Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento

Transcripción

1 Tema 4 Combiatoria La combiatoria, el estudio de las posibles distribucioes de objetos, es ua parte importate de la matemática discreta, que ya era estudiada e el siglo XVII, época e la que se platearo cuestioes combiatorias, relacioadas pricipalmete co los juegos de azar. Ua de las partes pricipales de la combiatoria es el recueto de objetos. Comezamos este tema formalizado la oció de úmero de elemetos de u cojuto. Al cotar los elemetos de u cojuto fiito A lo que realmete se hace es ir eumerado los elemetos de A y a cada elemeto se le asiga u úmero atural distito, de forma ordeada comezado por 1. El úmero de elemetos de A será aquel úmero atural e que se termie este proceso. Ésto es, el cardial de u cojuto será el meor atural de tal forma que exista ua aplicació iyectiva de A e el cojuto {1,,..., }. A cotiuació presetamos los pricipios básicos de recueto (de la uió, del producto, de iclusió-exclusió y de las cajas sobre los que se fudameta el resto del tema. Estudiamos las diferetes maeras de seleccioar objetos de u cojuto: variacioes, permutacioes y combiacioes, co o si repetició, prestado especial ateció a las propiedades básicas de los úmeros combiatorios. El estudio de estas ocioes os proporcioará técicas para cotar el úmero de objetos de cojutos e diferetes cotextos. Las técicas de recueto se utiliza, por ejemplo, para determiar la complejidad de u algoritmo. Cerramos este tema, estudiado alguos métodos de resolució de relacioes de recurrecia. Estos métodos so ecesarios para resolver problemas de recueto e los que las técicas vistas e las seccioes previas del tema o so aplicables. Para más iformació sobre el coteido de este tema recomedamos los libros de N.L.Biggs [3], E.Bujalace, J.A.Bujalace, A.F.Costa y E.Martíez [4, 5], y K.H.Rose [9]. 4.1 Pricipios básicos de recueto E esta primera secció del tema daremos la defiició formal de cardial de u cojuto y los pricipios básicos que se utiliza para computar este cardial para cojutos cocretos. 9

2 30 Combiatoria Cardial de u cojuto Cotar los elemetos de u cojuto A es establecer ua biyecció etre A y u cojuto fiito {1,..., }. Defiició Diremos que el cardial de u cojuto A es si se puede establecer ua biyecció f : {1,..., } A. Se deota A =. Se defie = 0. Se dice que A es ifiito si o existe igua biyecció f : {1,..., } A para igú N Pricipio de la uió Si se puede escoger u elemeto de u cojuto A de m formas distitas, y u elemeto de u cojuto B de formas distitas, etoces es posible escoger u elemeto de A o de B de m + formas distitas (si A y B so disjutos. Teorema 4.1. (Pricipio de la uió. Si A 1, A,..., A so cojutos fiitos disjutos dos a dos se tiee que A 1 A A = A 1 + A + + A. Ejemplo El úmero de palabras del diccioario es igual al úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que empieza por b más... más el úmero de palabras que empieza por z Pricipio del complemetario Teorema (Pricipio del complemetario. Si B es u cojuto fiito y A es u subcojuto de B se tiee que B \ A = B A Pricipio del producto Si se puede escoger u elemeto de u cojuto A de m formas distitas, y u elemeto de u cojuto B de formas distitas, etoces es posible escoger u elemeto de A y otro de B de m formas distitas. Teorema (Pricipio del producto. Si A 1, A,..., A so cojutos fiitos o vacíos se tiee que A 1 A A = A 1 A A. Ejemplo El úmero de palabras posibles de cuatro letras formadas solo por vocales es

3 Combiatoria Pricipio de iclusió-exclusió E el caso de cojutos o disjutos, al aplicar el pricipio de la uió para dos cojutos se preseta el problema de que los elemetos de la itersecció so cotados dos veces. Por lo tato habrá que descotarlos al cotar los elemetos de la uió. Teorema (Pricipio de iclusió-exclusió. Si A 1, A,..., A so cojutos fiitos se tiee que i A 1 A = A 1 + A A 1 A, ii A 1 A A 3 = 3 A i A i A j + A 1 A A 3, i j i=1 iii i=1a i = A i A i A j + + ( i 1 A 1 A A. i j i=1 Ejemplo El úmero de palabras del diccioario que empieza o termia por a el úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que termia por a meos el úmero de palabras que empieza y termia por a. Ejemplo Calcular φ(30. Como 30 = 3 5 etoces ( 30 φ(30 = ( ( = 30 ( ( (1 = = 8 ( = ( 1 1 ( Observació E geeral, si = p r 1 1 pr pr k k ( φ( = ( = = etoces + + ( ( + + ( 1 k p 1 p k p 1 p p 1 p 3 p k 1 p k p 1 p p k ( ( + + ( 1 k 1 p 1 p k p 1 p p k (1 (1 1p1 1p (1 1pk Pricipio de las cajas Supogamos que teemos u cojuto X cuyos elemetos llamaremos objetos, y u cojuto Y a cuyos elemetos llamaremos cajas. Ua distribució de los objetos e las cajas es simplemete ua aplicació f : X Y. El pricipio de las cajas establece que si hay más objetos que cajas, algua caja habrá de coteer más de u elemeto. Teorema (Pricipio de las cajas o de distribució. Si se reparte objetos e m cajas y > m, etoces algua caja recibe más de u elemeto.

4 3 Combiatoria Teorema Si objetos se distribuye e m cajas y > mp, etoces algua caja recibe más de p elemetos. Ejemplo Dada ua palabra de 8 letras algua de éstas habrá de estar ecesariamete repetida Pricipio de las cajas geeralizado Teorema (Pricipio de las cajas geeralizado. Si objetos se distribuye e m cajas, etoces algua caja recibe al meos m elemetos y algua caja recibe a lo sumo m elemetos, dode x es el meor etero mayor o igual que x y x es el mayor etero meor o igual que x. 4. Seleccioes de elemetos E esta secció se estudia, dado u cojuto de elemetos, las diferetes maeras e que podemos seleccioar k de estos elemetos, segú se tega o o e cueta el orde (variacioes o combiacioes y segú se repita o o elemetos Variacioes Defiició Llamaremos variació de m elemetos tomados de e ( < m a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos distitos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació 4... Ua variació de m elemetos tomados de e ( < m es ua aplicació iyectiva f : {1,,..., } {a 1, a,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes si repetició de m elemetos tomados de e es V m, = m(m 1(m (m + 1. Ejemplo El úmero de palabras distitas de cuatro letras, todas ellas distitas, que puede formarse co las letras del abecedario es Permutacioes Defiició Llamaremos permutació de elemetos a cada ua de las variacioes de elemetos tomados de e. Observació Ua permutació de {a 1, a,..., a } es ua aplicació biyectiva σ : {1,,..., } {a 1, a,..., a }. Teorema El úmero de permutacioes de elemetos es P =!.

5 Combiatoria 33 Ejemplo El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de ALTO es 4!. Observació Cuado se ordea elemetos formado u ciclo, se obtiee las permutacioes circulares. Dos permutacioes circulares será equivaletes si se puede obteer ua de la otra por ua rotació del ciclo. Etoces si fijamos uo de los elemetos, para evitar rotacioes el resto podrá colocarse de 1! formas distitas. Por tato, el úmero de permutacioes circulares de elemetos será igual 1! Combiacioes Defiició Llamaremos combiació de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas y si repeticioes, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Teorema El úmero de combiacioes de m elemetos tomados de e es igual a C m, = V m, P = m!!(m!. Ejemplo El úmero de subcojutos de 4 elemetos de u cojuto de 7 elemetos es C 7,4 =. 4! 4..4 Números combiatorios Defiició Se llama úmero combiatorio ( sobre k al úmero ( de combiacioes de! m elemetos tomados de e. Se deota =. Se defie = 1. Obsérvese ( k k!( k! 0 que = 1. ( Propiedades i = k ( ( ( 1 1 ii = +, k k 1 k ( ( iii (a + b = a iv v ( 0 ( 0 + ( 1 ( ( ( + + a 1 b + (, k ( =, + + ( 1 ( ( ( a b + + ab = 0. ( b, (Teorema del biomio Observació EL triágulo de Pascal, que tiee e la fila i-ésima (i = 0, 1,,... los úmeros combiatorios ( i k (k = 0, 1,,..., i verifica que cada elemeto es la suma de los dos situados por ecima de él e la fila imediatamete superior.

6 34 Combiatoria 4..5 Variacioes co repetició Defiició Llamaremos variació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació Ua variació co repetició de m elemetos tomados de e es ua aplicació f : {1,,..., } {a 1, a,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes co repetició de m elemetos tomados de e es V R m, = m. Ejemplo El úmero de palabras distitas de cuatro letras que puede formarse co las letras del abecedario es Permutacioes co repetició Defiició Llamaremos permutació co repetició de = k elemetos e la que cada elemeto a i se repite i veces, a cada uo de los distitos grupos ordeados que co ellos se puede formar. Teorema El úmero de permutacioes co repetició de = k elemetos es P R 1,..., k =! 1! k!. Ejemplo 4... El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de la palabra ABECEDARIO es 4!. se les llama úmeros multi- ( Observació A los úmeros = k 1,..., k m ómicos. Se tiee que ( ( ( ( k1 k i =, k 1,..., k k 1 k k ( ii (a 1 + a + + a m = k 1,..., k m k 1 + +k m = 4..7 Combiacioes co repetició! 1! k! a k 1 1 ak ak m m (Teorema del multiomio. Defiició Llamaremos combiació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació El úmero de combiacioes co repetició de m elemetos tomados de es CR m, = C m+ 1, = m + 1!!(m 1!.

7 Combiatoria 35 Si ecesariamete se elige al meos u elemeto de cada tipo el resultado es CR m, m = C 1, m = 1! ( m!(m 1!. Ejemplo El úmero de solucioes eteras o egativas de la ecuació x 1 + x + x 3 + x 4 = 3 es CR 4,3. El úmero de solucioes eteras mayores o iguales que uo es CR 4,8. El úmero de solucioes eteras o egativas meores o iguales que 9 es CR 4,3 4CR 4, CR 4, CR 4, Cuadro resume 4..9 Desórdees Seleccioes Ordeadas No ordeadas ( Si repetició ( 1( ( k + 1 ( k 1 + k Co repetició k k Defiició Llamaremos desorde o desarreglo a ua permutació σ S tal que σ(i i para todo i {1,,..., }. Teorema El úmero de desórdees de elemetos es ( ( ( ( d =! ( 1! + (! ( 3! + + ( 1 (! 1 3 (! + + ( 1! =! 1 1 1! + 1! 1 3! ( 1! =!! +!! 3! ( 1 Nota = e 1 0, ! = Particioes Defiició Llamaremos úmero de Stirlig de seguda clase S(, k al úmero de particioes de u cojuto X co elemetos, e k subcojutos o vacíos. Propiedades Se cumple que i S(, 1 = 1, ii S(, = 1, iii S(, k = S( 1, k 1 + ks( 1, k. Observació El úmero de aplicacioes suprayectivas de u cojuto de m elemetos e u cojuto de elemetos es T (m, = m ( 1 m + Teorema S(m, = ( T (m,.! ( m. ( ( ( 3 m + + ( m. 3 1

8 36 Combiatoria Cuadro resume: Seleccioes y distribucioes Seleccioes de m elemetos tomados de e Seleccioes ordeadas si repetició Seleccioes o ordeadas si repetició Seleccioes ordeadas co repetició Seleccioes o ordeadas co repetició m(m 1(m (m + 1 ( m m ( m 1 + T (, m ( 1 m Distribucioes de objetos e m cajas objetos distitos (máx. 1 por caja objetos idéticos (máx. 1 por caja objetos distitos objetos idéticos objetos distitos (cajas o vacías objetos idéticos (cajas o vacías