Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

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1 Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de potecias. Los aspectos profudos de su estudio correspode a la teoría de fucioes de variable compleja más que a la teoría de fucioes de variable real, por lo que aquí damos simplemete alguas propiedades secillas, suficietes para uestros propósitos. Como referecia utilizamos [APOSTOL]. 9.. Series de potecias 9... Covergecia de las series de potecias Defiició 9... Recibe el ombre de serie de potecias toda serie de la forma a (x c). El úmero real a se deomia coeficiete -ésimo de la serie de potecias (obsérvese que el térmio -ésimo de la serie es a (x c) ). Si los coeficietes a 0, a, a m so ulos, la serie suele escribirse a (x c). =m E cierto modo, se trata de ua especie de poliomio co ifiitos térmios. Vamos a ver que las fucioes defiidas como suma de ua serie de potecias comparte muchas propiedades co los poliomios. Para qué valores de x coverge ua serie de potecias? Obviamete, es segura la covergecia para x = c, co suma a 0, y puede suceder que éste sea el úico puto e el que la serie coverge. Fuera de este caso extremo, la situació es bastate satisfactoria: veamos alguos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica x coverge (absolutamete) si y solo si x (,) (co suma x, como sabemos). 89

2 90 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor b) La serie x coverge si y solo si x [,). Si x (,), coverge absolutamete. c) La serie x 2 coverge (absolutamete) si y solo si x [,]. d) La serie ( ) x 2 coverge si y solo si x [,]. Si x (,), coverge absolutamete. e) La serie x! coverge (absolutamete) para todo x R (y la suma es e x ). f) La serie coverge solamete para x = 0.!x Lema Si para algú r (0,+) la sucesió (a r ) está acotada, etoces para cada x R tal que x c < r la serie a (x c) es absolutamete covergete. Demostració. Sea M tal que para todo 0 se tega a r M. Etoces ( ) x c ( ) x c 0 a (x c) = a r M r r y como la serie geométrica coverge, se deduce que la serie Defiició Dada ua serie de potecias (fiito o ifiito) dado por ( x c r ) a (x c) tambié coverge. R = sup{ x c : a (x c), su radio de covergecia es el valor a (x c) coverge}. Si R > 0, el itervalo (c R,c + R) se deomia itervalo de covergecia de la serie de potecias.

3 9.. Series de potecias 9 Teorema Dada ua serie de potecias a) Si x c < R, la serie a (x c) co radio de covergecia R, se tiee: a (x c) coverge absolutamete. b) Si x c > R, la serie o coverge y la sucesió (a (x c) ) o está acotada. Nota. Segú los ejemplos previos, cuado R es fiito o puede decirse ada e geeral sobre la covergecia e los putos c + R, c R. Demostració. De la defiició de R se deduce que si x c < R, debe existir u puto x tal que x c < x c y a (x c) coverge. Aplicado el lema 9..2, a (x c) debe coverger absolutamete. Esto demuestra a). La parte b) es ua cosecuecia directa de la defiició de R. Ejemplos. es oscilate. b) La serie a) La serie x x tiee radio de covergecia. Para x = diverge a + y para x = tiee radio de covergecia. Para x = diverge a + y para x = es covergete (pero o absolutamete). c) La serie tiee radio de covergecia. Para x = y para x = es covergete (absolu- 2 tamete). x Observació. Existe ua fórmula que permite expresar el radio de covergecia de ua serie de potecias a (x c) e fució de sus coeficietes. Se trata de la fórmula de Cauchy-Hadamard: R = límsup a. Si embargo, e los ejemplos habituales es más cómodo realizar directamete el estudio de la covergecia de las series para los distitos valores de x, geeralmete co ayuda del criterio del cociete o del criterio de la raíz. E la fórmula de Cauchy-Hadamard, a es exactamete el coeficiete de (x c), de modo que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de covergecia de la serie x 2, hay que calcular (límsup a ) dode a = si es par y a = 0 si es impar ( cuál es este límite superior?); por suerte, e este y e casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este cálculo si recurrimos a la defiició de radio de covergecia y al estudio directo de la covergecia de las series. Este ejemplo muestra tambié por qué hay que usar obligadamete límite superior e la fórmula: el límite o tiee por qué existir.

4 92 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor Propiedades de las fucioes represetadas por series de potecias La suma de ua serie de potecias de radio o ulo defie e su itervalo de covergecia ua fució a (x c). Se dice etoces que la serie represeta a la fució f e el itervalo de covergecia y que es el desarrollo e serie de potecias de la fució f e el puto c. Se platea etoces de maera atural dos problemas (ver [APOSTOL, págs ]): dada la serie, hallar propiedades de la fució suma; dada ua fució, averiguar si se puede represetar por ua serie de potecias (suele decirse etoces que la fució es desarrollable e serie de potecias). Lema Sea a (x c) ua serie de potecias co radio de covergecia R. Etoces la serie a (x c) tiee tambié radio de covergecia R. Demostració. Se trata de probar que la serie a (x c) coverge (absolutamete) si x c < R y que o coverge si x c > R. Sea x c < R. Podemos elegir algú y R tal que x c < y c < R; etoces, Como a (x c) = a (y c) (x c) (y c). lím (x c) (y c) = lím x c y c y c = 0, esta sucesió está acotada, es decir, hay algua costate M > 0 tal que para todo (x c) (y c) M. Por lo tato, para todo Segú el teorema 9..4, la serie a (x c) M a (y c). a (y c) coverge, así que la serie a (x c) coverge absolutamete. Si, por el cotrario, x c > R, etoces la sucesió (a (x c) ) o está acotada, luego la sucesió (a (x c) ) tampoco lo está y la serie o coverge. a (x c)

5 9.. Series de potecias 93 Teorema Sea a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea a (x c), defiida si x c < R. Etoces la fució f es derivable y si x c < R se tiee f (x) = a (x c). Demostració. Supogamos, para simplificar la otació, que c = 0. Es decir, a x, defiida si x < R, y se trata de probar que f es derivable y que f (x) = a x, si x < R. Sea x < s < R y sea y ( s,s), y x. Etoces, Segú el lema 9..5, la serie f (y) f (x) y x Ahora bie, para cada 2, f (y) f (x) y x = a x coverge. a x = y x a y x = y x a y x. [ y x ] a y x x = =2 y x y x x = ( y + y 2 x + y 3 x yx 2 + x ) x [ y x ] a y x x. = (y x) ( y 2 + 2y 3 x + 3y 4 x ( 2)yx 3 + ( )x 2). Tomado valores absolutos y teiedo e cueta que x < s, y < s, se deduce que y x y x x y x ( ( ( ) ))s 2 = y x s 2. 2 Segú el lema 9..5, aplicado dos veces, y el teorema 9..4, la serie absolutamete. Sea M = Por cosiguiete, =2 f (y) f (x) y x ( ) a s 2. Hemos demostrado que que es lo que teíamos que demostrar. a x =2 f (y) f (x) lím y x y x a y x ( ) s 2 = 2 a x = 0, ( )a s 2 coverge =2 M y x. 2

6 94 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor La aplicació reiterada de este resultado permite afirmar: Corolario Sea a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea a (x c) si x c < R. Etoces f tiee derivadas de todos los órdees e (c R,c + R), y se cumple E cosecuecia f (k) (x) = =k ( ) ( k + )a (x c) k. a = f () (c),! de maera que las sumas parciales de la serie so los correspodietes poliomios de Taylor de f e el puto c. Demostració. La primera parte se prueba por iducció sobre k. Para la seguda, tomado e particular x = c, se sigue que f () (c) =!a. Corolario Si dos series de potecias a (x c) y b (x c) tiee la misma fució suma f e u cierto etoro del puto c, etoces las dos series tiee los mismos coeficietes: e realidad, para todo 0 se cumple a = b = f () (c).! El teorema 9..6 muestra que la derivació de ua serie de potecias se hace derivado cada uo de sus térmios, como si fuese u poliomio; esto permite sumar fácilmete determiadas series a partir de otras de sumas coocidas. Ejemplo. Puesto que y, e geeral, x = x si x <, para estos valores de x se tiee x = ( ) ( k + )x k = k!( x) k. =k Tambié es útil comprobar que se puede itegrar térmio a térmio. Teorema Sea Etoces la serie a (x c) ua serie de potecias de radio R > 0 y sea a (x c), a (x c)+ + x (c R,c + R). ( x) 2 ; tiee radio R, y si F es ua primitiva de f e (c R,c + R), para cada x (c R,c + R) se verifica F(x) = F(c) + a + (x c)+.

7 9.. Series de potecias 95 Demostració. Ya sabemos, por el lema 9..5, que las series a + (x c)+, tiee el mismo radio de covergecia. Sea g(x) = a + (x c)+, a (x c) x (c R,c + R). El teorema 9..9 prueba que g tiee derivada e (c R,c+R) igual a f, es decir, que g es ua primitiva de f e (c R,c + R), por lo que F y g difiere e ua costate. Como g(c) = 0, se sigue que Ejemplo. Partimos de F(x) g(x) = F(c). x =, que es válido si x <, y sustituimos x por x: x ( ) x = + x ; es válido si x <, es decir, si x <. Como log( + x) es ua primitiva de deducimos que ( ) log( + x) = log + ( ) + x+ = x, si x (,). Ejemplo. Partimos de uevo de +x e (,), x = x, que es válido si x <, y sustituimos x por x2 : ( ) x 2 = + x 2 ; esto es válido si x 2 <, es decir, si x <. Como arctgx es ua primitiva de +x 2, resulta que si x (,). arctgx = arctg0 + ( ) 2 + x2+ = ( ) 2 + x2+, Hemos visto que e los extremos del itervalo de covergecia la serie puede o coverger; si lo hace, es iteresate dispoer de algú resultado que, bajo ciertas codicioes, garatice que la fució defiida por la serie sea cuado meos cotiua, como el siguiete lema (su demostració puede verse e [ROSS, teor. 26.6, págs ]). Lema 9..0 (de Abel). Sea y fiito, y supogamos que la serie a (x c) ua serie de potecias de radio de covergecia R positivo a R es covergete. Etoces a R = lím x (c+r) a (x c).

8 96 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor Ejemplo. Demostrar mediate el lema de Abel que ( ) = log2; ( ) 2 + = π Desarrollos e serie de Taylor El teorema de Taylor y el corolario 9..7 puede iducir a pesar que si ua fució f tiee derivadas de todos los órdees, es represetable como suma de su serie de Taylor f () (c) (x c)! (como ua especie de fórmula de Taylor llevada al límite) e la parte del domiio de f dode tal serie coverja. Si embargo, la situació real o es ta satisfactoria. Por ejemplo, la fució { e /x2 si x > 0, 0 si x 0, tiee derivadas de todos los órdees e cada puto de R, y e 0 es f () (0) = 0 para cada N. Por f cosiguiete, la fórmula () (0) x solo se cumple para x = 0.! Se puede demostrar que para que ua fució f coicida co la suma de su serie de Taylor es ecesario que sus derivadas sucesivas o tega u tamaño desmesurado. E aplicacioes cocretas es suficiete comprobar que las derivadas está acotadas por potecias sucesivas de ua costate, como vamos a ver ahora. Proposició Sea f ua fució co derivadas de todos los órdees e u itervalo (c R,c + R). Supogamos que exista úmeros reales o egativos A y B tales que Etoces, para todo x (c R, c + R) se verifica f () (x) B A siempre que x c < R. f () (c) (x c).! Demostració. Sea x c < R. Si x c, dado m N, aplicado la fórmula de Taylor (teorema 5.4.8) podemos escribir, para algú t m compredido etre x y c, m f (x) f () (c) f (x c) (m+) (t m ) = x c m+ B Am+! (m + )! (m + )! x c m+. Por lo tato, la expresió de la izquierda tiede a 0 cuado m, es decir, la serie coverge y su suma es f (x). Ejemplo. La fució sex cumple f () (x) para todo 0 y todo x R. Tomamos c = 0 e la proposició 9.2. y deducimos que f () (0) x!

9 9.2. Desarrollos e serie de Taylor 97 para todo x R. Ahora bie, f () (0) = { ( ) /2 se0 = 0, ( ) ( )/2 cos0 = ( ) ( )/2, si es par, si es impar, luego e la serie solo aparece los sumados co = 2k + y queda sex = k=0 ( ) k (2k + )! x2k+, para todo x R. El mismo razoamieto co la fució coseo prueba que cosx = k=0 ( ) k (2k)! x2k, para todo x R. Tambié se puede obteer derivado el desarrollo de la fució seo. Ejemplo. Tomemos ahora e x. Fijado cualquier R > 0, teemos 0 f () (x) e R, para todo 0 y todo x ( R,R). Tomamos c = 0 e la proposició 9.2. y como f () (0) = resulta e x =! x para todo x ( R,R). Como R es arbitrario, el desarrollo es válido para cualquier x R. Nota. Si reflexioamos u mometo, teemos ate osotros ua maera rigurosa de costruir las fucioes seo, coseo, expoecial. Las series que hemos escrito so series de potecias de radio +, que defie sedas fucioes e R; otra cuestió es que resulte fácil o complicado demostrar que estas fucioes goza de las propiedades que veimos utilizado e relació co el seo, el coseo y la expoecial. Dedicaremos a su estudio el último capítulo, para que sirva a su vez de muestra de la eorme potecia de los coocimietos que hemos ido adquiriedo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces más coveiete usar otros recursos, e lugar de la fórmula de Taylor. Ejemplo (serie biómica). Veamos que para cada α R es ( + x) α = ( ) α x, siempre que x <. Para α N {0}, esta fórmula se reduce a la del biomio de Newto y es válida para todo x R. Supoemos, pues, α / N {0}. El criterio del cociete os da que el radio de covergecia de la serie es, luego podemos defiir ua fució ( ) α x, x (,),

10 98 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor que, e pricipio, o tiee por qué coicidir co ( + x) α e dicho itervalo. Pero como f ( ) α (x) = x, de ( α ) ( ) α α(α ) (α + ) + ( + ) = +! α(α ) (α + ) α(α ) (α + )(α ) + ( + ) ( + )! α(α ) (α + )(α ) = +!! α(α ) (α + ) = [ + (α )] ( )! α = α, se deduce que f (x)( + x) = α f (x), por lo que f (x)/( + x) α tiee derivada ula y por tato se matiee costate e todo el itervalo (,). Tomado x = 0 se sigue que el valor de tal costate es, es decir, que ( + x) α para todo x (,). De especial iterés resulta el caso particular α = /2. Etoces, co lo cual ( /2 = + x ) = ( 2 ) ( 3 2 ) ( 5 2 ) ( 2 + )! 3 5 (2 ) = ( ) 2 (!) 3 5 (2 ) = ( ), (2) 3 5 (2 ) ( ) x, < x < (2) Del criterio 8.3. de Leibiz y del lema 9..0 de Abel se sigue que esta fórmula tambié es válida para x =. A veces se escribe abreviadamete 3 5 (2 ) = (2 )!!, (2) = (2)!!. Aplicació. A partir del desarrollo de su derivada se obtiee arcsex = 3 5 (2 ) (2) válido tambié para x =, por el lema de Abel. x2+, < x <, 2 + Poemos fial a este capítulo co ua lista de los desarrollos e serie de Taylor-Maclauri de las fucioes que más frecuetemete aparece e los ejercicios. a) x = x = + x + x x +..., si < x <.

11 9.3. Ejercicios 99 b) (+x) α = x <. c) log( + x) = d) e x = e) sex = ( ) α x = +αx+ α(α ) x ! ( ) x = x 2 x2 + 3 x3 4 x4 +..., si < x.! x = + x + 2 x2 + 3! x3 + 4! x4 +..., para todo x R. α(α )...(α + ) x +..., si <! ( ) (2 + )! x2+ = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 +..., para todo x R. f) cosx = ( ) (2)! x2 = 2! x2 + 4! x4 6! x6 +..., para todo x R. g) arcsex = 3 5 (2 ) x (2) 2 + = x + 6 x x5 +..., si x. h) arctgx = 9.3. Ejercicios ( ) 2 + x2+ = x 3 x3 + 5 x5 7 x7 +..., si x. Ejercicio 9.. Determiar el itervalo de covergecia de las series de potecias de térmio -ésimo: a) e) i) ( )! 2 x b) (2 + ) 2 2 x f) ( ) 2 x c) ( 2 )x d) (log)/ (se )x 2! x g) 3 4 x h) x j) x! k) x l) ( ) 2 4 x 3 x 2+ ( x ) m)! ) log x ñ) x tg a 2, a > 0 Ejercicio 9.2. Desarrollar e series de potecias de x las siguietes fucioes, idicado e qué itervalos so válidos los desarrollos: a) 2x 2 3 (x ) 2 b) x 9 + x 2 c) 4 x 4 d) log( + x 2x 2 ) e) log + x f) log(x + + x x 2 ) g) x h) ( + e x ) 3 i) ( + x)e x j) cos 2 x k) cosxse 2 x l) se 2 2x m) log a + bx a bx, a,b > 0 ) log( 2x) ñ) + x 3

12 200 Capítulo 9. Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor o) r) Ejercicio 9.3. Sea x a 2 b 2 x 2, a,b > 0 p) (x2 + )e 2x q) sex xcosx x + x2 sex s) x 0 x 0 e z2 dz t) x 0 dz z 4 8 t 3 dt, para x (,2]. Desarrollar f e serie de potecias de x (cetrada e 0). Hallar el radio y el itervalo de covergecia del desarrollo. Hallar f (7 (0) y f ( (0). Ejercicio 9.4. Desarrollar e series de potecias de (x x 0 ) las siguietes fucioes, idicado e qué itervalos so válidos los desarrollos: a) (a + bx), x 0 =, a,b > 0 b) se 3x 2, x 0 = π c) + x, x0 = 3 d) log2x x, x 0 = 2 Ejercicio 9.5. Desarrollar e serie de potecias de x la fució x t dt, 2 < x < 3, 0 (3 t)(t + 2) y determiar el radio y el itervalo de covergecia de la serie. Ejercicio 9.6. Determiar el domiio de covergecia y la suma de las series: a) + ( ) x4 x b) x x x Ejercicio 9.7. Hallar el domiio de covergecia de la serie 4 log + x x 2 arctgx. x 4 y probar que su suma es 4 Ejercicio 9.8. Ecotrar la úica serie de potecias a x co radio de covergecia o ulo que cumple f + f = 0, f (0) =, f (0) = 0. Idetificar esta fució. Ejercicio 9.9. Hallar el radio y el itervalo de covergecia de la serie itervalo abierto. Hallar la suma de la serie ( ) (3 ). Ejercicio 9.0. Hallar el radio y el itervalo de covergecia de la serie el itervalo abierto. Hallar la suma de la serie ( ) (3 + ). Ejercicio 9.. Hallar el itervalo de covergecia de la serie de potecias Probar que (x )log( 2x) 2x e ese itervalo. x 3 y sumarla e el (3 ) x 3 y sumarla e (3 + ) =2 2 ( ) 2 + x+.

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