6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

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1 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,..., que se suele represetar por a }. Ua sucesió se puede iterpretar tambié como ua aplicació: a, dode la expresió, si existe, de cada térmio e fució del lugar que ocupa, a = f(), se llama térmio geeral de la sucesió. Límite de ua sucesió Ituitivamete, se dice que la sucesió a } tiee límite l (que puede ser u úmero real, + o ) si a tiede a l cuado tiede a ifiito, y se idica: lim a = l, ó lim a = l, ó a l. El límite de ua sucesió, si existe, es úico. Las sucesioes co límite cero se llama ifiitésimos. Carácter de ua sucesió Ua sucesió es covergete si tiee límite fiito. Ua sucesió a } es divergete si la sucesió a } tiede a +. Observa que so divergetes las sucesioes co límite + y co límite, pero tambié lo so ciertas sucesioes si límite como, por ejemplo, la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6,... dode los térmios que ocupa lugares impares tiede a + y los que ocupa lugares pares tiede a. Ua sucesió es oscilate cuado o es covergete i divergete. Por ejemplo:,,,,,,.... Tipos de sucesioes y propiedades La sucesió a } es acotada si existe M > 0 tal que a M, para todo N. La sucesió a } es moótoa creciete si a a +, para todo N. La sucesió a } es moótoa decreciete si a a +, para todo N. Se dice que ua sucesió es moótoa cuado es moótoa creciete o moótoa decreciete.. Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. 2. Toda sucesió moótoa o acotada es divergete. 3. Toda sucesió covergete está acotada. Subsucesioes y propiedades Se llama subsucesió de la sucesió a } a cualquier sucesió a k } dode < 2 < 3 <..., es decir, cualquier sucesió formada por térmios elegidos arbitrariamete pero e orde creciete de ubicació. Toda subsucesió de ua sucesió covergete (divergete) es ua sucesió covergete (divergete) y el límite (si existe) es el mismo. Toda sucesió acotada admite ua subsucesió covergete. Toda sucesió admite ua subsucesió que es covergete o divergete. Puesto que ua sucesió oscilate cotiee subsucesioes covergetes, tiee setido defiir los límites de estas como límites de oscilació de la primera. Así, por ejemplo,, y + so límites de oscilació de la sucesió,,,,, 2,,, 3,,, 4,,, 5,,, 6,..... Ecuetra el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a), 2, 3, 4,... (b) 2, 4, 6, 8, 0, 2,... (c) 2, 6, 3, 3 2, 3 4, 3 8, Ecuetra los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = 2 + (c) a = 2 (d),,,,,,...

2 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas CÁLCULO DE LÍMITES I Límites de operacioes co sucesioes Si a } a y b } b, etoces: a a ± b a ± b a b ab a (si b 0) b b ab siempre que o se presete algua de las siguietes idetermiacioes: que, e cada caso, habrá que resolver mediate técicas adecuadas de cálculo de límites. a b Límites de sucesioes como límites de fucioes Si a = f() y lim x f(x) = l, etoces lim a = l. Observació: Este resultado permite usar e el cálculo de límites de sucesioes las técicas empleadas para el cálculo de límites de fucioes, icluso la regla de L Hôpital. Sucesioes equivaletes Se dice que a } y b } so sucesioes equivaletes si lim a b =, y se idica: a b. Si a 0, so equivaletes: si a a arcsi a ( + a ) p + pa l( + a ) a ta a a arcta a cos a a2 2 e a a Si a, so equivaletes: l a a a l a (a > 0) Fórmula de Stirlig:! e ( ) 2π = 2π e E cálculo de límites, e productos y cocietes se puede sustituir sucesioes por otras equivaletes. Ifiitos. Órdees de magitud Se dice que ua sucesió es u ifiito si es divergete, es decir, si lim a = Dados dos ifiitos a } y b }, se dice que b } es u ifiito de orde superior al de a } si: a lim = 0 b y se represeta por: a b. Es fácil comprobar, hallado los límites pertietes, la siguiete jerarquía de ifiitos: l p a! (p > 0, a > ) E el cálculo de límites, se puede sustituir ua suma o diferecia de ifiitos por aquel que tiee jerarquía superior.. Halla el límite de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = l (c) a = ( ) 2+ (d) a = (e) a = a p p + a p p +... b q q + b q q Calcula, usado sucesioes equivaletes, los siguietes límites: (a) lim si ( ) (b) lim 2 e / (c) lim 2! (d) lim 3. Halla, usado la jerarquía de ifiitos, el siguiete límite: lim (l ) 3 +!

3 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas CÁLCULO DE LÍMITES II Dos teoremas sobre límites Regla del sadwich: El límite de ua sucesió compredida etre dos que tiee el mismo límite coicide co este, es decir: a b c = lim b = l lim a = lim c = l Teorema: El producto de ua sucesió acotada por otra co límite cero tambié tiee límite cero: a } acotada lim b = 0 = lim a b = 0 Criterio de Stolz Si b } es moótoa divergete, o a } y b } so ifiitésimos co b } moótoa, etoces lim a b = lim a a b b siempre que este último límite exista. Otros criterios de cálculo de límites Como cosecuecia del criterios de Stolz, se obtiee los siguietes criterios de covergecia (aplicables cuado el último límite existe): Media aritmética: lim a + a a = lim a Media geométrica: lim a a 2... a = lim a Criterio de la raíz: lim a = lim a + a (a > 0 para todo ). Halla los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = si + + si si + (b) a = ( ) [( ) ] + l si! 2. Halla los siguietes límites: (a) lim (b) lim l 3. Halla los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = (b) a = (c) a = ( + )( + 2)... ( + ) (d) a =

4 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas SUCESIONES RECURRENTES Sucesioes recurretes Se dice que a } es ua sucesió recurrete cuado sus térmios viee defiidos e fució de los que le precede. So sucesioes recurretes: a = a + = + a 2, es la sucesió:, 2, 3, 4 = 2,... a = a 2 = a = a + a 2, > 2 es la sucesió:,, 2, 3, 5, 8, 3,... (sucesió de Fiboacci) Para hallar el límite de sucesioes recurretes es frecuete proceder como se idica a cotiuació:. Probar que la sucesió es moótoa y acotada, de dode se deduce que tiee límite (6..). 2. Tomar límites e la expresió de recurrecia y hallar el límite e la ecuació que se obtiee.. Halla el límite de la sucesió recurrete: a + = 3 a, a = 2 2. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) a + = + a, a = (b) a + = + 2a, a = a > 0 3. E u estudio sobre la reproducció de coejos, Fiboacci ecotró la sucesió que lleva su ombre: a +2 = a + a + co a = a 2 = (a) Escribe los 2 primeros térmios de la sucesió de Fiboacci. (b) Escribe los 0 primeros térmios de la sucesió defiida por b = a + a,. (c) Demuestra que b + = + b,. (d) Supoiedo que la sucesió b } es covergete, ecuetra su valor (este límite se cooce co el ombre de razó áurea). 4. Halla el límite de las sucesioes: (a) 2, 2 + 2, ,... (b) 5, 5 + 5, ,...

5 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas EJERCICIOS. Cotesta razoadamete si so ciertas o falsas las siguietes afirmacioes: (a) Si ua sucesió o es covergete, etoces es divergete. (b) Toda sucesió divergete tiee límite. (c) Toda sucesió divergete de térmios egativos tiee límite. (d) Toda sucesió acotada es covergete. (e) El límite de ua sucesió covergete de úmeros racioales es racioal. (f) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su cociete es. (g) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su diferecia es Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a) 2, 4, 8, 6, 32,... (c) 2,, 8 32,, 9 25, 64 36,... (e), 2 3, 3 5, 4 7, 5 9,... (b) + 2, + 3 4, + 7 8, + 5 6,... (d) 4, 2 8, 3 6, 4 32, 5 64,... (f) 3, 5 6, 5 9, 9 2, 9 5, 3 8, Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) + + ( 2 ) (2 ) + (e) 2 (i) + 3 (b) 2 + (f) 3 3 (j) (c) ( 2) + 3 ( 2) (d) ( ) l l! ( 2 + a (g) l (k) a ( a + b + ) c (h) (l) (!)2 4 3 (2)! ) +3 2 (m) ( ( + a) 2 a 2 2 ) () ( ) 3+2 l(+) (ñ) ( a a ) (o) ( ) Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) ( ) (b) (c) (d) ( ) l l 2 (e) ( + )( + 2)... ( + ) (f) + 2p + 3 p p (g) p+ ( (2 2) (2 ), p N ) 2 5. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) x + = 2 + x, x = 2; (b) x + = 4 + x2, x = a R. 6. U programa guberametal que actualmete cuesta a los cotribuyetes 200 milloes de euros, se va a reducir u 0% por año. (a) Cuál será la catidad presupuestada después de años? (b) Cuál será el futuro a largo plazo de este programa? 7. Supoiedo ua iflacció mateida del 4,5% aual, cuál será el precio detro de años de u coche cuyo precio actual es de e?

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