PROBABILIDAD. El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse.

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1 PROAILIDAD 1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS De forma geeral podemos distiguir etre experimetos determiistas y experimetos aleatorios. Las leyes de la física, de la química y de otras ciecias os provee de ecuacioes que os permite predecir el resultado de ua experiecia coociedo las codicioes e que se realiza. E este caso decimos que el experimeto y sus leyes so determiistas. U experimeto decimos que es aleatorio cuado o podemos predecir su resultado a pesar de coocer las codicioes e que se realiza. Por ejemplo, o podemos predecir cuál será la cara superior que mostrará u dado después de haberlo lazado ESPACIO MUESTRAL El espacio muestral de u experimeto aleatorio es el cojuto de todos los resultados posibles que puede producirse. Se represeta por la letra W. E el experimeto del lazamieto del dado: W { 1,2,3,4,5,6 } E la extracció de ua carta de ua baraja y observar su palo: W { Oros, Copas, astos, Espadas} 2.- SUCESOS Llamamos suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral, es decir, u suceso es cualquier cojuto de resultados del espacio muestral. Represetamos los sucesos mediate letras mayúsculas. A es u suceso si A Ì W Decimos que u suceso se verifica u ocurre al realizar u experimeto aleatorio si el resultado obteido forma parte de dicho suceso TIPOS DE SUCESOS - Suceso elemetal: suceso formado u úico resultado del espacio muestral. - Suceso compuesto: suceso formado por dos o más elemetos del espacio muestral. - Suceso seguro: suceso formado por todos los resultados del espacio muestral, se represeta por tato como W. Su ombre se debe a que se verifica siempre. W Ì W. - Suceso imposible: suceso que o cotiee igú resultado posible del experimeto, es por tato u cojuto vacío y lo represetamos por Æ. Es u suceso que o se verifica uca. El cojuto vacío es siempre u subcojuto de cualquier cojuto: Æ Ì W. - Sucesos compatibles: so aquellos que puede verificarse simultáeamete, es decir tiee resultados comues. - Sucesos icompatibles: so aquellos que o se puede verificar simultáeamete, por tato o tiee igú resultado comú. So cojutos disjutos. Ejemplo: experimeto del lazamieto del dado y observar la cara superior: A Sacar u º meor que 2 { 1 } ; Sacar º par { 2,4,6} C Sacar u º mayor que 6 ; D Sacar º mayor que 0 y meor que 7 { 1,2,3,4,5,6 } E Sacar u º mayor que 3 { 4,5,6 } ; F Sacar º divisible por 3 { 3,6} A es suceso elemetal;, D, E y F so compuestos; D es suceso seguro; C es suceso imposible; es compatible co E; A es icompatible co F.

2 2.2- OPERACIONES CON SUCESOS Al ser los sucesos subcojutos del espacio muestral podemos defiir sobre ellos operacioes propias de los cojutos: UNIÓN La uió de dos sucesos A y es otro suceso formado por todos los resultados que está e A o e : { / o } A È x ÎW x Î A x Î Ejemplos: A È "Sacar u º meor que dos o sacar º par" 1,2,4,6 È E "Sacar º par o sacar º mayor que 3" 2,4,5,6 INTERSECCIÓN La itersecció de dos sucesos A y es otro suceso formado por los resultados que perteece a A y al mismo tiempo a, es decir, los resultados comues de ambos sucesos. { / } A Ç x ÎW xî A y xî Ejemplos: E Ç "Sacar u º mayor que tres y sacar º par" 4,6 AÇ "Sacar u º meor que 2 y sacar par" Æ COMPLEMENTARIO Se llama complemetario de u suceso A y se desiga A al suceso formado por todos los resultados del experimeto que o perteece a A. Obviamete u suceso y su complemetario so sucesos icompatibles ya que su itersecció es vacía. Se dice que A y A so sucesos cotrarios. { / } A xîw xï A Ejemplos: A "NO sacar u º meor que dos" 2,3, 4,5,6 "NO sacar u º par" 1,3,5 C Æ "NO sacar u º mayor que seis" 1,2,3,4,5,6 W D W "NO sacar u º mayor que cero i meor que 7" Æ

3 DIFERENCIA Se llama diferecia etre el suceso A y el suceso al suceso formado por los resultados que perteece a A pero o a { / y } A - x ÎW x Î A x Ï Se puede apreciar fácilmete que se verifica: A - A - ( AÇ ) y A - AÇ Ejemplos: { 2 } ; { 5} { 4,5,6 } ; { 2,4} - E E - E - A E - F Propiedades de las operacioes co sucesos uió itersecció CONMUTATIVA AÈ È A A Ç Ç A ASOCIATIVA ( A È ) È C AÈ( È C) ( A Ç ) Ç C AÇ( ÇC ) DISTRIUTIVA A È( Ç C) ( AÈ ) Ç ( AÈ C ) A Ç( È C) ( AÇ ) È ( AÇC ) IDEMPOTENTE AÈ A A AÇ A A SIMPLIFICATIVA AÈ( Ç A) A INVOLUCIÓN A A AÇ È A A ELEMENTO NEUTRO A ÈÆ A AÇ W A ASORCIÓN A È W W A ÇÆ Æ LEYES DE MORGAN ( AÈ ) A Ç AÇ A È SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS U cojuto de sucesos A1, A2,..., A decimos que costituye u sistema completo de sucesos si cumple las dos codicioes siguietes: A1 È A2 È... È A W es decir, la uió de todos los sucesos cubre todos los posibles resultados, puesto que costituye el espacio muestral. A Ç A Æ " i, j 1,..., co i ¹ j i j Los sucesos so icompatibles dos a dos, dicho de otro modo, cualesquiera dos sucesos que cojamos o tiee resultados comues.

4 Ejemplo: E el experimeto del lazamieto de u dado: { 1, 2,3 } ; { 4 } ; { 5, 6} A A A estos sucesos costituye u sistema completo de sucesos U suceso A y su complemetario A costituye siempre u sistema completo de sucesos. 3.- PROAILIDAD Tal como dijimos al pricipio del tema e los experimetos aleatorios o podemos determiar de ate mao cuál va a ser el resultado cuado lo llevamos a cabo. Si embargo, queremos otorgar a cada resultado u valor umérico que exprese y cuatifique la mayor o meor frecuecia co que esperamos que ocurra cada uo de esos resultados. A este valor umérico le llamaremos probabilidad DEFINICIÓN FRECUENTISTA Ua forma de defiir la probabilidad os la brida la estadística a través del parámetro frecuecia relativa. Tras realizar u úmero grade de repeticioes de u experimeto aotamos el úmero de veces que se repite u determiado resultado A, es decir, su frecuecia absoluta, A. Si el experimeto se repitió N veces decimos que su frecuecia relativa es: f A A N A medida que aumeta el úmero de repeticioes N del experimeto aleatorio, la frecuecia relativa de u suceso tiede hacia u cierto valor costate. Esto os permite hacer ua defiició experimetal de la probabilidad de u suceso como: lim f lim A A N N Es decir la probabilidad de u suceso A asociado a u experimeto aleatorio es el úmero al que tiede su frecuecia relativa cuado el úmero de repeticioes del experimeto tiede a ifiito. N 3.2.-DEFINICIÓN AXIOMÁTICA La defiició experimetal que acabamos de hacer es ituitiva pero preseta el icoveiete obvio de que o podemos repetir ifiitas veces el experimeto y de que i ta siquiera podemos estar seguros de la regularidad de las frecuecias relativas para u gra úmero de repeticioes. El matemático ruso Adrei N. Kolmogorov presetó e 1933 u trabajo e el que itroducía ua defiició axiomática de la probabilidad que propició u gra avace e este campo. Dado u espacio muestral W asociado a u experimeto aleatorio, llamamos Ã( W ) al cojuto de todos los posibles sucesos. Defiimos ua probabilidad como ua fució defiida e el cojuto Ã( W ) que asiga a cada suceso A, u úmero real P(A), es decir: P : Ã( W ) Esta fució debe satisfacer los siguietes axiomas: ³ " ÎÃ ( W ) 1) 0 A A 2) P A P( A) 3)Si A, A,..., A so sucesos icompatibles dos a dos se verifica: ( È È... È ) A A

5 A partir de estos tres axiomas se puede demostrar las siguietes propiedades: a) P 0 ( Æ ) ( È ) + - ( Ç ) Ì Þ " b) P c) Si A P d) 1 A e) CÁLCULO DE PROAILIDADES: REGLA DE LAPLACE Idepedietemete del modo e que hayamos defiido la probabilidad desde u puto de vista teórico, e la práctica, asigamos probabilidad a los suceso mediate: a) Estimació estadística, es decir, realizamos la experiecia u úmero de veces que creemos coveiete y hallamos la frecuecia relativa de los sucesos elemetales. Establecemos como probabilidad de cada suceso elemetal su frecuecia relativa. La probabilidad de u suceso cualquiera se calcula como la suma de las probabilidades de los sucesos elemetales que lo costituye ya que todo suceso es la uió de sucesos elemetales y estos so icompatibles etre sí. b) Regla de Laplace: este método es aplicable cuado el experimeto que estudiamos tiee u úmero fiito de sucesos elemetales,, y podemos supoer que los sucesos elemetales so equiprobables. Co estas premisas asigamos a cada uo de ellos la probabilidad 1/. De esta maera la probabilidad de u suceso será el úmero de sucesos elemetales que lo costituye multiplicado por 1/, resultado la fórmula clásica que se cooce como fórmula o regla de Laplace: Ejemplo: Extracció de ua carta al azar de ua baraja española: º de resultados favorables a la realizació de A º de resultados posibles A La carta es de Oros ; hay 10 aipes de este palo y u total de 40 cartas e la baraja: La carta es ua figura ; hay 12 cartas que so figuras, por tato: 12 3 P E determiados experimetos la determiació de los casos favorables y los casos posibles exige herramietas matemáticas de recueto como so las que proporcioa la Combiatoria. 4.- PROAILIDAD CONDICIONADA Co frecuecia ocurre, e teoría de probabilidades, que el coocimieto de ua iformació complemetaria hace variar la probabilidad de u determiado suceso. Pesemos e el experimeto de la extracció al azar de ua carta de ua baraja española. Cosideremos los sucesos: A La carta es u Rey ; La carta es ua figura Sabemos que la probabilidad P(A) 4/40 1/10. Si al extraer la carta alguie os iforma que la carta extraída es ua figura (es decir, ha ocurrido ), ahora la probabilidad de que la carta sea u Rey ha variado: hay 4 reyes e u total de doce figuras, es decir 1/3.

6 Esta situació se describe como la probabilidad del suceso A codicioada al suceso, que escribimos P(A/), y que sigifica la probabilidad de que ocurra A sabiedo que ha ocurrido. Probabilidad del suceso A codicioada al suceso ( / ) Probabilidad del suceso A sabiedo que ha ocurrido ì í î Siguiedo co el ejemplo teemos que: 4 AÇ "La carta es Rey y figura" Þ P( AÇ ) / P( ) ; P( A/ ) / ( Ç ) P( ) Geeralizado: Dados dos sucesos A y, tales que P() 0, se llama probabilidad de A codicioada a que escribimos P(A/) al cociete: P( A/ ) ( Ç ) P( ) Esta expresió os será útil para calcular la probabilidad de la itersecció de sucesos despejádola: P( AÇ ) P( ) P( A / ) 4.1 SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos A y decimos que so idepedietes si se verifica que: co P() 0. ( / ) P ( A) El sigificado de esta idepedecia es que la probabilidad del suceso A o se modifica por el coocimieto de que se haya verificado previamete. Ejemplo: E la extracció de ua carta al azar de ua baraja cosideremos los sucesos: 4 1 A "La carta es u Rey" Þ P( A) "La carta es de oros" Þ P ( ) ; P ( AÇ ) / 40 1 P( A/ ) P ( A) 10 / ( Ç ) P( ) Es decir, el coocimieto de que la carta extraída es de oros o modifica la probabilidad del suceso A. Se demuestra fácilmete que: Si A es idepediete de, etoces es idepediete de A: ( Ç ) ( Ç ) P A / P P P( / A) P

7 E uestro ejemplo la probabilidad de, es decir, de extraer ua carta de oros o se modifica por el coocimieto de A, que la carta sea u rey, sigue siedo 1/4. De maera aáloga se demuestra que: ìa es idepediete de ï Si A es idepediete de Þ ía es idepediete de ïî A es idepediete de Cuado A y so sucesos idepedietes se puede obteer ua expresió muy útil que se cooce como regla del producto. E geeral la probabilidad de u suceso A codicioado al suceso es: ( Ç ) P( ) / Þ Ç / P Pero si A y so idepedietes: P ( A / ) P ( A) por tato: Si A y so idepedietes Þ Ç P que se cooce como regla del producto 5.- TEOREMA DE LA PROAILIDAD TOTAL E experimetos compuestos el cálculo de la probabilidad de que ocurra u suceso que está codicioado a varios otros sucesos hay que hacerlo teiedo e cueta todos los casos e los que éste se verifica. Veamos u ejemplo que ilustra el llamado Teorema de la probabilidad total: Supogamos u cetro que costa de tres aulas A 1, A 2 y A 3 co 25, 40 y 35 alumos respectivamete. El úmero de becarios e las distitas aulas es de 5, 12 y 10 tambié respectivamete. Elegido u alumo al azar os pregutamos cuál es la probabilidad de que sea becario. El suceso ser becario se puede escribir como A 1 A 2 A 3 Como los cojutos ( A ) elemetos comues, podremos escribir: A Ç È A Ç È A Ç i Ç so icompatibles dos a dos, es decir o tiee ( Ç ) + ( Ç ) + ( Ç ) P Teiedo e cueta la expresió de la probabilidad codicioada podremos escribir: ( / ) + ( / ) + ( / ) P P A P A P A Expresió que se correspode co el Teorema de la probabilidad total. Geeralizado: Sea A 1, A 2,..., A u sistema completo de sucesos y u suceso cualquiera, todos ellos asociados al mismo experimeto aleatorio. Se verifica etoces que: ( / ) ( / )... ( / ) P P A + P A + + P A å i P ( / A ) resultado que se cooce como teorema de la probabilidad total. i i

8 E el ejemplo que itrodujo este teorema podemos utilizar u diagrama e árbol que resulta práctico y visual para experimetos compuestos: P(/A 1 )5/25 ( / ) Ç P A P(A 1 )25/100 P(A 2 )40/100 A 1 A 2 P(/A 1 )20/25 P(/A 2 )12/40 P(/A 2 )28/40 ( / ) Ç P A P( ) P(A 3 )35/100 A 3 P(/A 3 )10/35 ( / ) Ç P A P(/A 3 )25/35 U diagrama e árbol es u esquema que os permite represetar todos los resultados de u experimeto compuesto. Observamos: - La suma de las probabilidades de todas las ramas que sale de u mismo puto es 1. - La probabilidad de u camio es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forma - La probabilidad de u suceso es la suma de las probabilidades de cada uo de los camios que verifica dicho suceso. 6.- TEOREMA DE AYES E ocasioes iteresa calcular la probabilidad de las causas de u suceso compuesto, ua vez que este ya se ha producido. Para calcular este tipo de probabilidades se utiliza el teorema de ayes. E el ejemplo del apartado aterior podríamos pregutaros por la probabilidad de que el alumo elegido sea del aula 1 sabiedo que es becario, es decir, P(A 1/): ( / ) 1 ( / ) ( / ) + ( / ) + ( / ) 1 Ç 1 P A1 P P A P A P A Observamos que el umerador es la probabilidad que expresa la primera rama del diagrama e árbol y el deomiador es la suma de todas las ramas, es decir, la expresió del teorema de la probabilidad total. Teorema de ayes: Sea A 1, A 2,..., A u sistema completo de sucesos y u suceso cualquiera, todos ellos asociados al mismo experimeto aleatorio. Si P(A i) 0, i 1,...,, se verifica: ( / ) i P( Ai ) P ( / Ai ) ( / ) + ( / ) + ( / ) P A P A P A

9 7.- TALAS DE CONTINGENCIA Además de los diagramas e árbol e el estudio de probabilidades e experimetos compuestos puede ser de gra ayuda la utilizació de las llamadas tablas de cotigecia. Veamos u ejemplo: E cierta localidad co ua població activa de persoas el trabajo se reparte etre los sectores de agricultura, idustria y servicios de la siguiete maera: Agricultura (A) Idustria (I) Servicios (S) Total Mayores de 45 (M) M Total Escogida ua persoa al azar: - Probabilidad de que trabaje e agricultura: - Probabilidad de que o sea mayor de 45 años: 550 0, P M 0,51 - Probabilidad de que o trabaje e la Idustria: P( I ) P( AÈ S ) P( A) + P( S ) - P ( AÇ S ) ,80 tambié: P ( I ) P ( I ) , 20 0,80 - Probabilidad de que trabaje e agricultura y sea mayor de 45 años: P( A M ) 300 Ç 0,30 - Probabilidad de que trabaje e agricultura sabiedo que es mayor de 45 años: tambié: P( A M ) ( Ç M ) P( M ) 300 / 300 / 0, / 490 -Probabilidad de que sea mayor de 45 años sabiedo que trabaja e agricultura: tambié: P( M A) ( Ç A) P( A) P M 300 / / 0, / -Probabilidad de que o trabaje e idustria y sea mayor de 45 años: P( I M ) - Probabilidad de que trabaje e servicios o sea mayor de 45 años: P( S È M ) P( S ) + P( M ) - P ( S Ç M ) + - 0,59 - Probabilidad de que i trabaje e servicios i sea mayor de 45 años: P( S M ) tambié aplicado las leyes de Morga: 300 / M 0, P M / A 0, Ç 0, Ç 0,41

10 1 1 é P S Ç M P S È M - S È M - ëp S + P M - P S Ç M ùû , 25-0, ,150 0, 41