4. TÉCNICAS PARA CONTAR Cardinal de un conjunto. Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.

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1 .1. Cardial de u cojuto. TÉCNICAS PARA CONTAR Fucioes etre cojutos Se llama fució o aplicació del cojuto A e el cojuto B a cualquier relació f : A B que a cada elemeto a A le hace correspoder u úico elemeto b B, que se llama image de a por f, yseidica f(a) =b. Tipos de fucioes Se dice que la aplicació f : A B es: iyectiva, si o hay dos elemetos distitos de A co la misma image, es decir, si de f(a 1 )=f(a 1 )se deduce que a 1 = a 2. sobreyectiva, si cada elemeto de B es image de algú elemeto de A, es decir, si para todo b B existe a A tal que f(a) =b. biyectiva, si es iyectiva y sobreyectiva. Sea f : A B ua aplicació. Es fácil deducir de las defiicioes ateriores que: si f es iyectiva el úmero de elemetos e A debe ser meor o igual que el úmero de elemetos e B, sif es sobreyectiva el úmero de elemetos e A debe ser mayor o igual que el úmero de elemetos e B, ysif es biyectiva debe haber tatos elemetos e A como e B. Cardial de u cojuto Se llama cardial del cojuto A al úmero de elemetos que tiee A, y se represeta por A. El cojuto vacío tiee cardial cero. El cojuto A tiee cardial si existe ua aplicació biyectiva f : {1, 2,...,} A. El cojuto A tiee cardial ifiito si existe ua aplicació iyectiva f : N A. Propiedades 1. Si A B =, etoces: A B = A + B 2. Si A B, etoces: A B. Si A B, etoces: B A = B A. Cardial de la uió: A B = A + B A B Para uioes de más cojutos: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C A B C D = A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D 5. Cardial del producto cartesiao: A B = A B Para más cojutos: A 1 A 2... A = A 1 A 2... A Ejercicios 1. Sea A el cojuto de alumos matriculados e Álgebra, y C el cojuto de alumos matriculados e Cálculo. Se sabe que A = 250, C = 220 y que hay 50 alumos matriculados e las dos asigaturas. Cuál es el úmero de alumos matriculados e algua de las dos asigaturas? 2. Cuátas palabras se puede costruir co exactamete cuatro letras de tal forma que la seguda y la cuarta sea vocales?

2 Solucioes y/o sugerecia a los ejercicios alumos palabras.

3 .2. Pricipios básicos de recueto. TÉCNICAS PARA CONTAR Pricipio de adició Si el proceso de recueto de u cojuto se descompoe e la uió de subcojutos o casos mutuamete excluyetes, etoces el úmero de elemetos del cojuto es la suma de los úmeros de elemetos de los subcojutos. A = A 1 A 2... A co A i A j = para i = j = A = A 1 + A A Pricipio del producto Si el proceso de recueto de u cojuto costa de ua sucesió de pasos idepedietes, etoces el úmero de elemetos del cojuto es el producto de los úmeros de elemetos posibles e cada paso. A = A 1 A 2... A = A = A 1 A 2... A El pricipio del palomar o de Dirichlet Si se distribuye m objetos e cajas co <m, etoces algua caja recibe al meos dos objetos. El pricipio geeralizado del palomar Si se distribuye m objetos e cajas co <m, etoces algua caja recibe al meos m objetos, y algua caja recibe a lo más m objetos. Ejercicios 1. La matrícula de los coches de cierto país costa de cuatro úmeros seguidos de tres cosoates. Cuátas matrículas distitas se puede formar? 2. Cuátos úmeros aturales existe meores que 10 co todas sus cifras distitas?. Cuátos úmeros aturales existe meores que 10 que o sea capicúas?. Puede asegurarse que e cualquier grupo de 7 persoas hay al meos dos que cumple años el mismo día? 5. Demuestra que si se elige cico putos cualesquiera e cuadrado de lado 2, al meos dos de ellos se ecuetra a ua distacia meor o igual que 2.. Cuátos putos se debe elegir e ua cuadrado de lado 2 para estar seguros que dos de ellos estará a ua distacia meor o igual que 2/. 7. Demuestra que si se elige 10 putos cualesquiera e u triágulo equilátero de lado 1, al meos dos de ellos se ecuetra a ua distacia o superior a 1/. 8. Justifica que si resuelves 29 ejercicios e ua semaa, algú día habrás resuelto al meos 5 ejercicios y algú día a lo más ejercicios. 9. Cuál es el míimo úmero de estudiates que debe teer la clase de Matemática Discreta para estar seguros de que al meos estudiates recibirá la misma ota? (Las calificacioes so úmeros eteros) 10. Calcula el úmero de divisores de Cuátos so impares? 11. Cuátos divisores positivos tiee el úmero = ? Cuátos so múltiplos de 99? Cuátos so múltiplos de 9? 12. Cuátos úmeros de tres cifras distitas tiee todas ellas impares? Y pares? 1. Se extrae, ua a ua co reemplazamieto, cico cartas de ua baraja. E cuátas extraccioes hay al meos u rey? E cuátas extraccioes hay al meos u rey o u as?

4 1. Demuestra que e u cojuto de 12 eteros existe dos cuya diferecia es divisible por 11. Es cierto si cambiamos diferecia por suma? 15. Se elige + 1 eteros positivos e el cojuto {1, 2,,...,}. Demuestra que hay dos cuya diferecia es meor o igual que Se ha de pitar las cuatro habitacioes de la casa de la figura de la figura de tal forma que las habitacioes que se comuica tega diferete color. Si se dispoe de colores, de cuátas formas distitas puede pitarse la casa? B A C D Solucioes y/o sugerecia a los ejercicios matrículas úmeros úmeros o capicúas.. Si. 5. Divide el cuadrado e cuatro cuadrados iguales putos. 7. Divide el triágulo e ueve triágulos iguales. 8. Utiliza el pricipio geeralizado del palomar estudiates. 10. divisores, de los que 8 so impares Niguo Utiliza los restos de dividir los 12 eteros por 11. No es cierto si se cambia diferecia por suma. 15. Por reducció al absurdo. 1. ( 1) 2 ( 2).

5 .. Variacioes y permutacioes. TÉCNICAS PARA CONTAR Variacioes si repetició Se llama variacioes si repetició, o simplemete variacioes, de elemetos tomados de m e m al úmero de listas ordeadas diferetes que se puede formar co m elemetos distitos elegidos de etre los posibles, y se represeta por V,m. Obviamete, se ha de cumplir que 0 m, y por el pricipio del producto: V,m = ( 1)( 2) ( m + 1) Las variacioes de elemetos tomados de m coicide co el úmero de aplicacioes iyectivas que se puede establecer del cojuto {1, 2,,...,m} e el cojuto {1, 2,,...,}. Variacioes co repetició Se llama variacioes co repetició de elemetos tomados de m e m al úmero de listas ordeadas diferetes que se puede formar co m elemetos iguales o distitos elegidos de etre los posibles, y se represeta por VR,m. Por el pricipio del producto: VR,m = m Las variacioes co repetició de elemetos tomados de m coicide co el úmero total de aplicacioes de cualquier tipo que se puede establecer del cojuto {1, 2,,...,m} e el cojuto {1, 2,,...,}. Permutacioes Se llama permutacioes de elemetos al úmero de listas ordeadas diferetes que se puede formar co los elemetos, y se represeta por P. Las permutacioes de elemetos coicide co las variacioes de elemetos tomados de e : P = V, = ( 1)( 2) 2 1=! dode!, llamado factorial de, es el producto de los primeros úmeros aturales. (Se cosidera, por defiició, que 0! = 1) Usado factoriales, las variacioes se puede expresar como: V,m = ( 1)( 2) ( m + 1) =! ( m)! Las permutacioes de elemetos coicide co el úmero de aplicacioes biyectivas que se puede establecer del cojuto {1, 2,,...,} e sí mismo. Permutacioes co repetició Se llama permutacioes co repetició de elemetos etre los que hay exactamete s diferetes que se repite i 1, 1 i s, veces cada uo de ellos, al úmero de listas ordeadas diferetes que se puede formar co los elemetos, y se represeta por PR 1, 2,..., s. Se ha de cumplir que s =, y es fácil ver que: Ejercicios PR 1, 2,..., s =! 1! 2! s! 1. Co el alfabeto español de 27 letras: (a) Cuátas palabras de 5 letras se puede formar?; (b) Cuátas palabras de 5 letras distitas se puede formar?; (c) Cuátas palabras de las determiadas e (a) cotiee la letra b?; (d) Cuátas palabras de las determiadas e (b) cotiee la letra b?; (e) Cuátas palabras de (a) empieza por vocal?; (f) Cuátas palabras de (b) empieza por vocal?; (g) Cuátas palabras de 5 letras distitas se puede formar co las cico vocales?; (h) Cuátas palabras de 9 letras se puede formar reordeado las letras que la palabra cocodrilo?

6 2. Se laza u dado 5 veces. Cuátos resultados distitos puede darse si se tiee e cueta el orde de lazamieto?. Co 5 vocales y cosoates, cuátas palabras de dos vocales (iguales o distitas) y dos cosoates distitas se puede formar teiedo e cueta que e cada palabra o figura dos cosoates seguidas?. Cuátas sucesioes de ceros y uos de logitud cotiee exactamete tres ceros? 5. Se dispoe de siete libros azules, cico egros y tres blacos, todos ellos distitos etre sí. De cuátas formas se puede aliear e u estate si ha de colocarse jutos los del mismo color?. U circuito eléctrico posee 10 iterruptores, cada uo de ellos co dos posicioes (0 y 1). Cuátos estados diferetes puede teer el circuito? Cuátos de ellos tiee exactamete iterruptores e la posició 1? 7. De cuátas formas distitas puede repartirse 5 bolas blacas, rojas y 2 egras e 10 uras distitas de tal forma que cada ura cotega ua bola? B 8. La cuadrícula de la figura es el plao de ua ciudad. Si las úicas direccioes permitidas so la direcció este y orte, cuátos camios distitos coduce C desde A hasta B? Cuátos de ellos pasa por C? A Solucioes y/o sugerecia a los ejercicios 1. (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) 120; (h) ( 1)( 2)

7 .. Combiacioes. TÉCNICAS PARA CONTAR Combiacioes si repetició Se llama combiacioes si repetició, o simplemete combiacioes, de elemetos tomados de m e m al úmero de listas o ordeadas diferetes que se puede formar co m elemetos distitos elegidos de etre los posibles, y se represeta por C,m. Obviamete, se ha de cumplir que 0 m, y su valor es: C,m = V,m ( 1)( 2) ( m + 1) = = P m m!! m!( m)! Las combiacioes de elemetos tomados de m coicide co el úmero de subcojutos co m elemetos del cojuto {1, 2,,..., }. Números combiatorios Se llama úmero combiatorio sobre m al úmero de combiacioes de elemetos tomados de m e m, y se represeta por: = C,m = m! m!( m)! Teiedo e cueta que 0! = 1, los úmeros combiatorios sobre m se puede defiir para cualesquiera par de eteros y m que verifique que 0 m. Propiedades. El triágulo de Tartaglia 1. Para cada cualquier úmero atural : 0 = = 1, y si 1: 1 = 1 =. 2. Para cualesquiera úmeros aturales m: m = m. Para cualesquiera úmeros aturales >m: m + m+1 = +1 m+1. Usado la propiedad aterior, se costruye el triágulo de Tartaglia, dode cada úmero es la suma de los dos que está imediatamete por ecima, cuyas formas combiatoria y umérica so: Combiacioes co repetició Se llama combiacioes co repetició de elemetos tomados de m e m al úmero de listas o ordeadas diferetes que se puede formar co m elemetos iguales o distitos elegidos de etre los posibles, y so: + m 1 CR,m = m

8 Ejercicios 1. Cuátos equipos de balocesto se puede formar co 10 jugadores? E cuátos de esos equipos iterviee el jugador úmero? 2. Hay seis bombos, cada ua de ellos co 5 bolas umeradas del 1 al 5 y de tal maera que las bolas co el mismo úmero so idistiguibles. Si cada bombo deposita ua bola e ua cesta, cuátos resultados distitos se puede presetar? Cuátos de estos resultados cotiee ua bola umerada co el 5?. Se extrae, ua a ua, cico cartas de ua baraja. Si el orde de aparició de las cartas es irrelevate, pero distiguiedo si las extraccioes se ha hecho co o si reemplazamieto, cuátos resultados diferetes se puede obteer?. U baco tiee que elegir cico cargos (director, subdirector, itervetor, cajero y cobrador) etre 8 persoas, de los cuales so hombres y 5 mujeres. Calcula de cuátas formas puede hacer la elecció si: (a) Se elige los hombres; (b) Se elige mujeres y 2 hombres; (c) Se elige al meos mujeres; (d) Dos de los hombres se lleva mal y o puede estar jutos e la misma elecció. 5. El cosejo de admiistració de cierta empresa se compoe de cico persoas. Se somete a votació secreta la aprobació de u proyecto y adie puede absteerse, pero sí votar e blaco. Cuátos resultados distitos se puede dar e la votació? Si el proyecto se aprueba co al meos votos favorables, cuátos resultados de los ateriores aprueba el proyecto?. E u tablero de ajedrez, de cuátas formas distitas se puede colocar 8 torres de forma que igua esté e la diagoal pricipal i se pueda comer etre ellas? 7. E ua baraja de 52 cartas, de cuátas formas distitas se puede escoger cico cartas de modo que haya al meos ua carta de cada palo? 8. Cuatas palabras de 1 letras se puede formar co las letras de la palabra clasificació? 9. U ascesor de u cetro comercial parte del sótao co cico pasajeros y se detiee e siete pisos. De cuátas maeras distitas puede desceder los pasajeros? Y co la codició de que dos pasajeros o baje e el mismo piso? 10. De cuatas maeras se puede repartir 10 caicas idéticas etre iños? Y si las caicas so todas diferetes? Solucioes y/o sugerecia a los ejercicios (a) 1200; (b) 00; (c) 5520; (d) Pasajeros distitos: 1.807, Pasajeros idistiguibles: 2,

9 . TÉCNICAS PARA CONTAR.5. El pricipio de iclusió-exclusió El pricipio de iclusió-exclusió Es la geeralizació a cojutos de la fórmula para el cardial de la uió de dos cojutos. Si A 1,A 2,...,A so cojutos fiitos, y si se llama: α 1 = A 1 + A A α 2 = A 1 A A 1 A = A i A j i=j α = A 1 A 2 A A 2 A 1 A = A i A j A k α = A 1 A 2... A i=j=k etoces: A 1 A 2... A = α 1 α 2 + α α +...+( 1) 1 α Desarreglos U desarreglo de objetos es ua permutació de los mismos de tal maera que iguo de ellos queda e su posició atural. El úmero de desarreglos de objetos es: d =! 1 1 1! + 1 2! 1! ( 1)! Demostració: Si S es el cojuto de permutacioes de los primeros úmeros aturales, cuyo cardial es S = P =!, y A i = {π S : π(i) =i} es el cojuto de permutacioes e las que el lugar i lo ocupa i, 1 i, se trata de hallar el cardial del cojuto X = S (A 1 A 2... A ), que es: X = S A 1 A 2... A =! α 1 α 2 + α α +...+( 1) 1 α dode α p es el úmero de permutacioes que tiee p úmeros e su mismo lugar. Por tato: α 1 = ( 1)! =! α 2 = ( 2)! =! α = ( )! =! α = 1 2 2!! y etoces: X =!!! 2! +!! +...+( 1) 1 =! 1 1 1! + 1 2! 1! ( 1)! =1 Combiacioes co repetició limitada Otro caso e que se usa el pricipio de iclusió-exclusió se ilustra co el siguiete ejemplo: Cuátos úmeros positivos meores que tiee la suma de sus cifras igual a 25? Se trata de hallar cuátos úmeros x 1 x 2 x x verifica que (E) x 1 +x 2 +x +x = 25 co 0 x 1,x 2,x,x 9. Si se llama A al cojuto de solucioes o egativas de (E), y A i,1 i, al cojuto de solucioes o egativas de (E) co x i 10, etoces se trata de hallar: N = A A 1 A 2 A A = A (α 1 α 2 + α α ) Para cotar las diferetes solucioes o egativas de la ecuació x 1 + x 2 + x + x = p, sepuedeprocederde dos formas: Idetificar cada ua de ellas co ua sucesió de p ceros y uos, dode los uos represeta la separació etre dígitos y el úmero de ceros el dígito. Por ejemplo, si p = 12: Si se procede así, el úmero de solucioes sería: PR p, p+.

10 Idetificar cada ua de ellas co ua ura e la que hay x i bolas umeradas co i, 1 1. Se se procede así, el úmero de solucioes sería CR,p (que, obviamete, coicide co el otro valor). Haciedo los cálculos pertietes: A = {solucioes o egativas de x 1 + x 2 + x + x = 25} = PR 25, 25+ = 28! 28 25!! = α 1 = {solucioes o egativas de x 1 + x 2 + x + x = 15} =PR 15, 18! = 1 15!! = α 2 = {solucioes o egativas de x 1 + x 2 + x + x =5} =PR 5, 8! 8 5+ = 2 5!! = α = α =0 dode se ha teido e cueta que si u dígito es mayor o igual que 10, ya se le supoe asigados 10 ceros (o 10 bolas) y sólo hay que distribuir las restates. Por tato, los úmeros positivos meores que que tiee la suma de sus cifras igual a 25 so: N = = 8 El pricipio de iclusió-exclusió e térmios de propiedades Sea A u cojuto cuyos elemetos puede o o verificar ua serie de propiedades Q i,1 i, yseaa i el cojuto de elemetos de A que verifica la propiedad Q i. Etoces: El úmero de elemetos de A que verifica algua propiedad es: A 1 A 2... A = α 1 α 2 + α...+( 1) 1 α El úmero de elemetos de A que o satisface igua propiedad es: A A 1 A 2... A = A α 1 α 2 + α...+( 1) 1 α El úmero de elemetos de A que verifica exactamete k propiedades es: k +1 k +2 E(k) =α k α k+1 + α k+2...+( 1) k α k k k El úmero de elemetos de A que verifica al meos k propiedades es: k k +1 1 X(k) =α k α k+1 + α k+2...+( 1) k k 1 k 1 k 1 α Ejercicios 1. Se tiee 5 sobre y 5 cartas, y se distribuye al azar las cartas e los sobres. De cuátas formas se puede distribuir para que o haya igua coicidecia? Y para que haya ua coicidecia? Y dos?... Y cico? 2. Cuátos úmeros meores que 1000 verifica que la suma de sus dígitos es 5?. Cuátos úmeros etre 1000 y 9999 verifica que la suma de sus dígitos es 9? Cuátos de éstos tiee todos sus dígitos distitos de cero?. Determia el úmero de solucioes eteras de la ecuació x 1 + x 2 + x + x = 2 verificado que: (a) x i 0; (b) x i > 0; (c) x 1,x 2 5, x,x 7; (d) x i 8; (e) x i 2; (f) x 1,x 2,x > 0, 0 <x Se cosidera el código, sobre el alfabeto {0, 1}, formado por las palabras de 1 dígitos e las que el úmero de uos es múltiplo de. Cuátas palabras distitas puede haber?

11 . Cuátos segmetos determia putos situados sobre ua circuferecia? Supoiedo que o hay tres segmetos que comparta u puto, cuátos putos de itersecció hay e el iterior de la circuferecia? 7. Co ua baraja de 52 cartas, el úmero de repartos posibles de 5 cartas que cotiee al meos tres pikas o es C 1, C 9,2. Cuál es la respuesta correcta? 8. Cuál es el úmero de cuateras (a, b, c, d) de úmeros eteros que satisface que 0 <a<b<c<d< De cuátas maeras se puede elegir cuatro parejas etre 0 persoas? 10. Tres matrimoios se sieta e ua mesa circular. De cuátas formas lo puede hacer setádose jutos los dos miembros de cada matrimoio? Y si o se puede setar jutos? 11. Calcula el úmero de sucesioes que se puede formar co tres letras a, cico letras b y ocho letras c. E cuátas de ellas o hay dos letras b cosecutivas? E cuátas o hay dos letras iguales cosecutivas? 12. Cuátas sucesioes de 10 símbolos se puede formar co cuatro letras a, cuatro b, cuatro c y cuatro d, si cada ua de ellas debe aparecer al meos dos veces? 1. (a) Ua caravaa publicitaria costa de coches y furgoetas, siedo todos los vehículos de diferete color. De cuátas formas diferetes puede orgaizarse la fila de la caravaa co la codició de que o circule dos furgoetas jutas? (b) Si se suprime dos furgoetas, cuátas caravaas se puede orgaizar co la misma codició aterior? 1. E u cetro de eseñaza se recibe solicitudes de igreso, que se atiede segú las calificacioes de las siguietes cuatro asigaturas: Matemáticas, Física, Química e Iglés. Cada asigatura tiee ua calificació etera etre 5 y 10. Cuátos expedietes académicos diferetes se puede recibir? Cuátos de ellos tiee ota media igual a 7? 15. (a) E las aulas 1, 2, y de la Facultad de Iformática se va a examiar 192 alumos de Matemática Discreta. Supoiedo que o hay limitació e la capacidad de las aulas, y atediedo sólo a la catidad de alumos por aula, de cuátas formas distitas se puede hacer la distribució de los los alumos e las aulas? (b) Como la capacidad de las aulas sí es limitada, se itroduce u total de 5 sillas auxiliares etre todas las aulas. Si e cada aula o cabe más de 20 sillas, de cuátas formas distitas puede hacerse el reparto de sillas e las aulas? Solucioes y/o sugerecia a los ejercicios 1., 5, 20, 10, 0 y (a).55; (b) 95; (c) 15; (d) 1; (e) 12.1; (f) ( 1) 2. ( 1)( 2)( ) (a) ; (b) (a) ; (b).0.

12 .. Algoritmos de eumeració. TÉCNICAS PARA CONTAR Hay cojutos ta grades que o se puede represetar i siquiera co el ordeador. Por ejemplo, P 100 = 100! 9, E estos casos, es ecesario dispoer de algú algoritmo que permita ordearlos y saber cuál sigue a cada uo de ellos e dicho orde. Orde lexicográfico Dadas dos sucesioes co el mismo úmero de dígitos, a 1 a 2...a y b 1 b 2...b,elorde lexicográfico es el siguiete: a 1 <b 1 a 1 a 2...a <b 1 b 2...b o a i = b i, para 1 i k, ya k+1 <b k+1 Eumerado permutacioes Para ecotrar la permutació siguiete a x 1 x 2...x e el orde lexicográfico se procede así: Se ecuetra el mayor j tal que x j <x j+1 (los dígitos tras x j está e orde decreciete). Se ecuetra el mayor k tal que x j <x k. La siguiete permutació se obtiee itercambiado los dígitos x j y x k, y reordeado los restates dígitos que sigue a x j e orde creciete. Por ejemplo, e la permutació π = 1572, j =yk =, y la permutació que le sigue es: π = Eumerado combiacioes E el cojuto de las combiacioes de los primeros úmeros aturales tomados de k e k, supoiedo que los elemetos de cada ua de ellas aparece ordeados e orde creciete, tambié se establece el orde lexicográfico, de tal forma que la primera sería 1, 2,,...,k ylaúltima( k + 1), ( k + 2),...,. Para determia la combiació que sigue a c 1,c 2,...,c k se procede así: Se ecuetra el mayor j tal que c j < k + j. La siguiete combiació es: c 1,c 2,...,c j 1, (c j + 1), (c j + 2),...,(c j + k j + 1). E las combiacioes de los 9 primeros úmeros aturales tomados de e, al aplicar el algoritmo para determia la combiació que sigue a 1789 se obtiee que j = (el mayor j tal que c j < +j), por lo que la combiació siguiete es: Eumerado subcojutos Para eumerar todos los subcojutos del cojuto X = {x 1,x 2,...,x } se comieza estableciedo ua biyecció (idetificado) etre los subcojutos de X y las sucesioes biarias de logitud : 0, si x i / A A X a 1 a 2...a co a i = 1, si x i A Sobre estas sucesioes biarias, que e total so 2 (tatas como subcojutos tiee el cojuto X), se establece el orde lexicográfico, de tal maera que la más pequeña es (cojuto vacío) y la más grade es (cojuto X). Sobre los subcojutos de X se cosidera el orde iducido por el orde de las sucesioes biarias. Detro de los subcojutos de X = {1, 2,,, 5,, 7}, el cojuto que sigue a A = {1,,, 7} es: A = {1,,, 7} = siguiete {1,, 5}

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