(finitas o infinitas)

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1 Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5. Sucesió ifiita: umero ifiito de térmios /, /5.../.. + TERMINO ENESIMO: ley de formació ejemplo :- y (termio geeral) SERIE: es ua suma idicada (suma de los térmios de ua sucesió) a + a + + a (fiitas o ifiitas) El símbolo a = = a + a + + a + El símbolo a = a + a +. b = = Cojutos acotados: Superiormete: todo elemeto b e los reales, si A R, si, x A, x b, al existir para A a lo meos ua cota superior, se dice que A esta acotado superiormete... Iferiormete: Todo elemeto a e los reales se deomia cota iferior de u cojuto A R, si, x A, a x, al existir para el cojuto A, ua cota iferior se dice que el cojuto A esta acotado iferiormete. Supremo de A. la meor de todas las cotas superiores de A Ífimo: la mayor de todas las cotas iferiores de A. Etoro de u úmero real.: cojuto de úmeros reales x, tales que : a ε ' p x p a + ε; ε ', ε R como: a SUMATORIA: La suma de los térmios de ua sucesió se expresa = PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS:.- SUMATORIA DE UNA CONSTANTE: K a = a *K.-SUMATORIA DE UNA SUMA O RESTA DE DOS O MÁS SUCESIONES. a = + b = = a =.- importate! : a = +b, * b =/= a = a = * b = = - b = = = a = -b

2 4.- PROPIEDAD TELESCOPICA: ( A ALGUNAS FORMULAS CLAVES:.- ( =.- ( + ) + = 4.- = = ( + ) N N = N A (-)= N + = A ).- A N + = = k k ( k ) ( + )( + ) = = LIMITE DE UNA SUCESION: U umero L es el ite de ua sucesió ifiita: a + a +, si dado u umero ε, ta pequeño como se quiera, existe u umero N, tal que u L p ε Lima Si existe el límite de ua sucesió, se escribe: =L EJEMPLO: la sucesió Lim + ; Grafico: = k + Cosiderado la fució: f() =, se observa que: Lim + = Lima Si o existe el límite de ua sucesió. Se escribe: = Para calcular el ite de ua fució se procede a eiar las formas idetermiadas, mediate amplificació y/o simplificació apropiada. TEOREMAS SOBRE LÍMITES:.- Lim ( a ± b )= Lim a ± Lim b.- Lim ( a * b ) = Lim a * Lim b.- Lim ( a ) = ( Lim a : Lim b ), Lim b 0 b 4.-Si 5.-Si Lim b =0 y Lim a 0, o existe. Lim b = 0 y Lim a =0, puede o o existir. 6.- Lim ( a ) p =( Lim a ) p.

3 Ejercicios:.- escribir los cuatro primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral se idica ( ) x ( + ) + ( + ) ( + )!.- Escribir los cuatro primeros térmios y el térmio (+) de las series cuyo térmio eésimo es el que se idica: + ( ) escribir el térmio eésimo de las sucesioes siguietes:..-/,/,/4,4/5,.(/(+))..-/,/4,5/6,7/8,..((-)/)..- /,4/5,8/7,6/9,..4.-4/*5,5/4*6, 6/5*7, 7/6* Hallar el termio eésimo y el termio (+) de las series siguietes. 4..-/+/5 +/7 + / / + /6 +/9 +/ /! ½! +/! ¼! *4*5/! +4*5*6/! +5*6*7/5! + 6*7*8/7! 4.5.-x/* + x /*5 + x 5 /5*7 + x 7 /7* Cosidere los cojutos Z - y Z + : 5..-) Está acotado superiormete el cojuto Z - Cuáles so sus cotas? 5..-) Cuáles so las cotas iferiores de Z +? Resp. : a) Si; 0,,,, 4, 5. b) 0,-,-,-, 6.-) Dado el cojuto A= {-, -, 0,,, } C R 6..- cotas superiores de A Resp. :, 4, cotas iferiores de A Resp. : -, -, El supremo de A El ífimo de A 7.-) Represeta cada uo de los siguietes etoros 7..- < x < 4 Resp. : 5/ x- < Resp. : x-5 < Resp. : ) Escribe cada uo de los siguietes etoros E otació de desigualdad y de valor absoluto. 8..-Cetro y radio 0.5 Resp. :,5 < x <,5 ; x- < 0,5 8..-Cetro 5 y radio Resp. : < x < 8 ; x-5 < 8..-Cetro 0,8 y radio 0, Resp, : 0,6 < x < ; x-0,8 < 0, 8.4.-Cetro 4 y radio 0,6 Resp. :,4 < x < 4,6 ; x-4 < 0,6 9..-) Idica tres putos de acumulació para cada uo de los cojutos Siguietes: 9..-[-5, ] Resp. : 0, -,- 9..-], 7/] Resp. : 7/; /6; 5/ 9..-[-/4, /8] Resp. : -/4; -5/6; 5/

4 9.4.-]-4,[ Resp. : -4, 0, - 0.-) Escribe los primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral es: 0..- a = 4+ / Resp:{ 5,, 7/,, 9/5, 5/ } 0..- a = ( + /) Resp: {, 9/4, 64/7, 65/56, 7.776/.5 } 0..- a = (-) ( + ) Resp: {-, 5, -0, 7, -6, 7 } a = { /+ ; si es impar Resp: {/,, /5,, /7, } ; si es par.-) Hallar ua expresió o fórmula para el térmio eésimo de la sucesió:.. a = 4, 8,, 6 Resp: a = 4.. a =, 4, 7, 0 Resp: a = -..- a = /, -/, /4, -/5 Resp: a = (-) - /+.-) Sea las sucesioes: a = + y b = - Ecuetra las sucesioes: (a y b ) y calcula los 5 primeros térmios Respuesta: 5 +; {7,, 7,, 7 }.-) Sea sucesioes a = 4-5, b = (-) Ecuetra la sucesió (a- b ), y calcula los 6 primeros térmios. Respuesta: -; {-,,, 5, 7, 9 } 4.-) Sea S: a = +/ y b = -/+ Ecuetre: 4..- a Resp: {, 5/, 7/, 9/4, /5 } 4..- b Resp: { 0, /, ½, /5, / } 4..- a +b Reps: {, 7/6, 7/6, 57/0, 4/5} a b Reps: { 0, 5/6, 7/6, 7/0, /5 } 5.-) Dados a y b del ejercicio aterior. Halla el térmio geeral de 5..- a + b Resp: + + a / (+) 5..- a - b Resp: / (+) 6.-) Dados S: a = /, b = / + Ecuetre el térmio geeral de : 6..- a - b Resp: a /b Resp: (-) (+) / 7.-) Idique para cada uo de las siguietes sucesioes si es creciete o decreciete /+ Resp: creciete /+ Resp: creciete / Resp: creciete / - Resp: decreciete 8.-) Idique para cada ua de las sucesioes diferetes si es acotada o o es acotada: / + Resp: acotada 8..- / + Resp: acotada /+ Resp: acotad / / Resp: acotada 9.-) Idica para cada uo de las sucesioes si es covergete o divergete: 9..- / - Resp: covergete / Resp: covergete 9..- (-) + / Resp: oscilate covergete / + Resp: covergete

5 0.- sumatorias: Use formulas coocidas y ecuetre la correspodiete para cada proposició : (-) 0..- (+4) ( -) = = = (6 +4) =.- calcule usado formulas desarrolladas: ( )..- = = 80 =..- ( ).4.- ( + ).5.- (5 = 70 = 0.-Hallar los ites siguietes : 5 = ) = ( ) ( )!! + (/5, /7, 0, o existe, 0, 6, 0 ) Sumatorias Calcule los límites: x + x 6 x x.- x x.- x + x 0 x.- x x x x x 5.- x 5x x x 6.- x 4x 9x x 0 x x + x x + 0 x + x 5 x + 5x + 4 x x x 0 x x x x 9.- x x + 4 x + 5x x

6 4x x x + x h + xh + h.- x 0 xh + 5h.- x x 4x + x + x + x 6 6x 5x + x + 4x 7

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