6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
|
|
- Lidia Vega San Martín
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,..., que se suele represetar por a }. Ua sucesió se puede iterpretar tambié como ua aplicació: a, dode la expresió, si existe, de cada térmio e fució del lugar que ocupa, a = f(), se llama térmio geeral de la sucesió. Límite de ua sucesió Ituitivamete, se dice que la sucesió a } tiee límite l (que puede ser u úmero real, + o ) si a tiede a l cuado tiede a ifiito, y se idica: lim a = l, ó lim a = l, ó a l. El límite de ua sucesió, si existe, es úico. Las sucesioes co límite cero se llama ifiitésimos. Carácter de ua sucesió Ua sucesió es covergete si tiee límite fiito. Ua sucesió a } es divergete si la sucesió a } tiede a +. Observa que so divergetes las sucesioes co límite + y co límite, pero tambié lo so ciertas sucesioes si límite como, por ejemplo, la sucesió, 2, 3, 4, 5, 6,... dode los térmios que ocupa lugares impares tiede a + y los que ocupa lugares pares tiede a. Ua sucesió es oscilate cuado o es covergete i divergete. Por ejemplo:,,,,,,.... Tipos de sucesioes y propiedades La sucesió a } es acotada si existe M > 0 tal que a M, para todo N. La sucesió a } es moótoa creciete si a a +, para todo N. La sucesió a } es moótoa decreciete si a a +, para todo N. Se dice que ua sucesió es moótoa cuado es moótoa creciete o moótoa decreciete.. Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. 2. Toda sucesió moótoa o acotada es divergete. 3. Toda sucesió covergete está acotada. Subsucesioes y propiedades Se llama subsucesió de la sucesió a } a cualquier sucesió a k } dode < 2 < 3 <..., es decir, cualquier sucesió formada por térmios elegidos arbitrariamete pero e orde creciete de ubicació. Toda subsucesió de ua sucesió covergete (divergete) es ua sucesió covergete (divergete) y el límite (si existe) es el mismo. Toda sucesió acotada admite ua subsucesió covergete. Toda sucesió admite ua subsucesió que es covergete o divergete. Puesto que ua sucesió oscilate cotiee subsucesioes covergetes, tiee setido defiir los límites de estas como límites de oscilació de la primera. Así, por ejemplo,, y + so límites de oscilació de la sucesió,,,,, 2,,, 3,,, 4,,, 5,,, 6,..... Ecuetra el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a), 2, 3, 4,... (b) 2, 4, 6, 8, 0, 2,... (c) 2, 6, 3, 3 2, 3 4, 3 8, Ecuetra los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = 2 + (c) a = 2 (d),,,,,,...
2 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas CÁLCULO DE LÍMITES I Límites de operacioes co sucesioes Si a } a y b } b, etoces: a a ± b a ± b a b ab a (si b 0) b b ab siempre que o se presete algua de las siguietes idetermiacioes: que, e cada caso, habrá que resolver mediate técicas adecuadas de cálculo de límites. a b Límites de sucesioes como límites de fucioes Si a = f() y lim x f(x) = l, etoces lim a = l. Observació: Este resultado permite usar e el cálculo de límites de sucesioes las técicas empleadas para el cálculo de límites de fucioes, icluso la regla de L Hôpital. Sucesioes equivaletes Se dice que a } y b } so sucesioes equivaletes si lim a b =, y se idica: a b. Si a 0, so equivaletes: si a a arcsi a ( + a ) p + pa l( + a ) a ta a a arcta a cos a a2 2 e a a Si a, so equivaletes: l a a a l a (a > 0) Fórmula de Stirlig:! e ( ) 2π = 2π e E cálculo de límites, e productos y cocietes se puede sustituir sucesioes por otras equivaletes. Ifiitos. Órdees de magitud Se dice que ua sucesió es u ifiito si es divergete, es decir, si lim a = Dados dos ifiitos a } y b }, se dice que b } es u ifiito de orde superior al de a } si: a lim = 0 b y se represeta por: a b. Es fácil comprobar, hallado los límites pertietes, la siguiete jerarquía de ifiitos: l p a! (p > 0, a > ) E el cálculo de límites, se puede sustituir ua suma o diferecia de ifiitos por aquel que tiee jerarquía superior.. Halla el límite de las siguietes sucesioes: (a) a = + (b) a = l (c) a = ( ) 2+ (d) a = (e) a = a p p + a p p +... b q q + b q q Calcula, usado sucesioes equivaletes, los siguietes límites: (a) lim si ( ) (b) lim 2 e / (c) lim 2! (d) lim 3. Halla, usado la jerarquía de ifiitos, el siguiete límite: lim (l ) 3 +!
3 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas CÁLCULO DE LÍMITES II Dos teoremas sobre límites Regla del sadwich: El límite de ua sucesió compredida etre dos que tiee el mismo límite coicide co este, es decir: a b c = lim b = l lim a = lim c = l Teorema: El producto de ua sucesió acotada por otra co límite cero tambié tiee límite cero: a } acotada lim b = 0 = lim a b = 0 Criterio de Stolz Si b } es moótoa divergete, o a } y b } so ifiitésimos co b } moótoa, etoces lim a b = lim a a b b siempre que este último límite exista. Otros criterios de cálculo de límites Como cosecuecia del criterios de Stolz, se obtiee los siguietes criterios de covergecia (aplicables cuado el último límite existe): Media aritmética: lim a + a a = lim a Media geométrica: lim a a 2... a = lim a Criterio de la raíz: lim a = lim a + a (a > 0 para todo ). Halla los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = si + + si si + (b) a = ( ) [( ) ] + l si! 2. Halla los siguietes límites: (a) lim (b) lim l 3. Halla los límites de las siguietes sucesioes: (a) a = (b) a = (c) a = ( + )( + 2)... ( + ) (d) a =
4 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas SUCESIONES RECURRENTES Sucesioes recurretes Se dice que a } es ua sucesió recurrete cuado sus térmios viee defiidos e fució de los que le precede. So sucesioes recurretes: a = a + = + a 2, es la sucesió:, 2, 3, 4 = 2,... a = a 2 = a = a + a 2, > 2 es la sucesió:,, 2, 3, 5, 8, 3,... (sucesió de Fiboacci) Para hallar el límite de sucesioes recurretes es frecuete proceder como se idica a cotiuació:. Probar que la sucesió es moótoa y acotada, de dode se deduce que tiee límite (6..). 2. Tomar límites e la expresió de recurrecia y hallar el límite e la ecuació que se obtiee.. Halla el límite de la sucesió recurrete: a + = 3 a, a = 2 2. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) a + = + a, a = (b) a + = + 2a, a = a > 0 3. E u estudio sobre la reproducció de coejos, Fiboacci ecotró la sucesió que lleva su ombre: a +2 = a + a + co a = a 2 = (a) Escribe los 2 primeros térmios de la sucesió de Fiboacci. (b) Escribe los 0 primeros térmios de la sucesió defiida por b = a + a,. (c) Demuestra que b + = + b,. (d) Supoiedo que la sucesió b } es covergete, ecuetra su valor (este límite se cooce co el ombre de razó áurea). 4. Halla el límite de las sucesioes: (a) 2, 2 + 2, ,... (b) 5, 5 + 5, ,...
5 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas EJERCICIOS. Cotesta razoadamete si so ciertas o falsas las siguietes afirmacioes: (a) Si ua sucesió o es covergete, etoces es divergete. (b) Toda sucesió divergete tiee límite. (c) Toda sucesió divergete de térmios egativos tiee límite. (d) Toda sucesió acotada es covergete. (e) El límite de ua sucesió covergete de úmeros racioales es racioal. (f) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su cociete es. (g) Si dos sucesioes tiee el mismo límite, el límite de su diferecia es Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: (a) 2, 4, 8, 6, 32,... (c) 2,, 8 32,, 9 25, 64 36,... (e), 2 3, 3 5, 4 7, 5 9,... (b) + 2, + 3 4, + 7 8, + 5 6,... (d) 4, 2 8, 3 6, 4 32, 5 64,... (f) 3, 5 6, 5 9, 9 2, 9 5, 3 8, Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) + + ( 2 ) (2 ) + (e) 2 (i) + 3 (b) 2 + (f) 3 3 (j) (c) ( 2) + 3 ( 2) (d) ( ) l l! ( 2 + a (g) l (k) a ( a + b + ) c (h) (l) (!)2 4 3 (2)! ) +3 2 (m) ( ( + a) 2 a 2 2 ) () ( ) 3+2 l(+) (ñ) ( a a ) (o) ( ) Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) ( ) (b) (c) (d) ( ) l l 2 (e) ( + )( + 2)... ( + ) (f) + 2p + 3 p p (g) p+ ( (2 2) (2 ), p N ) 2 5. Estudia la covergecia y calcula el límite, cuado exista, de cada ua de las siguietes sucesioes recurretes: (a) x + = 2 + x, x = 2; (b) x + = 4 + x2, x = a R. 6. U programa guberametal que actualmete cuesta a los cotribuyetes 200 milloes de euros, se va a reducir u 0% por año. (a) Cuál será la catidad presupuestada después de años? (b) Cuál será el futuro a largo plazo de este programa? 7. Supoiedo ua iflacció mateida del 4,5% aual, cuál será el precio detro de años de u coche cuyo precio actual es de e?
SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesProblemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detalles(finitas o infinitas)
Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.
Más detallesTema 4 Sucesiones numéricas
Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesSucesiones numéricas.
SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El
Más detallesCAPÍTULO XIII. SUCESIONES
CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales
- Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesTema 5 Series numéricas
Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesJuan José Font Ferrandis. Salvador Hernández Muñoz. Sergio Macario Vives
CÁLCULO Jua José Fot Ferradis Salvador Herádez Muñoz Sergio Macario Vives Ídice geeral. Campos Numéricos.. El úmero real.......................... 2... Desigualdades....................... 2..2. Valor
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detallesProgresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general
5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y
Más detallesCálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera
Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesa 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6
. SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral,
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos
Más detallesPRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE
PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detallesLa sucesión de Lucas
a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesFunciones de variable compleja
Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =
Más detallesSucesiones Numéricas. Tema 2
Tema 2 Sucesioes Numéricas Imagiemos la cola de etrada a u espectáculo formada por persoas que ha sido umeradas de la forma habitual; el primero de la cola lleva el úmero 1, el segudo el úmero 2 y así
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detallesSucesiones y ĺımite de sucesiones
Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................
Más detallesIntroducción a las sucesiones. y series numéricas
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Itroducció a las sucesioes y series uméricas Ramó Bruzual Marisela Domíguez Caracas, Veezuela
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detallesTema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1
Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma
Más detalles1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224
Límite y cotiuidad E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Térmio geeral de ua sucesió págia 7.. Progresioes aritméticas y geométricas págia 7. Sucesioes págia 7. Idea ituitiva de límite de ua sucesió págia..
Más detallesMATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.
MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre
Más detalles9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES
9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede. a) a b) b c) c 5 a) a a 8 5,6 a 0 00,98 a 0 00 0
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detallesSi la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:
Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si
Más detallesSucesiones de funciones
Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci
Más detallesPRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O
PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros
Más detallesCAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales
Más detalles4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.
Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesLímite de una función
Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los
Más detallesLímite de una función
Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía
Más detallesPráctica 1.- Sucesiones y series
Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría
Más detalles5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras
Más detallesTeoría de la conmutación. Álgebra de Boole
Álgebra de Boole Defiicioes y axiomas Propiedades Variables y fucioes booleaas Defiicioes Propiedades Formas de represetació Fucioes booleaas y circuitos combiacioales Puertas lógicas Puertas lógicas fudametales
Más detalles2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.
2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces
Más detallesMODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD
www.mateladia.org MODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD Límites Cotiuidad y Derivada.... y cotiuó Alicia:
Más detallesCRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar
Más detallesPRÁCTICA POLINOMIOS DE TAYLOR. RESTO DE LAGRANGE CURSO Práctica 6 (5- XI-2014)
PRÁCTICA POLINOMIOS DE TAYLOR. RESTO DE LAGRANGE CURSO 04-05 Prácticas Matlab Práctica 6 (5- XI-04) Objetivos Represetar ua sucesió de térmios Itroducir el cocepto de serie como suma ifiita de los térmios
Más detallesPROGRESIONES ARITMÉTICAS.-
PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesSucesiones en R. 1.1. Sucesiones reales
CapÌtulo Sucesioes e R EestecapÌtuloestudiaremos u coceptoecesariocomoherramietateûricayherramieta pr ctica, yque permitir hacia el Öal de la asigatura abordar el cocepto de serie, oìsuma de iöitos merosî.
Más detallesCálculo de límites. 3.1. Sumas, productos y cocientes. Tema 3
Tema 3 Cálculo de ites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues su pricipal fialidad es aportar los ejemplos que se echaba de meos e el tema aterior. Empezaremos estableciedo las reglas
Más detallesCapítulo 1 CONCEPTOS TEÓRICOS SUCESIÓN
Capítlo CONCEPTOS TEÓRICOS SUCESIÓN Cojto de úmeros e correspodecia biyectiva co el cojto de los úmeros atrales. Cada úmero es térmio. PROPIEDADES Toda scesió tiee primer elemeto; todo térmio tiee sigiete
Más detalles2 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17.
EJERCICIOS EXTRA PROGERSIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS 1 15 Halla la suma de los 1 primeros térmios de la progresió aritmética: 8,, 7,... Halla la diferecia de ua progresió aritmética sabiedo que el segudo
Más detallesFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detalles21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )
Más detallesSucesiones y series. Josep Bernat Pané P01/75005/00104
Sucesioes y series Josep Berat Paé P0/75005/0004 FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series Ídice Itroducció 5 Objetivos 7 Sucesioes de úmeros reales 9 Cocepto geeral de sucesió 9 Sucesioes acotadas 3 Sucesioes
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detalles8 Funciones, límites y continuidad
Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto
Más detallesNúmeros naturales, enteros y racionales
Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de
Más detallesMatemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:
Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l
Más detallesTEMA 5: INTERPOLACIÓN
5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1
Más detallesFiguras geométricas y números enteros. Introducción
Revista del Istituto de Matemática y Física Figuras geométricas y úmeros eteros Juaa Cotreras S. 6 Claudio del Pio O. 7 Istituto de Matemática y Física Uiversidad de Talca Itroducció Etre las muchas relacioes
Más detallesPropiedades de las series numéricas (18.03.2015)
Propiedades de las series uméricas 8.03.205) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2
Más detallesMedidas de Tendencia Central
EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los
Más detallesALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/
Más detallesTema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.
UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios
Más detallesConvolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG
Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas
Más detallesTema 1: Números Complejos
Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto
Más detallesMATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 3: Sucesiones LibrosMareaVerde.tk
MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo : Sucesioes www.aputesmareaverde.org.es Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF 0 Sucesioes Ídice. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. DEFINICIONES..
Más detallesSucesiones y series infinitas
Sucesioes y series ifiitas E la última secció de este capítulo le pediremos que utilice ua serie para deducir ua fórmula para determiar la velocidad de ua oda oceáica. Epic Stock / Shutterstock E U previo
Más detallesCAPITULO 2. Aritmética Natural
CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo.
Más detallesTEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*
CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,
Más detallesNúmeros naturales, enteros y racionales
Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios
Más detallesFunciones Medibles e Integración
Capítulo 3 Fucioes Medibles e Itegració 3.1. Itroducció Sea X : Ω Ω dode Ω es el recorrido de X, es decir, para todo ω Ω existe ω Ω co X(ω) = ω. X determia la fució X 1 : P(Ω ) P(Ω) defiida por para A
Más detallesNúmeros reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.
Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es
Más detallesTema 7 (IV). Aplicaciones de las derivadas (2). Representación gráfica de curvas y fórmula de Taylor
Tema 7 (IV) Aplicacioes de las derivadas () Represetació gráfica de curvas y fórmula de Taylor Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos
Más detallesSOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES :
CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimeto aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuecias. Propiedades. Probabilidad. Resume de Combiatoria. Probabilidad codicioada. Teoremas. PROBBILIDD
Más detalles4. TÉCNICAS PARA CONTAR Cardinal de un conjunto. Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.
.1. Cardial de u cojuto. TÉCNICAS PARA CONTAR Fucioes etre cojutos Se llama fució o aplicació del cojuto A e el cojuto B a cualquier relació f : A B que a cada elemeto a A le hace correspoder u úico elemeto
Más detalles3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79
Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.
Más detallesTransformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)
Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos
Más detallesMATEMÁTICA 1 JRC La disciplina es la parte más importante del éxito. Exponente. Variables o Parte literal
MATEMÁTICA JRC La disciplia es la parte ás iportate del éito POLINOMIOS EN R EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es u cojuto de úeros letras, elazadas por cualquiera de las cuatro operacioes, adeás de la poteciació
Más detallesSeñales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones
Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas
Más detalles