Capítulo VARIABLES ALEATORIAS

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1 Capítulo VI VARIALES ALEATORIAS. Itroducció Detro de la estadística se puede cosiderar dos ramas perfectamete difereciadas por sus objetivos y por los métodos que utiliza: Estadística Descriptiva o Deductiva Iferecia Estadística o Estadística Iductiva Se utiliza cuado la observació de la població o es exhaustiva sio sólo de u subcojuto de la misma de forma que, los resultados o coclusioes obteidos de la muestra, los geeralizamos a la població La muestra se toma para obteer u coocimieto de la població pero uca os proporcioa iformació exacta, sio que icluye u cierto ivel de icertidumbre Si embargo sí será posible, a partir de la muestra, hacer afirmacioes sobre la aturaleza de esa icertidumbre que vedrá expresada e el leguaje de la probabilidad, siedo por ello u cocepto muy ecesario y muy importate e la iferecia estadística Segú V. arett (982): -La estadística es la ciecia que estudia como debe emplearse la iformació y como dar ua guía de acció e situacioes prácticas que evuelve icertidumbre-. Las situacioes prácticas que evuelve icertidumbre so lo que osostros llamaremos experimetos aleatorios. 2. Feómeos Aleatorios U experimeto es cualquier situació u operació e la cual se puede presetar uo o varios resultados de u cojuto bie defiido de posibles resultados. Los experimetos puede ser de dos tipos segú si, al repetirlo bajo idéticas codicioes: Determiístico Se obtiee siempre los mismo resultados. Ej: medir co la misma regla e ideticas codicioes la logitud de ua barra Aleatorio No se obtiee siempre los mismo resultados. Ej: el lazamieto de ua moeda observado la sucesió de caras y cruces que se preseta Las siguietes so características de u experimeto aleatorio: El experimeto se puede repetir idefiidamete bajo idéticas codicioes Cualquier modificació a las codicioes iiciales de la repetició puede modificar el resultado Se puede determiar el cojuto de posibles resultados pero o predecir u resultado particular Si el experimeto se repite gra úmero de veces etoces aparece algú modelo de regularidad estadística e los resultados obteidos Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

2 3. Espacio Muestral Se deomia resultado básico o elemetal, comportamieto idividual o puto muestral a cada uo de los posibles resultados de u experimeto aleatorio. Los resultados básicos elemetales será defiidos de forma que o pueda ocurrir dos simultáeamete pero si uo ecesariamete. Se deomia cojuto uiversal, espacio muestral o espacio de comportamieto E al cojuto de todos los resultados elemetales del experimeto aleatorio. Puede ser de varios tipos: Espacio Muestral Discreto Espacio muestral fiito Tiee u úmero fiito de elemetos. Espacio muestral ifiito umerable Tiee u úmero ifiito umerable de elemetos es decir, se puede establecer ua aplicació biyectiva etre E y N. Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado. El espacio muestral es E={,2,3,4,5,6} Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado hasta que sea obteido el úmero E={{},{2,},{3,}... {2,2,},{2,3,},...} Espacio Muestral Cotiuo Si el espacio muestral cotiee u úmero ifiito de elemetos, es decir, o se puede establecer ua correspodecia biuívoca etre E y N. Ejemplo: Experimeto aleatorio cosistete e tirar ua bola perfecta sobre u suelo perfecto y observar la posició que ocupará esa bola sobre la superficie. E={Toda la superficie del suelo} 4. Sucesos U suceso S es u subcojuto del espacio muestral, es decir, u subcojuto de resultados elemetales del experimeto aleatorio. Diremos que ocurre o se preseta el suceso cuado al realizarse el experimeto aleatorio, da lugar a uo de los resultados elemetales perteecietes al subcojuto S que defie el suceso Se puede cosiderar cuatro tipos de sucesos segú el º de elemetos que etre a formar parte: Suceso elemetal, suceso simple o puto muestral es cada uo de los resultados posibles del experimeto aleatorio luego los sucesos elemetales so subcojutos de E co sólo u elemeto Suceso compuesto es aquel que costa de dos o más sucesos elemetales Suceso seguro, cierto o uiversal es aquel que costa de todos los sucesos Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

3 elemetales del espacio muestral E, es decir, coicide co E. Se le deomia seguro o cierto porque ocurre siempre. Suceso imposible es aquel que o tiee igú elemeto del espacio muestral E y por tato o ocurrirá uca. Se deota por. 5. Operacioes co sucesos Co los sucesos se opera de maera similar a como se hace e los cojutos y sus operacioes se defie de maera aáloga. Los sucesos a cosiderar será los correspodietes a u experimeto aleatorio y por tato será subcojutos del espacio muestral E. Suceso Coteido e Otro Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que A está icluido e si: Cada suceso elemetal de A perteece tambié a, es decir, siempre que ocurre el suceso A, tambié ocurre el suceso. Diremos tambié que A implica. A ó A Igualdad de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que A y so iguales si: Siempre que ocurre el suceso A tambié ocurre y al revés. Uió de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: La uio de ambos sucesos A y es: Otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elemetales perteecietes a A, a, o a los dos a la vez (itersecció). E geeral, dados sucesos A, A 2, A 3,..., A, su uió es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece al meos a uo de los sucesos A i. A A= A A U A i i= Itersecció de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: La itersecció de ambos sucesos A y es: Otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elemetales que perteece a A y a, simultáeamete. A Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

4 E geeral, dados sucesos A, A 2, A 3,..., A, su itersecció es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece a todos los sucesos A i. Sucesos Disjutos, Icompatibles o Excluyetes Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: Diremos que estos sucesos A y so disjutos, icompatibles o mutuamete excluyetes cuado: No tiee igú suceso elemetal e comú o dicho de otra forma, si al verificarse A o se verifica, i al revés. I A i i= A = I A i i= = Sistema Exhaustivo de Sucesos Dados sucesos A, A 2, A 3,..., A de u experimeto aleatorio: Diremos que estos forma ua colecció o sistema exhaustivo de sucesos si la uió de todos ellos es igual al espacio muestral E. Diremos que estos forma u sistema completo de sucesos o ua partició de E si, además de la aterior, codició, se cumple que so disjutos dos a dos, es decir, so mutuamete excluyetes, disjutos o icompatibles. A A... A = A = E 2 i i= A A = i j i j U El cojuto de todos los sucesos elemetales que costituye u espacio muestral forma ua colecció de sucesos mutuamete excluyete y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uo debe ocurrir y o puede ocurrir dos simultáeamete. Suceso Complemetario o Cotrario Dado u suceso A de u experimeto aleatorio: Se defie como suceso complemetario o cotrario de A a: Otro suceso que ocurre cuado o ocurre el suceso A, o bie, es el suceso costituido por todos los sucesos elemetales del espacio muestral E que o perteece a A. Diferecia de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: A A = A Se defie como la diferecia de ambos sucesos A y a: Otro suceso costituido por los sucesos elemetales que perteece a A, pero o a. Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

5 Diferecia Simétrica de Sucesos Dados dos sucesos A y de u experimeto aleatorio: A = (A ) ( A) A = (A ) ( A) Se defie como diferecia simétrica de ambos sucesos A y a: Otro suceso costituido por los sucesos elemetales que perteece a A, o a, pero que o simultáeamete a ambos. 6. Propiedades de las Operacioes co Sucesos Los sucesos asociados a u experimeto aleatorio verifica las siguietes propiedades: E = = E A = A E A = E A = A A A = E E A = A A = A A = Propiedad idempotete: A A = A A A = A Propiedad comutativa: A = A A = A Propiedad asociativa: A (A 2 A 3) = (A A 2) A 3 A (A2 A 3) = (A A 2) A3 Propiedad distributiva: A (A A )=(A A ) ( A A ) A (A A )=(A A ) ( A A ) Propiedad simplificativa: A (A ) = A A (A ) = A Leyes de Morga: ( A ) = A ( A ) = A 7. Sucesió de Sucesos Llamaremos sucesió de sucesos a ua familia de sucesos A, A 2, A 3,..., A e la que éstos aparece ordeados por el subídice. La represetaremos por { A } =,2,3,... Sucesió Creciete Ua sucesió de sucesos { A } A A2 A 3... la represetamos por { diremos A } que es creciete si se verifica: Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

6 Sucesió Decreciete Ua sucesió de sucesos { A } diremos que es decreciete si se verifica: Límite de ua Sucesió El límite de ua sucesió creciete / decreciete de sucesos { A } / { A } : A A2 A 3... la represetamos por { A } lim A = U A / lim A = I A = = Límites Iferior y Superior de ua Sucesió de Sucesos 0 A=lim 0 if A = U I Ak A = lim sup A = I U Ak = k= = k= El límite iferior de la sucesió es u suceso El límite superior de la sucesió es u formado por los resultados o sucesos suceso formado por todos los elemetales que perteece a todos los resultados o sucesos elemetales que sucesos de la sucesió excepto quizá a u perteece a ua ifiidad de sucesos úmero fiito de sucesos de la sucesió E el supuesto que se verifique diremos que la sucesió es covergete y se expresa como: 0 A = lim if A = lim sup A = A = A A A lim A = A 0 8. Algebra de Sucesos Como se ha veido observado, los sucesos los cosideramos como cojutos, siedo válido para éstos todo lo estudiado e la teoría de cojutos. Para llegar a la costrucció axiomática del Cálculo de Probabilidades, ecesitamos dar uas estructuras algebraicas básicas costruidas sobre los sucesos, de la misma maera que se costruye sobre los cojutos. Colecció de Cojutos o Sucesos Es otro cojuto cuyos elemetos so cojutos y lo llamaremos cojuto de las partes de E, es decir, A=P(E) es el cojuto formado por todos los subcojutos de E o por todos los sucesos coteidos e el espacio muestral E. Algebra de Sucesos o Algebra de oole Sea A=P(E) ua colecció de sucesos dode se ha defiido las operacioes: - Uió de sucesos - Itersecció de sucesos - Complemetario de u suceso y que ademá verifica las propiedades defiidas al expoer las operacioes co sucesos. Diremos que la colecció de sucesos o vacia A tiee estructura de Algebra de oole si A es ua clase cerrada frete a las operacioes de complemetario, uió e itersecció de sucesos e úmero fiito, es decir si se verifica las codicioes siguietes: A A = P(E) se verifica que su complemetario A A= P(E) A,A 2 A=P(E) se verifica que A A2 A= P(E) Lo relativo a que la itersecció sea cerrada y que el úmero de sucesos sea fiito se obtiee como cosecuecia de las codicioes ateriores, como ahora se idicará Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

7 De las dos codicioes iiciales, se deduce las siguietes cosecuecias: El espacio muestral E A =P(E) Si los sucesos A, A =P(E) se verifica que A A =P(E) El suceso imposible A = P(E) Si A,A 2,A 3,...,A A= P(E) se verifica que Ai A = P(E) y Ai A = P(E) Si hacemos la extesió al caso de u úmero ifiito umerable de sucesos, etoces aparece ua ueva estructura algebraica que recibe el ombre de α-algebra o Campo de orel, que es ua geeralizació de la aterior. Cuado el espacio muestral E es fiito, todos los subcojutos de E se puede cosiderar como sucesos. Esto o ocurre cuado el espacio muestral es ifiito (o umerable), pues es difícil cosiderar el cojuto formado por todos los subcojutos posibles, existiedo subcojutos que o puede cosiderarse como sucesos. E resume, podemos decir que a partir del espacio muestral E, hemos llegado a defiir la colecció de sucesos A=P(E) que tiee estructura de Algebra de Sucesos o Algebra de oole si el espacio muestral es fiito o bie tiee la estructura de α- Algebra si el espacio muestral es ifiito. Al par (E, A) e dode E es el espacio muestral y A ua α-algebra sobre E, le llamaremos espacio o cojuto medible, e el cual será posible establecer ua medida o probabilidad, como se verá después. U i= I i= 9. Métodos de Eumeració o Coteo Las siguietes so alguas técicas útiles para cotar el úmero de resultados o sucesos de u experimeto aleatorio. Tablas de Doble Etrada Es útil para relacioar dos pruebas, idicádoos los resultados que itegra el espacio muestral, pudiedo idicar sobre la tabla determiados sucesos e los que estemos iteresados. E geeral co m elemetos a, a 2, a 3,..., a m y elemetos b, b 2, b 3,..., b es posible formar m x pares (a r, b s ) tales que cada par tiee al meos algú elemeto diferete de cada grupo. Pricipio de Multiplicació Sea los cojutos C, C 2, C 3,..., C k que tiee respectivamete, 2, 3,..., k k- uplas dode, e cada k-upla, el primer elemeto perteece a C, el segudo a C 2, etc. E el caso particular de que = 2 = 3 =... = k el úmero posible de k-uplas sera k. E el caso geeral, el úmero de posibles resultados será x 2 x 3 x... x k. Este pricipio es de utilidad e el caso de u experimeto aleatorio compuesto por otros k experimetos. Diagramas de árbol Este diagrama os permite idicar de maera secilla el cojuto de posibles resultados e u experimeto aleatorio siempre y cuado los resultados del experimeto pueda Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz

8 obteerse e diferetes fases sucesivas. Ej: Experimeto aleatorio cosistete e lazar al aire u dado y después 3 veces cosecutivas ua moeda. Combiacioes, Variacioes y Permutacioes Combiacioes Llamaremos combiacioes de m elemetos C = m, tomados de e al úmero de subcojutos diferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos del cojuto iicial m m! =!(m - )! Combiacioes co repetició Si e los subcojutos ateriores se puede repetir los elemetos Variacioes Llamaremos variacioes de m elemetos tomados de e a los distitos subcojutos diferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos, ifluyedo el orde e el que se toma Variacioes co repetició Si e los subcojutos ateriores se puede repetir los elemetos Permutacioes Llamaremos permutacioes de elemetos a las variacioes de elemetos tomados de e Permutacioes co repetició Llamaremos permutacioes co repetició de elemetos k-distitos que se repite uo x veces, otro x 2 veces,... y el último x k veces CR = m+- (m + - )! m, =!(m - )! V = m, m(m - )(m - 2)...(m - m + ) = VR m, P =! = m x!,x 2,...,xk P = x! x!...x! 2 k x + x x = 2 k m! (m - )! Maual de Estadística de David Ruiz Muñoz