SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

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1 CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes al cálculo ifiitesimal. E. Ejercicios propuestos. 223

2 A. CAMPO DE CONVERGENCIA. CONVERGENCIA UNIFOR- ME. Cosideramos e este capítulo sucesioes {f } cuyos térmios so fucioes reales co domiio I comú. Para cada x I, se costruye la sucesió umérica {f (x)} formada por las imágees de las fucioes e el puto x. Aálogamete, se defie la serie de fucioes f como la sucesió {S } de sumas parciales S = f k. k= E lo que sigue os referiremos a series de fucioes pues, auque so u caso particular de las sucesioes, uestro iterés se cetra e el estudio de las series de potecias (secció B) y el desarrollo de fucioes e series de potecias (secció C). Defiimos campo de covergecia de la serie f como el cojuto S de putos x I para los que la serie umérica f (x) coverge. Así pues, si f(x) = f (x), co x S, se dice que la serie f coverge putualmete a f. Como sabemos, esto sigifica que, llamado S (x) = f k (x), x S, ε >, N N : S (x) f(x) = f k (x) < ε, > N, dode N depede de ε y de x. Si dicho N es el mismo para todos los valores de x S (o depede de x), se dice que la serie f coverge uiformemete a f e S. k> De la defiició es evidete la siguiete propiedad: ) Si ua serie de fucioes f coverge uiformemete a f, etoces coverge putualmete a f. Otras propiedades de iterés so las siguietes: 2) Criterio de covergecia de Cauchy. La serie f coverge uiformemete e S si y sólo si x S, ε >, N N : 224 k+p =k+ k= f (x) < ε, k > N, p N.

3 3) Cotiuidad. Si ua serie de fucioes f coverge uiformemete a f e S y cada f es cotiua e x S, etoces f es cotiua e x. E símbolos, lím f (x) = lím f (x). x x x x 4) Derivació. Sea {f } ua sucesió de fucioes derivables e (a, b) y tal que la serie f (x ) coverge para algú x (a, b). Si la serie f coverge uiformemete e (a, b), etoces f coverge uiformemete e (a, b) y ( ) f (x) = f (x), x (a, b). 5) Itegració. Si ua serie de fucioes f coverge uiformemete a f e u itervalo [a, b] y cada f es itegrable e [a, b], etoces f es itegrable e [a, b] y x a f (t) dt = x a f (t) dt, x [a, b]. Esto se expresa diciedo que ua serie uiformemete covergete se puede itegrar térmio a térmio. U método usual para probar que ua serie es covergete es el siguiete. 6) Criterio de Weierstrass. Sea f ua serie de fucioes tal que f (x) a,, x S, dode a es ua serie umérica covergete. Etoces f coverge uiformemete e S. Observació. El criterio de Weierstrass asegura la covergecia uiforme y absoluta de ua serie de fucioes, pero e geeral ambos coceptos o so equivaletes. PROBLEMA 5. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. 225

4 Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado: lím a < lím 2 se x < se x < /2 ( ) (6 )π (6 + )π x,, Z, 6 6 que so los itervalos dode la serie es absolutamete covergete. E los extremos de cada itervalo, es decir cuado se x = /2, dode el criterio de la raíz o decide, queda las series ó ( ), que so claramete divergetes. PROBLEMA 5.2 Hallar el campo de covergecia de la serie = cos x e x. Descompoemos el problema e varios casos: - Si x >, aplicamos el criterio de comparació; teemos por u lado que cos x e x e x y, aplicado el criterio de la raíz a la serie /e x, resulta: lím /e x = lím /e x < pues x >. Como la serie mayorate es covergete, tambié lo será la serie dada. - Si x =, teemos la serie que es divergete. - Si x <, como lím e x =, etoces o existe lím serie es tambié divergete. cos x e x, co lo que la PROBLEMA 5.3 Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie x e R. ( + x) 226

5 x Cuado + x <, es decir 2 < x <, teemos que ( + x). Por el criterio del resto se deduce que la serie o es covergete e R. E particular, tampoco coverge uiformemete. PROBLEMA 5.4 Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie e x se x e R. Cuado x >, el térmio geeral e x se x o tiee límite. Por el criterio del resto se deduce que la serie o coverge e R. PROBLEMA 5.5 Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie se x e R. Aplicaremos el criterio de Weierstrass. Como se x, y la serie = 3/2 es covergete, se deduce que la serie propuesta coverge absoluta y uiformemete e R. PROBLEMA 5.6 Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie ( ) x e [ /2, /2]. 227

6 La serie coverge absoluta y uiformemete debido al criterio de Weierstrass porque, si /2 x /2, ( ) x 2, y la serie geométrica /2 es covergete. PROBLEMA 5.7 Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie 2x arc tg x 2 e R. + 3 Sea N ua costate positiva fija. Teiedo e cueta que arc tg x x, x R, obteemos las siguietes acotacioes: - Si x N, 2x arc tg x x x N 3,. - Si x > N, 2x arc tg x x x , > x. 2 Como las dos series 2N 3 y 2 so covergetes, del criterio de Weierstrass se deduce que la serie propuesta es absoluta y uiformemete cover- 2 gete. PROBLEMA 5.8 Probar que la serie si p >. x se x p coverge uiformemete e [, ] E efecto, por el criterio de Weierstrass, si p > y x, teemos la acotació x se x p p y la serie mayorate es covergete. p 228

7 PROBLEMA 5.9 Probar que la serie ( ) x2 + 2 coverge uiformemete e todo [a, b] pero uca coverge absolutamete. Si llamamos f (x) = ( ) x2 +, por el criterio de comparació, como 2 f (x) / y la serie / es divergete, la serie propuesta o es absolutamete covergete. Si embargo, aplicado el criterio de Leibitz, se prueba que coverge codicioalmete e R. Por otra parte, al ser ua serie alterada, si llamamos α = máx{ a, b }, teemos: S (x) S(x) f + (x) = x2 + ( + ) ( + ) 2 α2 + ( + ) ( + ) 2, x [a, b], lo que idica que la serie coverge uiformemete. PROBLEMA 5. Dada la serie f (x), dode f (x) so cotiuas e [, ] para = todo y verifica la acotació f k (x) x 2 2, x [, ], + 5 k= calcular f (x) dx. = Como 2 cuado idepedietemete de x [, ], la + 5 acotació dada idica que la serie f (x) coverge uiformemete a la = fució y = x 2. E cosecuecia la serie se puede itegrar térmio a térmio y resulta: = f (x) dx = f (x) dx = = x 2 dx =

8 PROBLEMA 5. Probar que la serie se x 2 es covergete e todo R. Si f(x) es su suma, probar que f es cotiua e [, π] y que π f(x) dx = 2 (2 ) 3. se x Si llamamos f (x) = 2, como f (x) 2,, x R y la serie 2 es covergete, por el criterio de Weierstrass se deduce que la serie propuesta es uiformemete covergete e R. Como además las fucioes f (x) so cotiuas, tambié lo será su suma f(x). De la fórmula π f(x) dx = π f (x) dx, deducimos etoces que: π f(x) dx = = π se x 2 cos π 3 [ cos x dx = 3 = 2 (2 ) 3, ] π pues cos π = { si es par 2 si es impar. B. SERIES DE POTENCIAS. INTERVALOS DE CONVERGEN- CIA. Ua serie de la forma a (x a) = a + a (x a) + + a (x a) +..., co a R,, se llama serie de potecias de x a o serie de potecias cetrada e a. Nos referiremos aquí a las series de potecias cetradas e el orige pues basta hacer ua traslació x a = t para reducir la serie a t. La siguiete propiedad es básica: a (x a) a la serie 23

9 ) El campo de covergecia de ua serie de potecias a x es u itervalo cetrado e el orige, o todo R, o el orige. Así pues, para determiar el itervalo de covergecia, basta calcular la distacia de los extremos del itervalo al orige, lo que llamaremos radio de covergecia. 2) Fórmula de Hadamard. El radio de covergecia (la mitad de la amplitud del itervalo de covergecia) de ua serie de potecias a x es R = /L dode L = lím sup a. 3) Si el campo de covergecia tiee radio R, la serie coverge absoluta y uiformemete x ( R, R) y diverge si x > R. Si embargo, si x = R ó x = R, cabe todas las posibilidades. Para la mayor parte de las series de potecias que cosideraremos, el campo de covergecia puede obteerse mediate el criterio del cociete o de la raíz. Teemos etoces la siguiete propiedad: 4) a) Si existe lím a = L, el radio de covergecia es R = /L. b) Si existe lím a + a = L, el radio de covergecia es R = /L. Las operacioes posibles co series de potecias se deduce de las correspodietes co series arbitrarias. Podemos destacar las siguietes: 5) E el iterior de su itervalo de covergecia, toda serie de potecias puede derivarse térmio a térmio. Es decir, ( a (x a) a (x a) ) = y la serie obteida tiee el mismo radio de covergecia que la serie origial. 6) Toda serie de potecias es itegrable e su campo de covergecia y la primitiva se obtiee itegrado térmio a térmio la serie dada. Esto se expresa simbólicamete como x a (t a) dt = (x a)+ a, x (a R, a + R) a + y la serie resultate tiee el mismo radio de covergecia que la serie origial (auque es posible que coverja tambié e algú extremo del itervalo de covergecia). 23

10 7) Dadas las series de potecias f(x) = a (x a) y g(x) = b (x a), covergetes e los itervalos (a R, a + R ) y (a R 2, a + R 2 ), respectivamete, el producto viee dado por la serie f(x) g(x) = c (x a), x ( R, R), dode c = a k b k, y R = mí{r, R 2 }. k= PROBLEMA 5.2 Determiar el campo de covergecia de la serie x 2 2. Aplicado la fórmula de Hadamard, calculamos el radio de covergecia como: R = lím sup a = lím 2 2 = 2. Por tato, R = 2 y la serie coverge absolutamete cuado x ( 2, 2). E los extremos del itervalo teemos: - Si x = 2, resulta la serie que es covergete. 2 - Si x = 2, resulta la serie ( ) 2 que es tambié absolutamete covergete. PROBLEMA 5.3 Determiar el campo de covergecia de la serie! x. Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím! = lím e 2π = e, 232

11 co lo que R = e y la serie coverge absolutamete e ( e, e) y diverge cuado x (, e) (e, ). E los extremos teemos: - Si x = e, la serie es! e. Como lím! e = lím 2π =, la serie es divergete. - Si x = e, la serie es ( )! e misma razó del caso aterior. que tambié es divergete, por la PROBLEMA 5.4 Determiar el campo de covergecia de la serie x. Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím =, de dode R = y la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). - Si x =, la serie resulta que es divergete. - Si x =, teemos la serie ( ) que es codicioalmete covergete (basta aplicar el criterio de Leibitz). PROBLEMA 5.5 Determiar el campo de covergecia de la serie a, b >. x a + b, dode 233

12 Supodremos que a b pues, e caso cotrario, se procede de forma aáloga. Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím a + b = lím a + (b/a) = a, co lo que R = a y la serie coverge absolutamete e ( a, a) y diverge e (, a) (a, ). - Cuado x = a, teemos la serie a lím la serie es divergete. a + b. Como a a + b = lím + (b/a) =, - Cuado x = a, aplicamos el mismo procedimieto aterior y la serie es tambié divergete. PROBLEMA 5.6 Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x. + Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím = = R =, + y la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). - Si x =, teemos la serie ( ) y si x =, ( ). E + + ambos casos, si llamamos a al térmio geeral, ( ) lím a = lím = lím e ( ) + = lím e + = e, + de modo que ambas series so divergetes. 234

13 PROBLEMA 5.7 Hallar el itervalo de covergecia de la serie (x ) 3(x )2 + ( + )(x ) ( ) Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím + 2 = 2 = R = 2. El itervalo de covergecia es etoces I = ( 2, + 2) = (, 3). - Para x =, teemos la serie divergete ( + ), y para x = 3, teemos tambié la serie divergete ( ) + ( + ). PROBLEMA 5.8 Determiar el campo de covergecia de la serie + ( ) x4 4. Aplicaremos el criterio del cociete cosiderado la serie como serie umérica. lím a + a = lím x 4+3 /(4 + 4) x 4 /4 = x 4. La serie será covergete cuado x 4 <, es decir cuado x <, y divergete cuado x >. E los casos extremos teemos: - Si x =, la serie + ( ) 4 es codicioalmete covergete. - Si x =, la serie es ( ) 4 covergete. que es tambié codicioalmete 235

14 PROBLEMA 5.9 Determiar el campo de covergecia de la serie [cos(/)] x. Por la fórmula de Hadamard, R = lím sup a = lím [cos(/)] =, de modo que la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). E los extremos x = y x = las series so divergetes porque, aplicado el criterio del resto, lím [cos(/)] = lím e 2 +2 [cos(/) ] = lím e 2 +2 /2 2 =. PROBLEMA 5.2 Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x. Aplicaremos el criterio de comparació, para lo que llamaremos a = ( ) x. Teemos la acotació a = ( ) x x. Además la serie x coverge si x < como se deduce aplicado el criterio del cociete: lím ( + ) x x = x. Lo aterior idica que la serie propuesta es tambié absolutamete covergete cuado x <. Ahora bie, si x =, lím a o existe; por tato la serie diverge. Por tratarse de ua serie de potecias, la serie debe ser tambié divergete cuado x >. 236

15 PROBLEMA 5.2 Determiar el campo de covergecia de la serie (x ) 2 9. Aplicado el criterio de la raíz, lím a = lím x 2 9 x 2 =. 9 Esto quiere decir que la serie coverge absolutamete cuado x 2 < 9, es decir cuado x ( 2, 4) y diverge cuado x (, 2) (4, ). Además, tato para x = 2 como para x = 4, queda la serie / que es divergete. PROBLEMA 5.22 Determiar el campo de covergecia de la serie (2 ) (x + ) 2. Por el criterio de la raíz teemos: lím a = lím (2 ) x + 2 ( )/ = x + de modo que la serie coverge absolutamete cuado x + <, es decir cuado x ( 2, ) y diverge cuado x (, 2) (, ). - Para x = queda la serie (2 ) 2. Esta serie es divergete porque el térmio geeral o tiede a cero: lím (2 ) 2 = lím 2 ( ) 2 = 2e /2. - Si x = 2, teemos la serie alterada ( ) (2 ) 2 que tambié es divergete por la misma razó que e el caso aterior

16 PROBLEMA 5.23 Determiar el campo de covergecia de la serie (x + 5) Por el criterio del cociete, obteemos: lím a + a = lím x (+) 4 + = lím x x ( + ) 2 4 x =. 4 x Etoces la serie coverge absolutamete cuado <, es decir cuado x ( 7, 3) y diverge cuado x (, 7) ( 3, 4 ). E los extremos del itervalo, x = 3 y x = 7, teemos la serie /4 que es divergete. PROBLEMA 5.24 Determiar el campo de covergecia de la serie! (a + )... (a + ) x. Si aplicamos el criterio del cociete, teemos: (+)!x lím a + a = lím (a+)...(a+)(a++)!x (a+)...(a+) = lím ( + ) x a + + = x. Etoces la serie es absolutamete covergete cuado x < y divergete cuado x >. E los extremos del itervalo de covergecia teemos: - Si x =, la serie es!. Aplicado el criterio de Raabe, (a + )... (a + ) resulta: ( lím + ) a = lím a + + a + + = a, co lo que la serie es covergete si a > y divergete si a <. Por último, si a =, la serie es ahora, que es evidetemete divergete

17 - Si x =, queda la serie alterada ( )! (a + )... (a + ). Como hemos visto ates, cuado a > es absolutamete covergete. Cuado a! aplicamos el criterio de Leibitz, para lo cual llamamos a = (a + )... (a + ) : Como a + = + a a + +, la sucesió {a } es decreciete si < a y creciete si a <. E el primer caso, < a, además lím a =. Veámoslo:! Si llamamos L = lím (a + )... (a + ) = lím ( + a)( + a/2)... ( + a/), al tomar logaritmos obteemos: l L = lím [l( + a) + l( + a/2) + + l( + a/)] = l( + a/). Esta última serie es divergete pues l(+a/) /, co lo que l L =, de dode L = e =, como queríamos probar. Por último, si a =, teemos la serie divergete ( ). E resume, e el caso x =, la serie dada es absolutamete covergete cuado a > ; codicioalmete covergete cuado < a y divergete cuado a. = PROBLEMA 5.25 Determiar el campo de covergecia de la serie ( x l + ). Por el criterio del cociete, lím a + a = lím x l +2 + x l + = x. Teemos etoces que la serie coverge absolutamete cuado x < y diverge cuado x >. Además, - Si x =, teemos la serie l( + /) que es divergete como se comprueba al compararla co la serie armóica /. 239

18 - Si x =, queda la serie alterada ( ) l( + /) que es codicioalmete covergete, pues la sucesió {l( + /)} es decreciete y tiee límite cero. PROBLEMA 5.26 Determiar el campo de covergecia de la serie (2 + )! (4 3)(3) ( x/e)5. Si hacemos el cambio t = ( x/e) 5 y aplicamos el criterio del cociete, teemos: lím a + a = lím (2+3)! (4 3)(3)(4+)(3+3) t = lím (2+)! (4 3)(3) (2 + 3)(2 + 2) t = (4 + )(3 + 3) t 3. De aquí se deduce que la serie coverge absolutamete cuado t < 3, o bie cuado x < e 5 3, y diverge cuado x > e Cuado x = e 5 3, la serie queda ( ) 5 (2 + )! (4 3)(3). Esta serie es divergete porque el térmio geeral o tiede a cero. E efecto, como a + a = (2 + 3)(2 + 2) 3 (4 + )(3 + 3) etoces a + > a y lím a. = >, - Cuado x = e 5 3, procedemos de maera aáloga al caso aterior. Así la serie es tambié divergete. PROBLEMA 5.27 Si la serie a z tiee radio de covergecia 2, ecotrar los radios de covergecia de las series a k z, a z k, (k > ), a z 2. 24

19 Por hipótesis sabemos que /2 = lím sup a. Aplicado tambié la fórmula de Hadamard e los demás casos, teemos: ( k lím sup a k = lím sup a ) = 2 k. De aquí se deduce que la serie a k z tiee radio de covergecia R = 2 k. Para el segudo caso, como lím sup k a = lím sup a k = (/2) =, el radio de covergecia de la serie a z k es R 2 =. Aálogamete, como [ lím sup 2 a = lím sup a /] (/ 2 ) = (/2) =, el radio de covergecia de a z 2 es R 3 =. PROBLEMA 5.28 Se cosidera la serie de potecias a x, dode llamamos a = (2 + ). a) Probar que su radio de covergecia es 2. b) Probar que la serie origial o coverge e x = 2. c) Sea b = a 2 y p = l b. Probar que los térmios p so las sumas parciales de ua serie de térmios egativos que diverge hacia. d) Deducir de c) el carácter de la serie origial e x = 2. a) Por el criterio del cociete, lím a + a = lím 2... (+) (2+)(2+3) (2+) x + x = lím de modo que la serie coverge absolutamete cuado x < x = x 2,

20 b) Para x = 2 aplicamos el criterio de Raabe: ( lím a ) ( + = lím + ) a = lím = 2 <, por lo que la serie es divergete. c) Si escribimos b = a 2 = (2 + ) = , etoces p = l b = l l l es ua catidad egativa por ser suma de úmeros egativos (logaritmos de úmeros meores que uo). Además p es la suma de los primeros térmios de la serie 2 l. Esta serie es divergete 2 + como se observa al aplicar el criterio de comparació co la serie /: 2 2+ lím l / ( ) 2 = lím l = e / Esto quiere decir que lím p =, como queríamos probar. d) La serie origial e x = 2 es la serie alterada ( ) 2 a. Para estudiar su covergecia aplicamos el criterio de Leibitz. Por el apartado c), el térmio geeral e valor absoluto tiede a cero pues ( ) 2 a = b = e p e =. Además la sucesió {b } es decreciete pues b + + = 2 b = <. De lo aterior resulta que la serie es codicioalmete covergete (la covergecia o es absoluta pues vimos e el apartado b) que la serie de valores absolutos o es covergete). C. DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIES DE POTEN- CIAS. Se platea e esta secció el problema de saber si ua fució f es la suma de ua serie de potecias que coverja e cierto itervalo cetrado e 242

21 algú puto x = a. Es decir, queremos ecotrar los coeficietes {a } para que f(x) = a (x a), x (a R, a + R). ) Ua codició ecesaria para que exista dicha serie es que f sea ifiitamete derivable e u etoro de a; e este caso, los coeficietes se obtiee por la fórmula a = f () (a) (como se deduce al aplicar sucesivas veces la propiedad 5 de la secció B). Teemos así la llamada! serie de Taylor geerada por la fució f e el puto x = a: f(x) f () (a)! (x a), o, e el caso particular de a =, la serie de McLauri geerada por f: f(x) f () (a)! Para ecotrar algua codició suficiete que asegure la covergecia de la serie de Taylor a la fució f escribimos la siguiete fórmula de Taylor co resto: f(x) = k= f (k) (a) k! x. (x a) k +R (x, a), dode R (x, a) = f (+) (c) ( + )! (x a)+ para algú c compredido etre x y a (R (x, a), llamado resto de orde de la serie, idica el error cometido al sustituir la fució f por la suma de los primeros térmios de la serie de Taylor asociada). Es R (x, a) evidete que lím =, es decir, el resto es u ifiitésimo de x a (x a) orde superior a e x = a. De lo aterior se deduce que: 2) Ua codició ecesaria y suficiete para que la serie de Taylor coverja a f es que lím R f (+) (c) (x, a) = lím ( + )! (x a)+ =. Muchas veces, e la práctica basta ecotrar ua cota superior de la derivada de orde + de la fució e u etoro de x = a. Esto da lugar etoces a: 3) Ua codició suficiete para que la serie de Taylor coverja a f es que las derivadas de cualquier orde de la fució f esté acotadas e algú etoro de a. 243

22 Escribiremos a cotiuació los desarrollos e serie de las fucioes más comues, que servirá de base para obteer los desarrollos de otras fucioes.. Fució expoecial. e x = y la serie coverge e todo R. x!, 2. Fucioes trigoométricas. se x = ( ) x 2+ (2 + )!, que coverge e todo R. Aálogamete, cos x = ( ) x2 (2)! y coverge tambié e todo R (se puede obteer como derivada de se x). 3. Fució logarítmica. l(x + ) = x ( ) y la serie coverge absolutamete e (, ) y codicioalmete e x =. 4. Serie biómica. ( + x) m = ( ) m x, ( ) m m(m )... (m + ) (dode defiimos =, para todo m R y! N) y la serie es absolutamete covergete e (, ); para ciertos valores de m la serie tambié coverge e algú extremo del itervalo. E los siguietes problemas veremos la forma de obteer desarrollos e serie de fucioes que se obtiee mediate operacioes algebraicas de las ateriores. PROBLEMA 5.29 Desarrollar e serie de McLauri la fució f(x) = ( + x)e x y determiar su itervalo de covergecia. 244

23 Como e x = ( x), para todo x R, etoces! ( + x)e x = ( x) + x ( x) = + ( ) x + ( )!!!! = + ( ) x + ( ) m! (m )! xm m = + [ ] ( ) x! = + ( ) x, ( )!! y el desarrollo es tambié válido e todo R. x + PROBLEMA 5.3 x Desarrollar la fució f(x) = x + e serie de potecias + x 2 alrededor del orige especificado su itervalo de covergecia. Utilizaremos el desarrollo e serie biómica ( + x 2 ) /2 = ( ) /2 válido cuado x < ; teiedo e cueta que = ( ) resulta: x + x( + x 2 ) /2 = x + ( ) = 2x + ( ) ( / (2 )! 2 x (2 )! 2 x 2+, ) (x 2 ), 3... (2 )! 2, y el desarrollo es igualmete válido cuado x < (observar tambié que la serie coverge codicioalmete cuado x = ± procediedo como se hizo e el problema 5.24). PROBLEMA 5.3 Desarrollar la fució f(x) = e serie de potecias alrededor del orige. { e x x si x si x = 245

24 A partir del desarrollo e x = e x = x!, obteemos: x! = ex = x x! y el desarrollo es válido e todo R por serlo el desarrollo de e x. PROBLEMA 5.32 Obteer el desarrollo e serie de potecias de x de la fució f(x) = ( + x 2 ) arc tg x, especificado su itervalo de covergecia. Calculado la derivada de la fució y = arc tg x, teemos el desarrollo: y = + x 2 = ( ) (x 2 ) = ( ) x 2. Si itegramos ahora térmio a térmio, para x (, ): y = ( ) x2+ + C, co C = y() =. 2 + Multiplicado ahora por + x 2, obteemos e defiitiva: f(x) = ( ) x2+ ( ) x2+3 ( ) x = m x2m+ ( ) 2m = x + ( ( ) x ) 2 m = x + ( ) 2 (2 + )(2 ) x2+, y el desarrollo es válido cuado x < pues correspode al itervalo dode es válido el desarrollo de (+x 2 ) (e este caso se puede comprobar fácilmete que tambié es covergete cuado x = ±). 246

25 PROBLEMA 5.33 Desarrollar e serie de potecias alrededor de x = la fució f(x) = x especificado su itervalo de covergecia. Escribir + x3 el desarrollo de la fució F (x) = x f(t)dt. A partir del desarrollo de ( + x 3 ) resulta: x( + x 3 ) = x ( ) x 3 = ( ) x 3+, y la serie coverge absolutamete a la fució cuado x (, ). Como e dicho itervalo la covergecia es absoluta y uiforme, etoces F (x) = x f(t)dt = = [ t ( ) x ] x ( ) t 3+ dt = ( ) x Ahora la serie obteida coverge tambié (auque sólo codicioalmete) cuado x =. PROBLEMA 5.34 Desarrollar la fució f(x) = se 2 x e serie de McLauri. Debido a la fórmula se 2 cos 2x x = y a partir del desarrollo del coseo, 2 el desarrollo de la fució dada es: f(x) = 2 ( ) (2x)2 = ( ) 22 x 2. 2 (2)! (2)! El itervalo de covergecia coicide pues co el de la serie correspodiete a cos 2x, es decir todo R. 247

26 PROBLEMA 5.35 Desarrollar la fució f(x) = l( + x) + x e serie de McLauri. Debemos multiplicar las series correspodietes a las fucioes y = l(+x), y = ( + x). Teemos pues: f(x) = ( ) x ( ) x. Para calcular el coeficiete del térmio geeral de la serie producto hacemos: p = a k b k = k= E defiitiva, teemos: ( ) k ( ) k k = ( ) k= f(x) = ( ) ( ) /k x, k= k=,. k y el desarrollo es válido e (, ) que correspode a la itersecció de los itervalos de covergecia de las series factores. PROBLEMA 5.36 Desarrollar alrededor de x = la fució f(x) = x. Haciedo el cambio de variable t = x, podemos escribir la fució como f(t) = t +. Al desarrollar ésta última como serie biómica, obteemos: ( ( /2 /2 f(t) = (t + ) /2 = ) t = f(x) = ) (x ), y el desarrollo es válido cuado < x <, es decir cuado < x <

27 PROBLEMA 5.37 Desarrollar la fució f(x) = 2 5x e serie de McLauri. 6 5x x2 E primer lugar descompoemos la fució e fraccioes simples. Así: f(x) = 5x 2 x 2 + 5x 6 = A x + B x + 6 = [ + (x/6)] = = (A + B)x + 6A B (x )(x + 6) = A =, B = 6. ( ) m x, Teiedo e cueta ahora el desarrollo e serie biómica, ( + x) m = x (, ), escribimos los desarrollos correspodietes a cada sumado como: = [ + ( x)] = ( ) ( x) = x, x (, ); x ( 6 ( ) x, x/6 (, ). x ) (x/6) = Sumado las series e el itervalo (, ), que es la itersecció de los itervalos de covergecia de ambas series, obteemos: f(x) = x + ( ) x 6 = ) ( + ( ) 6 x. PROBLEMA 5.38 Desarrollar la fució f(x) = arc se x e serie de McLauri. Como la derivada de la fució es f (x) = x 2 = ( x2 ) /2, podemos escribir el desarrollo de esta última fució como: f (x) = ( ) /2 ( x 2 ) = 3... (2 ) 2 x 2, x (, ).! Itegrado ahora térmio a térmio e el itervalo de covergecia absoluta, resulta: f(x) = 3... (2 ) 2 x2+, x (, ).!

28 PROBLEMA 5.39 Desarrollar la fució f(x) = + x e serie de McLauri. x3 Si descompoemos la fució e dos fraccioes y aplicamos el desarrollo de la serie geométrica ( x 3 ) = ( ) ( x 3 ), teemos: f(x) = x 3 + x x 3 = = x 3 + ( ) ( x 3 ) + x x 3+ = (x 3 + x 3+ ) ( ) ( x 3 ) y el desarrollo es válido e el itervalo (, ), que correspode al itervalo dode coverge ambas series. PROBLEMA 5.4 Desarrollar la fució f(x) = ex + x e serie de McLauri. Multiplicado las series correspodietes a las fucioes y = e x e y = ( + x), teemos: x f(x) =! ( ) x. El coeficiete del térmio geeral e la serie producto es p = a k b k = k= ( ) k y la serie p x coverge absolutamete e el itervalo (, ) que correspode a la itersecció de los itervalos de covergecia de las dos series factores. 25 k= k!

29 PROBLEMA 5.4 Desarrollar la fució f(x) = l + x x e serie de McLauri. Aplicado las propiedades usuales de los logaritmos, escribimos la fució como f(x) = [l( + x) l( x)]. Recordado que el desarrollo de l(+ 2 x) e serie de McLauri es ( ) x, y el radio de covergecia es, escribimos los desarrollos correspodietes a cada uo de los sumados y obteemos: f(x) = ( ) x ( ) ( x) 2 = ( ) [ ( ) ]x = x y la serie coverge absolutamete e (, ). PROBLEMA 5.42 Es posible desarrollar { e serie de potecias alrededor del orige e x + e /x2 si x, la fució f(x) = si x =? La fució y = e /x2 tiee todas sus derivadas e el orige ulas (esto se puede probar por iducció), de modo que f () () = y podemos escribir el desarrollo f(x) + x + x2 2! + + x! + R (x). ) Si embargo, como lím ( + x + x2 2! + + x! + R (x) = e x + lím R (x), si la serie coverge a la fució, debe ser lím R (x) = e /x2 salvo para x =. Esto idica que la fució o es desarrollable e serie de McLauri. 25

30 D. APLICACIONES AL CÁLCULO INFINITESIMAL. Debido a que las series de potecias so la geeralizació imediata de los poliomios (dode el úmero de térmios es ifiito), el cálculo de las derivadas e itegrales es tambié directo. Además, como muchas fucioes elemetales so suma de series de potecias, sus valores e putos del itervalo de covergecia será tambié suma de las series correspodietes a esos putos. Esto permite platear ua gra variedad de aplicacioes de los desarrollos de fucioes e serie de Taylor y McLauri a diversos problemas de Cálculo Ifiitesimal; completamos así las herramietas ecesarias para el cálculo de límites, derivadas, itegrales y sumas de series que o era posible si el uso de las series de potecias. PROBLEMA 5.43 Calcular, mediate series de fucioes, lím x se 2 x x 2 (e x ) 4. Teiedo e cueta el desarrollo e serie de las fucioes ivolucradas, podemos escribir las siguietes relacioes: se x = x x3 3! +... = se2 x = x 2 2x4 3! +... = se2 x x 2 = 2x4 3! +R 4(x), R 4 (x) dode lím x x 4 =, lo cual da lugar a la equivalecia se 2 x x 2 2x4 3!. Procediedo aálogamete, resulta: e x = + x + R (x) = e x = x + R (x) = (e x ) 4 x 4. Aplicado las equivalecias obteidas, teemos: se 2 x x 2 2x 4 /6 lím x (e x ) 4 = lím x x 4 = 3. PROBLEMA 5.44 Calcular, mediate series de fucioes, lím x se 2 x 3 ( cos x 2 )

31 Aálogamete al problema aterior, teemos: se x 3 = x 3 + R 3 (x) = se 2 x 3 = x 6 + R 6 (x) = se 2 x 3 x 6 ; cos x 2 = x4 2! + R 4(x) = cos x 2 = x4 2 + R 4(x) = ( cos x 2 ) 3 x2 8. Aplicado las equivalecias ateriores, obteemos: lím x se 2 x 3 ( cos x 2 ) 3 = lím x x 6 x 2 /8 = lím x 8 x 6 =. PROBLEMA 5.45 Calcular, mediate series de fucioes, { la derivada de orde k e se x el orige de la fució f(x) = x si x si x =. Debido al desarrollo se x x = x2 3! + + ( ) x 2 (2 + )! +..., y recordado que el térmio geeral del desarrollo verifica la fórmula a k = f (k) (), k! se obtiee e defiitiva que { si k = 2 + (k es impar) f (k) () = a k k! = ( ) ( ) (2+)! (2)! = 2+ si k = 2(k es par). PROBLEMA 5.46 Calcular, mediate series de fucioes, se x 2 dx. Como se x 2 = ( ) (x2 ) 2+ y la covergecia es uiforme e R, podemos itegrar térmio a (2 + )! térmio: se x 2 dx = ( ) (2 + )! x 4+2 dx = 253 ( ) (2 + )!

32 PROBLEMA 5.47 Calcular, mediate series de fucioes, x dt + t 3. A partir del desarrollo e serie + t 3 = ( ) (t 3 ), que es uiformemete covergete e (, ), resulta: x dt + t 3 = x ( ) t 3 dt = ( ) x3+, x (, ). 3 + PROBLEMA 5.48 Calcular l x dx. Aplicaremos e este caso el desarrollo de la fució logaritmo. Como l x = l( x) = x, x (, ), y la covergecia es uiforme e dicho itervalo, la itegral impropia vale β l dx = lím l x β x dx β x = lím β dx = ( + ) =. Para calcular la suma de la última serie, se descompoe el térmio geeral e fraccioes simples y se obtiee e forma simplificada el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales (ver capítulo 9). PROBLEMA 5.49 Probar que x + x 3 dx = = ( )

33 Si escribimos el desarrollo e serie de la fució itegrado, obteemos: x + x 3 = x ( ) x 3 = ( ) x 3+, x (, ). Como la covergecia de la serie de potecias es uiforme, itegramos térmio a térmio, co lo que: x + x 3 dx = ( ) x 3+ dx = ( ) = ( ) m 3m. m PROBLEMA 5.5 Probar que la serie x( x) coverge o uiformemete e [, 2). Si embargo, se puede itegrar térmio a térmio e [, ]. Como se trata de ua serie geométrica de razó x, será covergete si x <, es decir si < x < 2. Además, si x =, resulta la serie que coverge a la fució cero, pero si x = 2, resulta la serie ( ) 2 que es divergete. De lo aterior se deduce que el itervalo de covergecia es [, 2). Para ver que la covergecia o es uiforme, llamamos {S (x)} a la sucesió de sumas parciales, es decir S (x) = k= x( x) k ( x)+ = x ( x) Etoces S(x) = lím S (x) = = { si x = si < x < 2. { ( x) + si < x < 2 si x =. Como dicho límite o es ua fució cotiua, o puede ser límite uiforme de fucioes cotiuas. Por otra parte, para ver que se puede itegrar térmio a térmio e [, ], 255

34 teemos: S(x) dx = ; f (x) dx = [ ] x( x) = S (x) dx = = = ( x) + dx = ( + )( + 2) =. ( + )( + 2) Como se observa e este problema, la covergecia uiforme o es ecesaria para que se pueda itegrar térmio a térmio ua serie auque, como sabemos, sí es ua codició suficiete. PROBLEMA 5.5 Calcular las itegrales de las siguietes fucioes e el itervalo [, ]: ( a) f(x) = sigo se π ). x b) f(x) = sigo (se l x). a) Teiedo e cueta que se π ( ) x < cuado x 2k,, dode 2k k Z \ {}, etoces f(x) = { si 2k < x < 2k si 2k+ < x < 2k. Por tato la itegral buscada se descompoe como la suma de las series f(x) dx = = ( k= k= 2k 2k + ) ( 2k ) 2k ) = k= ( k 2k + 2k k= ( 2k + 2 2k 2k + Para calcular la suma de esta serie observamos, por u lado, que la sucesió de sumas parciales tiee por térmio geeral S = 2 [ ] +..., ). 256

35 y por otro que ( ) = l 2, de modo que l = ( ). 3 Reuiedo todos estos datos, obteemos que [ ] f(x) dx = 2 2 l 2. b) Aálogamete al apartado aterior, determiamos primero el sigo de la fució se l x. Se obtiee así que f(x) = cuado se l x >, es decir cuado e 2kπ < x < e ( 2k+)π, co k N. La itegral se descompoe e suma como f(x) dx = k= [ e ( 2k+)π e 2kπ] k= [ e 2kπ e ( 2k )π]. Como las series ivolucradas so geométricas, sus sumas so, respectivamete, e ( 2k+)π = k= e π e 2π, k= e 2kπ = e 2π e 2π, k= e ( 2k )π = e π e 2π. E defiitiva, obteemos: f(x) dx = e π e 2π + e π e 2π = (e π ) 2 e 2π. PROBLEMA 5.52 Probar que la serie e x es uiformemete covergete e [a, ) co a >, pero o e [, ). Calcular la suma de la serie para x >. Si llamamos f (x) = e x, cuado x [a, ), etoces f (x) e a,. Además la serie umérica e a es covergete cuado e a < (lo que se prueba aplicado el criterio del cociete), es decir cuado a >. El criterio de Weierstrass idica que la serie propuesta coverge uiformemete e [a, ). Haciedo x =, os queda la serie divergete, por lo que la serie de fucioes o es uiformemete covergete e [, ). 257

36 Para calcular la suma de la serie, basta teer e cueta que f (x) = D( e x ). Como la serie e x coverge uiformemete si x > y etoces ( ) e e x x = D e x = e x (e x ) 2. e x = e x e x, PROBLEMA 5.53 Qué fució represeta la serie x + +? Si recordamos la fórmula = ( + ), etoces 2 x + + = 2x ( + ) = 2x 2x, x (, ). + Sabiedo además que l( x) = De aquí resulta: f(x) = x, etoces x + = x + x + = [ l( x) x]. x x [ + + = 2 l( x) ] l( x) + x, x (, ). x PROBLEMA 5.54 Demostrar que para x < se verifica lo siguiete: a) ( ) x = + x. b) ( ) x 2 = + x

37 a) Si escribimos el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales, teemos: S = x + x 2 + ( ) x ; xs = x x 2 + x 3 + ( ) x +. Sumado miembro a miembro, ( + x)s = + ( ) x + = S = + ( ) x + = S = lím + x S = + x, cuado x <, pues lím x+ =. b) Aálogamete al aterior, S = x 2 + x 4 + ( ) x 2 ; x 2 S = x 2 x 4 + x 6 + ( ) x 2+2 ; ( + x 2 )S = + ( ) x 2+2 = S = + ( ) x x 2 = S = lím S = + x 2, tambié cuado x <. PROBLEMA 5.55 Dada la serie de potecias (3 2)(3 + ) 8 ( x)3, determiar su campo de covergecia y calcular su suma cuado x =. Aplicado el criterio del cociete, lím a + a = lím x 3+3 (3+)(3+4)8 + x 3 (3 2)(3+) = lím x (3 + 4) x 3 =. 8 De aquí se deduce que la serie coverge absolutamete cuado x 3 < 8, o bie cuado x (, 3). E los extremos del itervalo teemos: - Si x = 3, la serie ( ) es absolutamete covergete. (3 2)(3 + ) - Si x =, la serie es tambié absolutamete covergete. (3 2)(3 + ) 259

38 Para calcular la suma de esta última serie, escribimos el térmio geeral como a = (3 2)(3 + ) = /3 3 2 /3. Así, la suma de los primeros térmios vale: 3 + S = [ ] = [ ] La suma será etoces S = lím S =. PROBLEMA 5.56 Determiar el itervalo de covergecia de la serie (2 ) ( x/2) 3. ( + )! Calcular la suma de la serie para x = 3 4. Por el criterio del cociete, 3...(2 )(2+) lím a + a = lím (+2)! 3...(2 ) (+)! ( x/2) 3+3 ( x/2) 3 = lím x 3 8 = x 3 4, de modo que la serie es absolutamete covergete cuado x < 3 4. E los extremos del itervalo teemos las series 3... (2 ) ( + )! 2 y 3... (2 ) ( ) ( + )! 2. Ambas so absolutamete covergetes como se deduce al aplicar el criterio de Raabe: ( ) ( lím a + a = lím 2 + ) = 3 2( + 2) 2 >. Escribimos la serie e x = 3 4 como S = 3... (2 ) ( + )! 2 = ( /2)( 3/2)... [ (2 )/2] ( )! ( + ) = ( ) /2 ( ) +. 26

39 A partir del desarrollo de la serie biómica ( ) m x = ( + x) m, al itegrar los dos miembros de la igualdad, resulta: ( ) m x x dx = x (+x) m dx = Haciedo ahora m = /2 y x =, teemos: ( ) m x + + ( + x)m+ = m + m +. ( ) /2 ( ) + + = 2 = S = 2. PROBLEMA 5.57 Calcular la suma de la serie (x 3) 3 especificado el itervalo de covergecia de la (3 ) 8 misma. Por el criterio de la raíz, lím x 3 3 / a = lím 8 3 x 3 3 =, 8 y la serie coverge absolutamete cuado x 3 3 < 8, o bie x (, 5). - Cuado x =, la serie es ( ) 3 que coverge codicioalmete 2(3 ) (basta aplicar el criterio de Leibitz). - Cuado x = 5, la serie 2(3 ) es divergete. Para calcular la suma de la serie, si llamamos f(x) = derivar obteemos: f (x) = (x 3) = (x 3) 2 [ (x 3) 3 8 = (x 3) 2 = 2 3 ] (x 3) 3 /8 (x 3) 3 /8 = x 3 8 (x 3) 3 = f(x) = ( ) π x 2 l(5 x) arc tg (x 3) 3 (3 ) 8, al x + l(7 4x + x2 ). 2 3 x 3 8 (x 3) 3 dx

40 PROBLEMA 5.58 Demostrar que ch = (2)!. Recordado la fórmula 2 ch x = e x + e x y el desarrollo e serie de cada uo de los sumados, obteemos: 2 ch x = = ch x = x! + ( ) x! = [ + ( ) ] x! = 2 x 2 (2)! x 2 (2)!. PROBLEMA 5.59 x Sabiedo que! = ex, hallar las sumas de las siguietes series: = a).! b) =2 =2 ( )( + ).! a) Al descompoer la serie e suma, teemos: 2! Ahora bie, como = ( )! 2 2 e =! = +! = m! = resulta e defiitiva que S = (e ) (e 2) =. 262 m! 2!,!.

41 b) Procediedo aálogamete al apartado aterior, S = =2 = m = k 2! m + m! k! + m = 2 2!! = 2 2! = m 2 m! 2 ( )! 2!! (m )! + m! m 2 = e + (e ) (e 2) = e +.! PROBLEMA 5.6 Sabiedo que, para x <, se tiee sea posible: a) b) x + +. x +2 ( + )( + 2). c) x. = x =, calcular cuado x d) 2 ( )x 2. e) 2 x. f) e +2 ( + )( + 2) + 2 π. a) Itegrado miembro a miembro, resulta: x x dx = x x dx = x + = l x, x (, )

42 b) Itegrado uevamete el resultado de a), x x x + + dx = l x dx = x +2 ( + )( + 2) = x l x + x + l x, x (, ). c) Derivamos ahora térmio a térmio la serie origial. Así: ( ) D = D(x ) = x ( x) 2 = x, x (, ). d) Derivado uevamete, ( ) D ( x) 2 = D(x ) = 2 ( x) 3 = ( ) x 2, x (, ). 2 2 e) Teiedo e cueta los resultados de los apartados ateriores, ( )x 2 + x 2 x = ( )x + x = x 2 2 = x 2 2 ( x) 3 + x ( x) 2 = x2 + x ( x) 3. x f) Haciedo e b) x = /e y e e) x = /π, resulta: e +2 ( + )( + 2) + 2 ( π = e l )+ e ( e +l ) + /π2 + /π e ( /π) 3. PROBLEMA 5.6 Dada la serie (x ), determiar su itervalo de covergecia y calcular su suma cuado x =. Por el criterio del cociete, lím a + a (+)2 x + 2 = lím 2+2 ( + )2 = lím x 2 x = 2 x, 4 y la serie coverge absolutamete cuado x < 4, es decir x ( 3, 5). 264

43 E los extremos, teemos: Para x = 5, la serie 2 es divergete; para x = 3, la serie ( ) 2 es tambié divergete. Para x = resulta la serie ( ) 2 4 = 2. Para calcular su suma ( 4) aplicaremos el apartado e) del problema aterior haciedo x = /4. Queda así 2 ( 4) = ( /4)2 + ( /4) ( + /4) 3 = PROBLEMA 5.62 Sabiedo que, para x <, se tiee cuado sea posible: a) x + +. x = = x ( x) 2, calcular b) 2 x. c) 2 ( )x 2. d) 2 ( ) e. a) Itegrado miembro a miembro, obteemos: x + + = x x dx = x b) Si derivamos ahora la fórmula dada, 2 x = ( ) D(x x ) = D ( x) 2 x ( x) 2 dx = +l x. x c) Derivamos uevamete el resultado de b). Así: 2 ( )x 2 = ( ) + x D( 2 x ) = D ( x) = + x ( x) 3. = 2x + 4 ( x) 4.

44 d) Si, e el apartado aterior, hacemos x = /e, resulta: 2 ( ) e = 2/e + 4 ( /e) 4 = e3 (2 + 4e) (e )

45 E. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Cotestar razoadamete si cada uo de los siguietes apartados es verdadero o falso: a) Si la serie a 6 es covergete, etoces la serie es covergete. Resp.: Falso (cosiderar el cotraejemplo: a = ( ) 6 ). a ( 6) b) Si la serie a 6 es covergete, etoces la serie a ( 5) es covergete. Resp.: Verdadero, pues el radio de covergecia es R 6. c) Si la serie a x es covergete para todo x >, etoces la serie coverge para todo x <. Resp.: Verdadero, pues el radio de covergecia es R =. d) Si f(x) = a x es ua fució cotiua par, etoces a 2+ =, para todo. Resp.: Verdadero, pues f( x) = f(x) = a = ( ) a,. e) Si la serie a x tiee radio de covergecia R >, R es = tambié el radio de covergecia de la serie a ( )x 2. =2 Resp.: Verdadero pues la seguda serie es derivada de orde dos de la primera. 2. Estudiar la covergecia uiforme de la serie = Resp.: Por el criterio de Weierstrass, f (x) 2/ 2,. + cos x 2 e R. 267

46 3. Se cosidera la serie f dode las fucioes f so cotiuas e [, ] y se tiee además que f = k (x) x 2 l 2 + 5, k= x [, ]. Calcular, si es posible, f (x) dx. Resp.: /3. = 4. Existe ua sucesió {f } de fucioes itegrables e [, ] que coverja uiformemete a f(x) = x 2 e [, ] y tal que Resp.: No; si existiera, debería cumplirse que lím f (x) dx = f (x) dx = 5 + 3? lím f (x) dx. 5. Sea {f } ua sucesió de fucioes derivables e [, ] tal que i) f f e [, ]; ii) f () = ( + /), N; iii) f (x) x 7/(3 + ), x [, ], N. Calcular f(/2). Resp.: Como f(x) = x lím f (x) dx + lím f () = f(/2) = e + /8. 6. Estudiar la covergecia de la serie ( ) x. ( + 2) Resp.: Coverge absolutamete e [, ]; diverge e el resto. 7. Determiar el itervalo de covergecia de la serie de potecias (2 + ) 4 + x+. = Resp.: Coverge absolutamete e ( 4, 4); coverge codicioalmete e x = 4; diverge e el resto. 268

47 ( ) Obteer el campo de covergecia de la serie + 3 x. = Resp.: Coverge absolutamete e [, ]; diverge e el resto. 9. Estudiar el carácter de la serie = ( ) (x ) 2 (3 ) co x R. Resp.: Coverge absolutamete cuado x ( 5, 7); diverge e el resto.. Obteer el campo de covergecia de la serie (x 2) (2 ) 2. Resp.: Coverge absolutamete cuado x (, 4); coverge codicioalmete cuado x = ; diverge e el resto.. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x (!) 2. Resp.: Coverge absolutamete e R. 2. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) 2 (!) 2 (2 + )! x. Resp.: Coverge absolutamete e ( 2, 2); coverge codicioalmete e x = 2; diverge e el resto. 3. Determiar el campo de covergecia de la serie (3 2)(3 + ) ( x/5)3. Resp.: [ 5, 5]. 4. Desarrollar e serie de potecias alrededor del puto idicado y ecotrar el campo de covergecia de la misma: a) f(x) = l x, x =. Resp.: f(x) = ( ) (x ), x (, 2]. b) f(x) = /x 2, x =. 269

48 Resp.: f(x) = ( + )(x + ), x ( 2, ). c) f(x) = x =. Resp.: f(x) = ( + )x +, x (, ). x ( x) 2, 5. Desarrollar e serie de McLauri la fució y = sh x y hallar (2 + )!. Resp.: sh x = (2 + )! ; (2 + )! = sh = e2. 2e x Escribir los primeros térmios del desarrollo alrededor de x = de la fució f(x) = l( + x 2 x) y aplicarlo al cálculo de x + l( + x lím 2 x) x x 3. Resp.: f(x) x + x3 3! + R 3(x); L = /6. 7. Hallar la suma de las series a) x. Resp.: S = l x. b) x 2 2. Resp.: S = l + x x. c) x. Resp.: S = x ( x) Calcular la suma de la serie Resp.: e 7. = ! 27

49 x 9. Probar que se t dt = t k= Sugerecia: Utilizar el desarrollo se t t ( ) k x 2k+ (2k + )(2k + )!. = k= ( ) k t 2k (2k + )!. 2. Estudiar la covergecia de la serie 3x/2 + 7x 2 /4 + x 3 /8 + 5x 4 / y sumarla cuado sea posible. Resp.: Coverge absolutamete cuado x ( 2, 2); diverge e el resto. S = x2 + 6x (2 x) 2. 27