TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

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1 CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma, su diferecia, su producto y su cociete, tal como vimos e el tema aterior. E estas codicioes se cumple: Para Para Para { } { } { }: a + b : a + b = a + b = a+ b a b : a b = a b = a b a b a b = a b a a a Para : = b b b b b Es decir: El límite de ua suma de sucesioes es la suma de los límites de ambas, el de ua diferecia la diferecia de los límites, el de u producto es el producto de los límites y el de u cociete (co las codicioes ya sabidas) es el cociete de los límites. Además se cumple las dos propiedades siguietes: Si c es ua costate, etoces c= c y c a = c. a = c a Es decir: El límite de ua sucesió costate es la propia costate y el límite de ua costate por ua sucesió es la costate por el límite de la sucesió. Límites ifiitos Ua sucesió { a } tiede a ifiito y lo deotaremos por: a = + cuado para cualquier M podemos ecotrar tal que si etoces a M Dicho de otro modo: Ua sucesió tiede a + cuado dado u úmero real cualquiera (por muy grade que sea), siempre existe u térmio a partir del cual todos los térmios de la sucesió so mayores que ese úmero real.

2 Ua sucesió { a } tiede a meos ifiito y lo represetamos por: a = cuado para cualquier M podemos ecotrar tal que si a M. Ej.: Las sucesioes { } y { } claramete tiede a +, mietras que la sucesió { } Propiedades aritméticas de los límites ifiitos. Supogamos que teemos dos sucesioes tales que a = + y b = b Etoces se cumple que ( a b ) + =+ Esto lo abreviaremos escribiedo que: uca como ua operació que realmete es irrealizable. Aplicado esta otació se cumple las siguietes propiedades: b etoces tiede a + + b = +, etediédolo como ua otació abreviada, Idetermiacioes Se cooce así las expresioes a las que se llega e el cálculo de límites y que o tiee u resultado perfectamete determiado, como los icluidos e la tabla aterior. Icluso podría aveturarse para ellas varios resultados. Por ejemplo, la expresió podría valer, puesto que al dividir por ua expresió debería dar ; por otro lado podría dar, ya que algo dividido por tiede a ; tambié podría ser puesto que ua expresió dividida por ella misma da la uidad. La práctica os hará ver casos, e que la expresió dará lugar e uos casos a u úmero y e otros a otro distito. Las idetermiacioes más habituales so: ++ b=+ ; ++=+; + b= ; + = ; + si b > si b > + = b = b si b b < + si b < + + = + ; + = ; = +; + + k > + sia> Si k = a = k k < sia< k = N; = ; = ; = ; = ; = ; = ± + si k > y los térmios de la sucesió del deom. so positivos k sik > y los térmios de la sucesió del deom. so egativos = + si k < y los térmios de la sucesió del deom. so egativos si k < y los térmios de la sucesió del deom. so positivos ± ; ; ; ± ; ±

3 Nota: k a) Sabemos que las sucesioes del tipo,, tiede a b) Tegamos e cueta que toda sucesió del tipo,, k tiede a ya que tiede a. E geeral se cumple: k = p k p Por ejemplo: = 6 Cálculo de límites a) Sucesioes co expresioes poliómicas. E geeral dará + o Ej. ( ) + + = ya que se trataría de +++ que segú la tabla aterior daría + Ej. Auque e estás expresioes aparezca o se trata de ua idetermiació, ya que ormalmete procede de dos potecias distitas y siempre crece mucho más rápidamete la expresió co mayor potecia, por lo que esa es la que domia. Así e el ejemplo ( ) + tedríamos que crece mucho más rápidamete que por lo que la expresió crecería si parar por lo que ( + ) = Otra forma de justificarlo, sería: ( + ) =.( ) + =+. = = Ej.: Nota: Para el sigo prevalece el del coeficiete de la de mayor grado. Por tato: El límite de cualquier sucesió que tega ua expresió poliómica, es + ó. b) Caso Cuado tegamos que calcular el límite de u cociete de dos poliomios, que obviamete producirá ua idetermiació del tipo, dividiremos el umerador y deomiador por la de mayor grado y volveremos a calcular el límite aplicado las propiedades que ya coocemos de los límites. Veamos como se procede e los ejemplos siguietes: Se divide umerador y deomiador por la de mayor grado. a) = = = =

4 b) c) = = = = = = De los ejemplos ateriores se puede extraer las siguietes reglas: Si el grado del umerador es meor que el grado del deomiador el límite siempre da. Si el grado del umerador es mayor que el grado del deomiador el límite será + ó, segú los sigos de estos. Si el grado del umerador y deomiador so iguales el límite da, el coeficiete de la de mayor grado del umerador dividido por el coeficiete de la de mayor grado del deomiador. Ej.: + = = = Nota: El cálculo del segudo límite es ya que el grado del umerador es mayor que el del deomiador y e cuato al sigo, el umerador tiede a + mietras que el deomiador lo hace a, por lo que el cociete será egativo (regla de los sigos) Ej.: Hacer el ejercicio del libro págia 4 b) Caso. Si la idetermiació se produce como cosecuecia de que la estructura del límite es ua diferecia de dos radicales de segudo grado, se multiplica y se divide por la expresió cojugada. Ej.: Hacer e clase el ejercicio 4º de septiembre de 99 y dejar el ejemplo siguiete para que lo tega como modelo. Ej.: ( ) + + Se multiplica y divide por la expresió cojugada. ( + + )( ) + + = = Paso ( + ) ( + ) = = = Se div. um. y de. por = = = = + + 4

5 Veamos el Paso, como se divide por el deomiador hasta llegar a la expresió que aparece: = + = + == a b = ab y b b = a a ( ) Ej. = = 9 ( + ) 4 9 ( + ) 9 + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = = 9 = ( ) = = 8 4 es ) (puesto que el grado del umerador es y el del deomiador Ej.: Hay otro tipo de límites que tambié tiee como resultado, pero que o tiee radicales. Veamos u ejemplo de cómo se procede e este caso. + ( )( + ) ( + )( ) = = + ( )( ) = = = Es decir, e estos casos para calcular el límite, hay que operar previamete. c) Caso b Este caso se resuelve aplicado la fórmula siguiete: = (Ver ota al fial del tema sobre la justificació de esta fórmula) Ej.: Hacer e clase el ejercicio º de juio 96 tarde y dejar el ejemplo siguiete para que lo tega como modelo. ( b) ( a ) a e Ej.: + ( ) = e = e + secalcula aparte Veamos como se llega hasta 4 e :

6 ( ) ( ) ( ) = = = = = = d) Los casos ± y so casos ifrecuetes, que además se covierte e los ateriores simplemete operado Ej.: ( ) 4 = = = = Ej.: + + = = x e) Hay otros casos que tambié tiee la estructura de ( b ) idetermiacioes. Veamos alguos ejemplos: Ej.: + = = a, pero que o da lugar a + ( + ) = = = = + = = = ya que < a > a y sabemos que a < = = = > ya que + Exámees de años ateriores: 9º juio 9 mañaa 4 º septiembre 9 (Ya hecho) º juio 96 mañaa º juio 96 tarde (Ya hecho) º juio 98 mañaa º septiembre 98 (coicide º juio 96 tarde) 8º juio 99 mañaa º juio 99 tarde 8º septiembre 99 º juio mañaa. 6

7 Solució: x 4 + Auque aparece la expresió que da lugar a, es desacosejable itetar la técica de multiplicar y dividir por la expresió cojugada. Puesto que aparece e la expresió cocietes de ifiitos, vamos a utilizar la técica de dividir umerador y deomiador por la de mayor grado que e este caso es, ya que está bajo el sigo de raíz cuadrada. Dividiedo umerador y deomiador por queda: = = = x x x = = = = (puesto que x + 4 +,, y tiede a ) + 4 La respuesta correcta es 7º septiembre (coicide co º juio mañaa) º juio mañaa juio tarde. 7º septiembre 7º juio tarde 7º septiembre º juio mañaa 7

8 4º juio tarde º septiembre 7º juio 4 mañaa 7º juio 4 tarde 9º septiembre 4 Solució: El límite propuesto es del caso Este caso, como sabemos se resuelve aplicado la fórmula siguiete: se calcula aparte ( ) + + ( ) e = = + Ver abajo ( ) = ( ) = ( ) Cocietes del mismo coef. um. grado coef. de. 6 e = = = = La respuesta correcta es 7º juio mañaa 8º juio tarde º septiembre ( b ) ( b) ( a ) a = e e 6 = 6 E las dos págias siguietes, figura ua serie de ejercicios resueltos, que se añade al tema. Alguos de ellos ha sido ya resueltos e clase. * Este tema ha sido pasado a soporte iformático por los alumos José Miguel Sáchez y Jesús Ramil, basádose e el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalace y otros, editado por la editorial Saz y Torres y e las explicacioes dadas e las tutorías preseciales del curso -, por el profesor tutor del Cetro de la Ued Alzira-Valecia Fracisco Tomás y Valiete, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado. 8

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11 JUSTIFICACIÓN DE LA FÓRMULA ( b ) ( b) ( a ) a = e La idetermiació del tipo se resuelve mediate la fórmula aterior. Veamos como curiosidad su demostració (la técica cosiste e completar las expresioes de modo que al fial aparezca el límite del úmero e que sabemos que viee defiido por e = + a ( b ) ( b )( a ) b b a = + a = + = + = Sumo y resto a a Mult. y div. el exp. por a ( b a ) = ( b ) = ( a ) b a b a a a = + = + = Aplico que a a Ver ota fial e ( b )( a ) Nota: Sabemos que e = +, pero tambié se cumple e = + siedo c ua c sucesió que tiede a cuado tiede a. Si os fijamos a es ua sucesió de ese tipo, ya que cuado tiede a, a tiede a y por lo tato la sucesió Por ello + a a tiede a. a =e y ( b ) ( b) ( a ) a = e c

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