 dt (La primitiva o es calculable eactamete, pues co t = u se obtiee u du que es sabido que o lo es) El itegrado f(t) = te t4 es ua fució positiva para t > y egativa para t < (y f es impar) Segú esto, la primera de las dos itegrales <, y la seguda = + es mayor que ella, por ser > (de hecho es =, ya que f es impar) Así pues, el valor míimo se toma e = e 6 e 6 9/4 6a i) Determiar los putos dode coverge la serie = ( + ) + ii) Aalizar si coverge uiformemete e R la serie de fucioes = arcta() 5 i) la serie coverge si + < < + < < <, diverge si + > y aú o sabemos si = ó = Para = es ( ) +, serie que coverge por Leibiz, pues claramete + decrece y Si = os queda +, serie divergete como / co la que es imediato compararla Así pues, la serie coverge eactamete para < ii) Como arcta() 5 π/ y la serie π 5 ( 5 ) es geométrica covergete, el criterio de Weierstrass asegura que la serie de fucioes coverge uiformemete e todo R

3 + 6b Calcular la primitiva 3 8 d = + ( )( + + 4) = A + B + C = A( + + 4) + (B + C)( ) 3 8 = 4 = A, A = ; 3 : A + B =, B = ; 3 : 4A C =,, C = d = [ ] 3 + d = log 6 log( ++4) +K 6c Determiar si coverge la itegral impropia arcta 3/ d Itegrado positivo > Hay impropiedades e y e Debemos aalizar dos itegrales: ( ) arcta / 3/ π coverge: el itegrado se comporta como 3/ / 3/ e d coverge 3/ Como arcta = + o(), coverge, pues lo hace d : + + / Por coverger ambas impropias, la iicial arcta /3/ / / = arcta tambié es covergete +

4 Eame de Septiembre de 5 de Cálculo I Solucioes Sea f() = arcta(log ), si ; f() = π/ Pregutas de varios grupos: a) Hallar f () para b) Estudiar si f es cotiua y derivable e = c) Demostrar que eiste la fució iversa de f() e (, ) y es derivable d) Hallar lím f() a) f () = / + (log ) = + (log ), si b) Como log y arcta π ( log ) = 4(log ) / 8 log ( )L H /, es lím f() = f() f es cotiua e = 8/ ( )L H / = 8 + lím f() + π + = lím + f () =, pues además f () > si > Por tato, f o es derivable e = [Aálogamete lím f () = Se simplificaría algo los cálculos usado que f() = arcta(log ) ] c) f () > si > f estrictamete creciete e (, ) f iyectiva e (, ) eiste f Y como f es derivable y estrictamete creciete, f tambié es derivable d) log π y arcta lím f() = π Determiar cuátas veces se aula la fució f() = e se e [ π, π] Como f( π) = e π > (pues e>7 y π <6 ) y f(π) = π <, el teorema de Bolzao asegura que la f, claramete cotiua, se aula al meos ua vez e ese itervalo Como además f () = cos e se < e ( π, π) (cos es egativo y la epoecial es positiva), f es estrictamete decreciete e [ π, π] y, por tato, se aula eactamete ua vez 3 Sea F() = te t4 dt Hallar F(), F () y (F F) () Razoar si F() es mayor o meor que F() F() = te t4 dt =, por ser el itegrado ua fució impar El TFC (itegrado cotiuo y límites de itegració derivables) asegura que F eiste y que: F () = e 4 ( )( ) e ( )4 F () = e e = e Por la regla de la cadea: (F F) () = F (F()) F () = F () F () = (e )( e ) = e F() = te t4 dt = te t4 dt < [el itegrado es positivo e (, )] F() < F() (La primitiva o es calculable, pues co t = u aparece u du) 4 Calcular: π/ se 5 d π/ ( cos ) se d = π/ (se se cos + se cos 4 ) d [ ] π/ = cos + cos3 cos5 = = 8 5

5 5 Determiar los putos dode coverge la serie Cociete: + + = 3 + (+) ( ) coverge si < < < 3 aú o sabemos si = ó = 3 diverge si > Si = 3 queda 3 +, serie covergete como 3/ co la que es imediato compararla: 3 + 3/, o bie, / 3 + / 3/ Para = es ( ), serie absolutamete covergete segú lo que acabamos de ver 3 + (o que coverge por Leibiz, pues claramete decrece y ) 3 + Así pues, la serie coverge eactamete para 3 6 Calcular: lím cos 4 ( + ) / = + + (/)( /) +,! = cos 4 = o(4 ) 4 ( ) / cos , cos = [Por L Hôpital las cosas se complica y hay que derivar 4 veces: ( ) / + se L H(/) 4 3 ( ) / ( ) 3/ + cos L H(/) ] L H(/) 7a Sea f () = e i) Calcular los valores máimo y míimo e [, ) de cada f () X ii) Determiar si coverge uiformemete e [, ) la serie de fucioes f () i) f () =, f () > si > el valor míimo e [, ) es f () = ( ) e f crece hasta = y luego decrece valor máimo = f ( ) = e ii) Como f () e si (, ) y sabemos que la serie e coverge, el criterio de Weierstrass asegura que la serie de fucioes coverge uiformemete e (, ) = 7b Determiar si coverge la itegral impropia log(+) 3/ d Itegrado positivo > Hay impropiedades e y e Debemos aalizar dos itegrales: log(+)/ : 3/ log(+) /(+) lím = lím = lím / 5/4 /4 3/4 /4 =, d coverge la dada coverge 5/4 Como log(+) = +o(), coverge, pues lo hace d y log(+)/3/ + + / / / = log(+) + Por coverger ambas impropias, la iicial tambié es covergete