Combinatoria y definiciones básicas de probabilidad

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1 Combiatoria y defiicioes básicas de probabilidad

2 Defiicioes de probabilidad Probabilidad como ituició Probabilidad como la razó de resultados favorables Probabilidad como medida de la frecuecia de ocurrecia Defiició axiomática de la probabilidad

3 Probabilidad como ituició E este modelo, la probabilidad iteta predecir evetos co base e la ituició. Por ejemplo, mañaa lloverá o él está maejado muy rápido.

4 Probabilidad como la razó de resultados favorables E esta líea de razoamieto, la cual es o experimetal, la probabilidad de u eveto puede ser calculada a priori a través del cálculo del úmero de maeras e que u determiado eveto E puede ocurrir seguido por el cálculo de la razó N E /N, dode N represeta el cojuto de todos los resultados posibles. Este modelo supoe que todos los resultados so igualmete probables.

5 Probabilidad como medida de la frecuecia de ocurrecia Sea E ua colecció de resultados que posee u cierto atributo. Supoga que u experimeto o juego es repetido N veces y que N E represeta el úmero de veces que el resultado E fue obteido. La razó P( A) E lim para N suficietemete grade se defie como la probabilidad de A.

6 Defiició axiomática de la probabilidad La probabilidad P[ ] asiga a cada eveto E e el uiverso de posibilidades u úmero P[E], llamado la probabilidad de E, tal que: 1. P[E] 0 2. P[] = 1 3. P[EF] = P[E] + P[F] si EF =.

7 Defiició axiomática de la probabilidad Los tres axiomas básicos de la probabilidad so suficietes para establecer toda ua serie de defiicioes básicas. E particular: 4. P[] = 0 5. P[E] = 1 - P[E C ] 6. P[EF C ] = P[E] - P[EF] 7. P[E F] = P[E] +P[F] - P[EF]

8 Defiició axiomática de la probabilidad j i i i i i E E E P E P si 1 1 El último resultado de la lámia aterior os permite escribir la cota superior del operador uió como sigue: Por lo que, i i i i E P E P 1 1

9 Probabilidad cojuta Supoga que se realiza experimetos del estado del tiempo e la ciudad de México. E particular estamos iteresados e tres evetos A, B, C, tales que: A es el eveto e que e u cierto día la temperatura ambiete estuvo por ecima de los 15C; B es el eveto e que e u determiado día haya caído ua precipitació pluvial superior a los 8 milímetros y; C es el eveto e que e u determiado día tato A como B haya acotecido.

10 Probabilidad cojuta Puesto que C es u eveto, P[C] es su probabilidad de ocurrecia de acuerdo a las defiicioes axiomáticas dadas ateriormete. Pero P[C] = P[AB]. Por lo que defiimos el úmero P[AB] como la probabilidad cojuta de los evetos A y B. Claramete, la probabilidad cojuta puede ser extedida a más de dos evetos, por ejemplo, P[EFG] es la probabilidad cojuta que E, F, y G ocurra simultáeamete.

11 Probabilidad cojuta Supoga ahora que i deota el úmero de días (veces) que el eveto i ha ocurrido. Etoces, a través de u período de 1000 días ( = 1000) se hiciero las siguietes observacioes: A = 811, B = 306, AB = 290. Utilizado el modelo de frecuecia de evetos de la probabilidad cocluimos: 811 A P A B P B AB P AB

12 Probabilidad Codicioal Cosidere ahora el cociete AB / A. Este valor represeta la frecuecia co la cual el eveto C = AB ocurrió cuado A acoteció. E palabras, es el úmero de días e que la catidad de lluvia excedió 8 milímetros e aquellos días e los cuales la temperatura excedió los 15C. Note que: AB A AB A / / P P AB A Por lo que se puede defiir el cocepto de probabilidad codicioal P[B A] como: PB A AB A P, P P A 0

13 Probabilidad icodicioal E muchos problemas de igeiería coviee calcular probabilidades icodicioales, P[B], de u eveto B e térmios de la suma poderada de probabilidades codicioales. Teorema Supoga que A 1, A 2,, A so evetos mutuamete excluyetes, esto es, i, se tiee A i i1. Etoces, co P[A i ]0 para toda B PB A PA PB A P P 1 1 A

14 Probabilidad icodicioal: ejemplo Para El caal simétrico biario mostrado e la figura, calcule P[Y=0] y P[Y=1]. X=0, P[X=0]=1/ Y = 0 X=1, P[X=1]=1/ Y = 1

15 Probabilidad icodicioal: ejemplo Para El caal simétrico biario mostrado e la figura, calcule P[Y=0] y P[Y=1]. X=0, P[X=0]=1/ Y = 0 X=1, P[X=1]=1/ Y = 1 P[Y = 0] = P[Y = 0 X = 0]P[X = 0] + P[Y = 0 X = 1]P[X = 1] = (0.9)(0.5) + (0.1)(0.5) = 0.5 = P[Y=1]

16 Idepedecia Se dice que dos evetos A, B co P[A] > 0 y P[B] >0 so idepedietes, si y sólo si P[AB] = P[A]P[B]. Puesto que e geeral, P[AB] = P[B A]P[A] = P[A B]P[B], se cocluye que para evetos idepedietes se cumple que: P[A B] = P[A] y P[B A] = P[B] Tres evetos so idepedietes si y sólo si: P[ABC] = P[A]P[B]P[C] y P[AB] = P[A]P[B]; P[AC] = P[A]P[C]; P[BC] = P[B]P[C]

17 Nuevamete el caal biario simétrico Para el caal simétrico biario mostrado e la figura, sabiedo que u 1 ha sido recibido Cuál es la probabilidad que u 1 fue trasmitido? X=0, P[X=0]=P 0 1- Y = 0 X=1, P[X=1]=1- P 0 =P 1 1- Y = 1

18 Nuevamete el caal biario simétrico Sabiedo que u 1 ha sido recibido Cuál es la probabilidad que u 1 fue trasmitido? 1- X=0, P[X=0]=P 0 Y = 0 X=1, P[X=1]=1- P 0 =P 1 P1 P X 1- Y = 1 P X 1, Y 1 1 Y 1 PY 1 PY 1 X 1P X 1 1 X 1P X 1 PY 1 X 0PX 0 P1 1 1 P P Y 0

19 Nuevamete el caal biario simétrico P X P P X 1, Y 1 1 Y 1 PY 1 PY 1 X 1P X 1 1 X 1P X 1 PY 1 X 0PX 0 P1 1 1 P P Y 1 0

20 Ejemplo: prueba de cácer Supoga que existe ua prueba de cácer co las siguietes propiedades. Sea: A := Eveto que la prueba dictamie que el paciete tiee cácer B := Eveto que la persoa tiee cácer A C := Eveto que la prueba dictamie que el paciete está sao B C := Eveto que la persoa está saa Se cooce que P[A B] = P[A C B C ] =0.95 y P[B] = Es la prueba cofiable?

21 Ejemplo: prueba de cácer Supoga que existe ua prueba de cácer co las siguietes propiedades. Sea: A := Eveto que la prueba dictamie que el paciete tiee cácer B := Eveto que la persoa tiee cácer A C := Eveto que la prueba dictamie que el paciete está sao B C := Eveto que la persoa está saa Se cooce que P[A B] = P[A C B C ] =0.95 y P[B] = P B A P Es la prueba cofiable? P BP A B C C A BPB PA B PB Sólo e el 8.7% de los casos se da el diagóstico correcto!

22 Combiatoria Cosidera ua població de elemetos a 1, a 2,, a. Cualquier arreglo ordeado a k1, a k2,,a kr de r símbolos se cooce como ua muestra ordeada de tamaño r. Cosidera ua ura geérica que cotiee pelotas umeradas. Preguta De cuátas maeras se puede formar muestras ordeadas de tamaño r? Se cosiderara dos casos.

23 Muestras co reemplazo Después que se extrae ua pelota de la ura su úmero es aotado y después la pelota es regresada a la ura. Note que para la primera muestra hay opcioes, y para la seguda, tambié opcioes. Por lo tato para ua població de elemetos, existe r muestras ordeadas de tamaño r que puede ser formadas. Ejemplo: Cuátas cotraseñas se puede formar utilizado el alfabeto iglés [26 letras] y u tamaño fijo de 8 caracteres? 26 8.

24 Muestras si reemplazo Después que cada pelota es extraída, o se vuelve a regresar a la ura. Note que para la primera muestra hay opcioes, para la seguda, -1 opcioes, etc. Por lo tato para ua població de elemetos, existe. P(, r) 1 2 r 1 r! r! Ejemplo: De cuátas maeras se puede seleccioar tres libros de u total de 10? (10) 3 = 10*9*8= 720.

25 Combiacioes Preguta frecuete e probabilidad: Cuátos grupos, esto es, sub-poblacioes de tamaño r puede ser formados de ua població total de tamaño? Por ejemplo, supoga que se tiee 6 pelotas umeradas, cuátos grupos de tamaño 2 puede ser formados?

26 Combiacioes Note que el resultado aterior es diferete del úmero de muestras ordeadas que puede ser formadas si reemplazo: Co reemplazo

27 Combiacioes Ua fórmula geeral para el úmero de subpoblacioes C(, r) de tamaño r e ua població de tamaño puede ser calculada como sigue. Ya coviimos que el úmero de muestras ordeadas de tamaño r que se puede formar es P(,r). Cosidere ua subpoblació específica de tamaño r. Para este grupo hay r! diferetes muestras ordeadas, por lo tato se puede escribir: C(, r) r! = P(,r). Es decir: C, r r! r! ( r)! r! r

28 Teorema del Biomio k k k b a k b a 0 Ua fórmula muy famosa que se remota a los tiempos de Newto se cooce como el teorema del biomio: Co ayuda del teorema del biomio se puede demostrar [pero, cómo?] k k 0 2

29 Distribució biomial Beroulli Supoga que la probabilidad que u eveto ocurra es p y que o ocurra es q = 1-p. Cosidere además que se realiza u total de experimetos Beroulli, de los cuales k so exitosos y el resto so fracasos. Preguta: Cuál es la probabilidad de observar exactamete k éxitos? Ua posibilidad sería: ppp pqqq q = p k q -k Pero cuátas posibilidades hay e total? Respuesta e la próxima lámia

30 Distribució biomial Beroulli k k k k q p k q p k C p k b ), ( ), ; ( N = 10; P= 2/3.

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