una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:"

Transcripción

1 Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes de fucioes {{f }, {S } } se le llama serie fucioal de térmio geeral f y la deotaremos por f ó f (x) 81 Covergecia putual y absoluta Defiició 82 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Diremos que la serie fucioal f (x) es covergete e el puto a A cuado la sucesió de sumas parciales {S (a)} es covergete e dicho puto Es decir, si la serie umérica f (a) es covergete { } Al cojuto C = a A : f (a) coverge lo deomiaremos cojuto de covergecia de la serie La fució f: C IR, defiida por f(x) = lim S (x) = deomia fució suma de la serie de fucioes y diremos etoces que coverge putualmete hacia la fució f e C Escribiremos, para deotarlo, f = f e C ó Defiició 83 Diremos que la serie fucioal puto x 0 cuado la serie fucioal 82 Covergecia uiforme Defiició 84 Diremos que la serie fucioal k=1 f f e C f (x), se f coverge o f es absolutamete covergete e el f coverge e dicho puto f coverge uiformemete e el cojuto A si, y sólo si, la sucesió de sumas parciales {S } coverge uiformemete e dicho cojuto E ese caso, escribiremos cu f f e A o diremos que f = f uiformemete e A mediate la expresió f (x) cu = f(x) Sucesioes y Series de Fucioes 90

2 82 Covergecia uiforme Criterio M de Weierstrass (Codició suficiete) 85 Sea A y sea Etoces, si f ua serie de fucioes e M ua serie de úmeros reales tales que, para cada IN, se verifica que M coverge = 0 f (x) M, para todo x A f coverge uiformemete e A Si M coverge, etoces para cada ε > 0 existe 0 IN tal que q > p 0 se verifica q que M k < ε; y como, para cada IN, se verifica que 0 f (x) M e A, se tiee k=p+1 q q q f k (x) f k (x) M k < ε, para todo x A k=p+1 k=p+1 k=p+1 E cosecuecia, f coverge uiformemete e A Ejemplo 86 Estudiar la covergecia uiforme de las series de fucioes 1 a) 2 + x 2 sobre el cojuto IR b) 2 x x 2 sobre el cojuto [ r, r] co r < 1 Solució: a) Para todo x IR, se verifica que 2 + x 2 2, luego 1 2 +x = x 2 1, para todo 2 x IR, y como 1 coverge, la serie x 2 coverge uiformemete e IR b) Para todo x [ r, r], se verifica que 1 + x 2 1 y que x r, luego 2 x x 2 = 2 x x r x 2 Etoces, si Por el criterio del cociete, 2 r 2 1 coverge, la serie 2 x x 2 coverge uiformemete e [ r, r] a r lim = lim a 2 = lim 2r2+1 2 = lim r 2 1 2r2 = 0 pues r < 1, luego coverge Codició ecesaria 87 Si f coverge uiformemete e A, etoces f cu 0 e A f coverge uiformemete e A sí, y sólo si, para cada ε > 0, existe 0 IN tal que p > q 0, se verifica que f q+1 (x) + + f p (x) < ε, luego, e particular, p 0, se cu verifica que f p (x) < ε para todo x A, es decir, la sucesió f 0 e A Nota: El recíproco o es cierto Ver el ejercicio 86 propuesto Sucesioes y Series de Fucioes 91

3 82 Covergecia uiforme 821 Propiedades de la covergecia uiforme Covergecia uiforme y cotiuidad e series 88 Sea es cotiua e el puto x 0 A y x 0 f (x) = f(x) e A Si cada f f (x) cu = f(x) e A, etoces la fució f es cotiua e Como cada f es cotiua e x 0, las fucioes S = f i de la sucesió de sumas parciales so cotiuas e x 0 por ser suma fiita de fucioes cotiuas, y como la serie fucioal coverge cu uiformemete, S f e A, etoces, por el resultado aálogo a éste para sucesioes de fucioes, se tiee que f es cotiua e x 0 i=1 Covergecia uiforme e itegrabilidad e series 89 Sea cada f es itegrable e [a, b] y a) f es itegrable e [a, b] y f (x) cu = f(x) e [a, b], etoces f (x) = f(x) e [a, b] Si b) b a f(x)dx = b a f (x)dx S cu Cada S = f i i=1 es itegrable e [a, b], por ser suma fiita de fucioes itegrables, y f e [a, b], luego, por el resultado aálogo para sucesioes de fucioes, f es itegrable e [a, b] Además, b a b b f = lim S = lim a a b b f i = lim f i = f i i=1 i=1 a i=1 a Covergecia uiforme y derivació e series 810 Sea {f } ua sucesió de fucioes defiidas e (a, b) y derivables e (a, b) Si existe u puto x 0 (a, b) tal que f (x 0 ) coverge y ua fució g: (a, b) IR tal que g(x) = etoces: a) Existe ua fució f tal que f(x) = b) f es derivable e (a, b) y f (x) = g(x) = Sea S = k=1 f (x) uiformemete e (a, b) f (x) e (a, b) f (x) uiformemete e (a, b), f k Las fucioes S so derivables e (a, b) por ser suma fiita de fucioes derivables e (a, b) y S = f k, etoces, como f (x 0 ) coverge, la sucesió {S (x 0 )} coverge y, como g(x) = k=1 f (x) uiformemete e (a, b), tambié S por el resultado aálogo a éste para sucesioes de fucioes, cu g e (a, b) Luego Sucesioes y Series de Fucioes 92

4 83 Series de potecias a) Existe f tal que S cu f e (a, b), es decir f(x) = b) f es derivable e (a, b) y, para cada x (a, b), f (x) = g(x) = lim S (x) = lim f k(x) = f (x) k=1 f (x) uiformemete e (a, b) 83 Series de potecias Defiició 811 Llamaremos serie de potecias cetrada e x 0 IR a las series fucioales de la forma a (x x 0 ), dode a IR, Observació 812 Si e ua serie de potecias cambio x = y + x 0, resulta la serie de potecias coverge e u puto t si, y sólo si, estudiar las series de potecias cetradas e 0 Lema de Abel 813 Sea a) Si b) Si a x Se tiee: a (x x 0 ) cetrada e x 0, hacemos el a y cetrada e 0 y, por tato, a y a (x x 0 ) coverge e el puto t + x 0 Luego basta a x coverge para x = x 1 0, etoces la serie coverge absolutamete para todo x IR tal que x < x 1 a x diverge para x = x 2, etoces la serie o coverge (diverge e valor absoluto) para todo x IR tal que x > x 2 a) Si a x coverge para x = x 1, etoces lim a x 1 = 0 y, por la Proposició 521, la sucesió {a x 1 } está acotada Luego existe K > 0 tal que a x 1 < K para todo IN Sea x IR co x < x 1, etoces, para cada IN, se tiee luego la serie a x = a x x 1 = a x 1 x K x x 1, x 1 x 1 a x está mayorada por la serie serie geométrica de razó meor que uo E cosecuecia, la serie por tato, a x coverge absolutamete K x x 1 que coverge, ya que es ua a x coverge y, Sucesioes y Series de Fucioes 93

5 83 Series de potecias b) Por reducció al absurdo: supogamos que la serie tal que x 0 > x 2, etoces por el apartado aterior, la serie a x coverge para algú x 0 IR a x coverge para todo x IR co x < x 0 y por cosiguiete covergería para x = x 2, lo cual es absurdo Observació: Ua serie de potecias siempre coverge e x = Radio de covergecia de ua serie de potecias Proposició 814 Sea a x ua serie de potecias y S = {x IR : su cojuto de covergecia Etoces, puede darse los tres casos siguietes: a) La serie coverge úicamete e x = 0, es decir, S = {0} b) La serie coverge x IR, es decir, S = IR c) Existe ρ IR, co ρ > 0, tal que ( ρ, ρ) S [ ρ, ρ] a x coverge} Veamos que si o se verifica a) y b), se verifica c) E efecto, si o se verifica a) y b), etoces existe x 1 0 tal que la serie coverge para x = x 1 y existe x 2 0 tal que la serie o coverge para x = x 2 Por el Lema de Abel, ha de ser 0 < x 1 < x 2 y se verifica que ( x 1, x 1 ) S [ x 2, x 2 ], luego S está acotado superiormete Sea, etoces, ρ el extremo superior de S Es claro que 0 < x 1 ρ x 2 < + Si para algú x, co x < ρ, la serie a x o coverge, o coverge para todo x 0 co x < x 0 < ρ y, por tato, ρ o sería el extremo superior Luego, para los x co x < ρ, es decir, ( ρ, ρ) S Si para algú x, co x > ρ, la serie a x coverge a x coverge, coverge para todo x 0 co ρ < x 0 < x y, por tato, ρ o sería el extremo superior Luego, coverger para los x co x > ρ, es decir, S [ ρ, ρ] E cosecuecia, ( ρ, ρ) S [ ρ, ρ] Defiició 815 Al valor ρ = sup{x IR : a x o puede a x coverge} lo llamaremos radio de covergecia de la serie Si a x coverge úicamete e {0}, diremos que el radio de covergecia es cero, ρ = 0, y si a x coverge e todo IR, diremos que tiee radio de covergecia ifiito y escribiremos ρ = + Si ρ > 0, al itervalo ( ρ, ρ) lo llamaremos itervalo de covergecia de la serie Sucesioes y Series de Fucioes 94

6 83 Series de potecias Nota: El itervalo de covergecia o es, e geeral, el cojuto de covergecia, pues la serie puede ser tambié covergete e los extremos ρ y ρ Por ejemplo, para la serie x +1 se tiee ρ = 1 y ( 1, 1) es su itervalo de covergecia, mietras que su cojuto de covergecia es [ 1, 1): la serie ( 1) +1 coverge mietras que la serie 1 +1 o coverge A la vista de lo aterior y del Lema de Abel, es evidete el siguiete resultado: Proposició 816 Sea ρ > 0 el radio de covergecia de la serie a) La serie coverge absolutamete e ( ρ, ρ) a x Etoces: b) La serie diverge e valor absoluto (o coverge) e (, ρ) (ρ, ) Nota: E cosecuecia, para ecotar el radio de covergecia, basta estudiar la covergecia absoluta 8311 Cálculo del radio de covergecia Criterio del Cociete 817 Sea la serie a) Si L = 0, etoces ρ = + b) Si 0 < L <, etoces ρ = 1 L c) Si L =, etoces ρ = 0 a x a y L = lim +1 a, etoces: Basta estudiar la covergecia de la serie a x : a +1 x +1 a +1 x +1 a +1 lim a x = lim a x = x lim = a 0, si L = 0 y x IR x L, si 0 < L < y x IR +, si L = y x 0 0, si L = y x = 0 Luego a) Si L = 0, a x coverge para todo x IR, luego ρ = b) Si 0 < L <, coverge para todo x co x L < 1 y diverge para los x co x L > 1, luego coverge para los x co x < 1 L y diverge e valor absoluto para los x co x > 1 L Luego ρ = 1 L c) Si L =, diverge e valor absoluto para todo x 0, luego ρ = 0 Criterio de la Raiz 818 Sea la serie a) Si L = 0, etoces ρ = + a x y L = lim a, etoces: b) Si 0 < L <, etoces ρ = 1 L Sucesioes y Series de Fucioes 95

7 83 Series de potecias c) Si L =, etoces ρ = 0 Como ates, se obtiee que lim a x = lim a x = x lim a = 0, si L = 0 y x IR x L, si 0 < L < y x IR +, si L = y x 0 0, si L = y x = 0 y, e cosecuecia, el resultado buscado Nota: Para las series de la forma serie a (x x 0 ), si ρ > 0 es el radio de covergecia de la a y, co y = x x 0, etoces, y ( ρ, ρ) x (x 0 ρ, x 0 + ρ) Luego a (x x 0 ) coverge para los x (x 0 ρ, x 0 + ρ) y o coverge y diverge e valor absoluto para los x / [x 0 ρ, x 0 + ρ] 832 Series de potecias y covergecia uiforme Teorema 819 Sea ρ > 0 el radio de covergecia de la serie coverge uiformemete e [ x 0, x 0 ], para todo x 0 ( ρ, ρ) a x Etoces la serie Como x 0 ( ρ, ρ) la serie a x 0 coverge y, para todo x [ x 0, x 0 ], se cumple que a x = a x a x 0 = a x 0 Luego, por el criterio M de Weierstras, la serie coverge uiformemete e [ x 0, x 0 ] a x Corolario 820 Sea a x y ρ > 0 su radio de covergecia Etoces la serie coverge uiformemete e todo itervalo cerrado coteido e ( ρ, ρ) a x Corolario 821 Si a x tiee de radio de covergecia ρ y coverge absolutamete e ρ ó e ρ, etoces coverge uiformemete e [ ρ, ρ] 833 Propiedades co covergecia uiforme Series de potecias y cotiuidad 822 Sea f(x) = a x a x e ( ρ, ρ), etoces f es cotiua e ( ρ, ρ) de radio de covergecia ρ > 0, y Sea x 0 ( ρ, ρ), como x 0 < ρ, existe λ IR tal que x 0 < λ < ρ, luego x 0 [ λ, λ] ( ρ, ρ) Como a x coverge uiformemete hacia f e [ λ, λ] y cada fució a x es cotiua e x 0 [ λ, λ], etoces f es cotiua e x 0 E cosecuecia, f es cotiua e cada x ( ρ, ρ) Sucesioes y Series de Fucioes 96

8 83 Series de potecias Teorema del ĺımite de Abel 823 Sea Si a ρ coverge, etoces Aálogamete, si lim f(x) = a ρ x ρ a ( ρ) coverge, etoces a x, co ρ > 0, y f(x) = lim f(x) = a ( ρ) x ρ + a x e ( ρ, ρ) #Demostració# Hagámoslo primero para ρ = 1 y escribamos f(1) = a = lim a k = lim s Para k=0 1 los x ( 1, 1), podemos escribir 1 x = x, de dode f(x) ( 1 x = f(x) ) ( x ) ( = a x ) x = a k x = s x k=0 y, etoces, f(x) f(1) = 1 x f(x) f(1) 1 x = 1 x s x f(1) x = 1 x (s f(1)) x 1 x s f(1) x Ahora, para ε > 0, como s f(1) existe 0 tal que si 0 se tiee s f(1) < { } ε 2 y tomado M = max s f(1), obteemos 0 < 0 ( 0 ) 1 = 1 x s f(1) x + s f(1) x = 0 ( 0 ) 1 ( < 1 x M x ε + = 0 2 x < 1 x 0 M + ε x ) x como x 1 se verifica que 1 x = 1 x = 1 x, y tomado δ = tales que 0 < 1 x < δ, que = 1 x 0 M + ε 2 x 0 < ε 2 0 M 0M + ε 2 = ε E cosecuecia, lim f(x) = f(1) x 1 Si ρ 1, tomado f(x) = a x = reduce al caso aterior ε 2 0 M se tiee, para los x a ρ ( ) x ρ = a ρ y = b y = g(y), se Observació 824 Este teorema os idica que si la serie coverge (auque o lo haga absolutamete) e u extremo del campo de covergecia la cotiuidad de la fució suma puede extederse hasta ese puto, como e el ejemplo siguiete: Ejemplo- Como veremos después, l(1 + x) = ( 1) +1 x e ( 1, 1) E este caso, se da que e x = 1, la serie por lo aterior, ( 1) +1 ( 1) +1 1 = ( 1) +1 = lim l(1 + x) = l 2 x 1 Series de potecias e itegrabilidad 825 Sea f(x) = a x e ( ρ, ρ), etoces: es la armóica alterada que coverge Luego a x de radio de covergecia ρ > 0, y Sucesioes y Series de Fucioes 97

9 83 Series de potecias a) f es itegrable e cualquier cerrado [a, b] ( ρ, ρ) b) b a f(x)dx = b a a x dx Es claro, pues las fucioes f (x) = a x so itegrables e cualquier [a, b] y f(x) = a x uiformemete e cualquier itervalo cerrado coteido e ( ρ, ρ) Corolario 826 Sea etoces F (x) = a x de radio de covergecia ρ > 0, y f(x) = a +1 x+1 es ua primitiva de f e ( ρ, ρ) a x e ( ρ, ρ), Por el resultado 822 sobre cotiuidad, la fució f es cotiua e ( ρ, ρ), luego la fució F (x) = x 0 f(t) dt es ua primitiva de f e ( ρ, ρ) y, por el resultado 825 aterior, para cada x ( ρ, ρ), se tiee que F (x) = x 0 f(t) dt = Ejemplo 827 Sea f(x) = l(1 + x) Hallar Solució: Como f (x) = 1 1+x = 1 1 ( x) = f(x) = x 0 f (t) dt = x 0 a t dt = a +1 x+1 a x tal que f(x) = ( x) = ( 1) x e ( 1, 1), se tiee que ( 1) + 1 x+1 = Series de potecias y derivabilidad 828 Sea f(x) = derivable e ( ρ, ρ) y f (x) = Como la serie a x 1 ( 1) 1 x = a x ( 1) +1 x a x e ( 1, 1) e ( ρ, ρ) Etoces, f es a x 1 es ua serie de potecias basta probar que su radio de covergecia ρ coicide co ρ, pues etoces la fució f(x) = g(x) = a x 1 e ( ρ, ρ) a x es ua primitiva de la fució ρ ρ Sea x ( ρ, ρ), co 0 < x < ρ (e 0 cualquier serie de potecias coverge), etoces existe x 0 ( ρ, ρ) tal que x < x 0 < ρ, luego la serie a x 0 coverge y la sucesió {a x 0 } está acotada, es decir, existe K > 0 tal que a x 0 < K, para todo IN Por tato, a x 1 = a x x 0 x x = 0 x a x 0 x x 0 x K x x 0 y si la serie K x x x 0 coverge, la serie a x 1 coverge Llamado M = x x 0 < 1, se tiee que lim M = M < 1 y por el criterio de la Raiz la serie coverge Luego a x 1 coverge e ( ρ, ρ) y, e cosecuecia, ρ ρ Sucesioes y Series de Fucioes 98

10 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias ρ ρ Si supoemos ρ < ρ, existe x IR co ρ < x < ρ, e el cual absolutamete Etoces, para todo x, se verifica que a x 1 coverge a x = x a x 1 a x 1 de dode a x coverge e x co ρ < x, lo que es absurdo Luego ρ ρ Corolario 829 Si f(x) = Puesto que f es derivable e ( ρ, ρ) y f (x) = a x e ( ρ, ρ), etoces f es de clase e ( ρ, ρ) a x 1 es ua serie de potecias e ( ρ, ρ), es tambié derivable e ( ρ, ρ) y su derivada es ua serie de potecias que vuelve a ser derivable, etc Ejemplo 830 Hallar la expresió de f(x) tal que f(x) = x, e ( 1, 1) Solució: Por la proposició aterior, f (x) = x 1 = x 1 = x = 1 1 x e ( 1, 1), luego 1 f(x) es ua primitiva de 1 x, es decir, f(x) = l(1 x) + C ; y como f(0) = 0 se tiee que C = 0 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Si e la secció aterior os plateabamos el problema de ecotrar o, al meos, asegurar la existecia de ua fució que coicida co ua serie de potecias dada e su itevalo de covergecia, e éste os plateamos el problema cotrario: cuádo, para ua fució dada, existe ua serie de potecias que coicide co dicha fució e todo u etoro? Defiició 831 Sea ρ > 0, el radio de covergecia de la serie Se dice que a (x x 0 ) (x 0 r, x 0 + r) cuado f(x) = a (x x 0 ) y 0 < r ρ es u desarrollo e serie de potecias de la fució f e Proposició 832 Si f(x) = a (x x 0 ) e (x 0 r, x 0 + r) a) f es ifiitamete derivable e (x 0 r, x 0 + r) b) a = f () (x 0 ) (x x 0 ), para todo IN a (x x 0 ) e (x 0 r, x 0 + r) (x 0 ρ, x 0 + ρ), etoces a) Es claro, pues ua serie de potecias es ifiitamete derivable e cualquier subcojuto de su itervalo de covergecia Sucesioes y Series de Fucioes 99

11 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias b) Derivado sucesivamete e la expresió de f, f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) a (x x 0 ) + f (x) = 1a 1 + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) a (x x 0 ) 1 + f (x) = [2 1]a 2 + [3 2]a 3 (x x 0 ) + + [( 1)]a (x x 0 ) 2 + f (x) = [3 2 1]a [( 1)( 2)]a (x x 0 ) 3 + f ( 1) (x) = [( 1)!]a 1 + [ 2]a (x x 0 ) + f () (x) = []a + [( + 1) 2]a +1 (x x 0 ) + luego, para cada se tiee que f () (x 0 ) = a, de dode a = f () (x 0 ) Defiició 833 Sea f ifiitamete derivable e el puto x 0 Llamaremos serie de Taylor de f e x 0, a la serie de potecias f () (x 0 ) (x x 0 ) Observació 834 La proposició aterior os da ua codició ecesaria para que ua fució f sea desarrollable e serie de potecias y os idica, además, como es dicha serie Es decir, que si f es desarrollable e serie de potecias e u etoro de x 0, etoces f es ifiitamete derivable e ese etoro y la serie de potecias correspodiete es la serie de Taylor de f e el puto cetro del etoro Por otro lado, basta co que ua fució sea ifiitamete derivable e u etoro de u puto x 0 para poder obteer la serie de Taylor de la fució e ese puto, es suficiete, etoces, co que ua fució sea ifiitamete derivable e u etoro de u puto para que sea desarrollable e serie de potecias e ese etoro? Desgraciadamete, { o Cotraejemplo- La fució f: IR IR dada por f(x) = e 1 x 2, si x 0, es ifiita- 0, si x = 0 mete derivable e IR y f () (0) = 0, para todo Luego si f fuera ifiitamete derivable e algú etoro de 0, se debe de cumplir que f(x) = f () (0) x = 0 = 0 e dicho etoro; lo que es absurdo pues, para la fució, f(x) 0 si x 0 E cosecuecia, esa fució o es desarrollable e serie de potecias e igú etoro de 0 A la vista del cotraejemplo observamos que, para ua fució f, sólo por ser de clase e u etoro de x 0 o se garatiza que la fució y la serie de Taylor e el puto coicida e el etoro Es decir, o garatiza que f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) e ese etoro (que es la codició para ser desarrollable e serie de potecias) La codició suficiete, queda establecida e el siguiete teorema: Proposició 835 Sea f de clase e (x 0 ρ, x 0 +ρ) Etoces, f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) e (x 0 ρ, x 0 + ρ) si, y sólo si, cuado, el resto de la fórmula de Taylor tiede hacia 0, para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ) Sucesioes y Series de Fucioes 100

12 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ), la fórmula de Taylor establece que f(x) = k=0 k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + f (+1) (ξ ) (x x 0 ) +1, ( + 1)! usado el resto de Lagrage ó, usado el resto de Cauchy, que f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + f (+1) (ξ ) (x ξ ) (x x 0 ), k! dode ξ = x 0 + θ (x x 0 ) para algú θ (0, 1) Etoces, es claro que f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) si, y sólo si, lim (f(x) f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k) = 0 Corolario 836 E las codicioes de la proposició aterior, si, para todo, f () (x) < M e el etoro, etoces f es desarrollable e serie de potecias e el etoro lim f (+1) (ξ) ( + 1)! (x x 0) +1 = lim f (+1) (ξ) x pues, para todo x IR, el lim = 0 (x x 0 ) +1 ( + 1)! k=0 M lim (x x 0 ) +1 ( + 1)! = 0, Ejemplo 837 Estudiar si f(x) = se x es desarrollable e serie de potecias e el 0 Solució: La fució es de clase e IR Se tiee que f(x) = se x, f (x) = cos x f (x) = se x, f (x) = cos x y f (x) = se x, luego se repite el proceso cada 4 derivadas Etoces, f (4) (0) = f(0) = 0, f (4+1) (0) = f (0) = 1, f (4+2) (0) = f (0) = 0 y f (4+3) (0) = f (0) = 1; luego f () (0) x = ! x ! x ! x ! x7 + = ( 1) x 2+1 (2 + 1)! que coverge e todo IR Para cada x IR, el resto de Lagrage queda f (+1) (ξ ) x+1 (+1)! y, como para todo, f () (x) = se x ó f () (x) = cos x y está acotada e IR, por la codició suficiete es desarrollable e todo IR E cosecuecia, se x = ( 1) x 2+1 (2+1)! e IR Ejercicio 838 e x = x e IR Solució: f(x) = e x y f(0) = 1 f (x) = e x, luego f () (x) = e x y f () (0) = 1, para todo Etoces, la serie de Taylor de e x e 0 es que e x = x para todo x (, ) El resto de Lagrage es x, que tiee radio de covergecia Veamos f (+1) (ξ ) (x 0) +1 = eξ ( + 1)! ( + 1)! x+1 = e ξ x +1 ( + 1)!, para algú ξ etre 0 y x Sucesioes y Series de Fucioes 101

13 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Como x puede ser egativo, x < ξ < x y, por tato, e x < e ξ < e x Luego, para cada x IR, x +1 lim eξ ( + 1)! = lim x +1 e ξ ( + 1)! = lim x +1 eξ ( + 1)! lim e x x +1 ( + 1)! = e x x +1 lim ( + 1)! = 0 y, e cosecuecia, e x es desarrollable e serie de potecias e todo IR Ejercicio 839 Desarrollar e serie de potecias e 0 la fució f(x) = (1 + x) α, co α IR Solució: La fució f(x) es de clase e 0, para todo α IR y la serie de Taylor e 0 se obtiee de: f(x) = (1 + x) α, f(0) = 1 f (x) = α(1 + x) α 1, f (0) = α f (x) = α(α 1)(1 + x) α 2, f (0) = α(α 1) f (x) = α(α 1)(α 2)(1 + x) α 3, f (0) = α(α 1)(α 2) Etoces, f () (x) = α(α 1) (α [ 1])(1 + x) α, f () (0) = α (α [ 1]) si α = m IN, f () (x) = 0 para todo > m, luego f () (0) x = m m(m 1) (m [ 1]) que coicide co f(x) para todo x IR Si α / IN, para todo, se tiee que f () (0) x = x + =m+1 α(α 1) (α [ 1]) x = 0 x = m ( ) α x ( ) m x, dode se usa la otació ( α) = α(α 1) (α [ 1]) por similitud co el caso α = m IN Como ( α ) +1 lim ( α ) = lim = lim α(α 1) (α [ 1])(α ) (+1)! α(α 1) (α [ 1]) α + 1 = 1, = lim la serie coverge e ( 1, 1) y o coverge si x > 1 α(α 1) (α [ 1])(α ) α(α 1) (α [ 1])( + 1)! El resto de Lagrage es f (+1) ( ) ( ) (ξ ) α α (1 + x +1 = (1 + ξ ) α [+1] x +1 ξ ) α = x+1 ( + 1)! (1 + ξ ) +1 Sucesioes y Series de Fucioes 102

14 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias cuya derivada ( + 1)-ésima o está acotada, pues α(α 1) (α ) y, además, 1 si x < 0 etoces (1+ξ 0) Luego o podemos aplicar la codició suficiete ) +1 Usado el resto de Cauchy, co ξ = θ x para algú θ (0, 1), f (+1) (ξ ) (x ξ ) x = α(α 1) (α [ 1])(α )(1 + θ x) α [+1] (x θ x) x ( + 1)α(α 1) (α [ 1])(α ) = (1 + θx ) α [+1] (x θ x) x ( + 1)! ( ) α = ( + 1) (1 + θ x) α [+1] (1 θ ) x x + 1 ( ) α = ( + 1) x +1 (1 + θ x) α 1 (1 + θ x) (1 θ ) + 1 ( ) ( ) α 1 = ( + 1) x +1 (1 + θ x) α 1 θ θ x Teemos que: lim ( + 1)( α +1) x +1 = 0, para todo x ( 1, 1), pues es el térmio geeral de la serie ( α ) x que, como lim (+1)( +1) α ( α ) = lim +1 ( +1) α ( α = 1, coverge e ) ( 1, 1) Para cada x ( 1, 1), el valor s = (1 + θ x) α 1 está acotado, pues x < θ x < x = 1 x < 1 + θ x < 1 + x y 0 < 1 x < 1 + θ x < 1 + x, luego si α 1 > 0, s < (1 + x ) α 1 y si α 1 < 0, s < (1 x ) 1 α que so valores costates para cada x ( 1 θ 1+θ x ) 1, pues 1 θ 1+θ x < 1 ya que por ser 1 < x < 1 = θ < θ x < θ = 1 θ < 1 + θ x < 1 + θ y como 0 < 1 θ < 1 + θ x se tiee que 0 < 1 θ 1+θ x < 1 f E cosecuecia, lim (+1) (ξ ) (x ξ ) x = 0 y (1 + x) α = ( α ) x e ( 1, 1) Proposició 840 Sea los desarrollos f(x) = g(x) = a (x x 0 ) co radio de covergecia ρ 1 y b (x x 0 ) co radio de covergecia ρ 2 y sea ρ = mi{ρ 1, ρ 2 } Etoces, a) La suma f + g es desarrollable e serie de potecias e (x 0 ρ, x 0 + ρ), y (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (a + b )(x x 0 ) b) El producto fg tambié es desarrollable e serie de potecias e (x 0 ρ, x 0 + ρ) y (fg)(x) = f(x)g(x) = c (x x 0 ), dode c = a k b k (producto de series de Cauchy) k=0 Sucesioes y Series de Fucioes 103

15 85 Ejercicios Proposició 841 Sea f(x)= a (x x 0 ) y g(y)= m=0 b m (y y 0 ) m co radio de covergecia respectivos ρ > 0 y ρ > 0, tales que f(x 0 ) = y 0 y, para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ), se verifica que f(x) (y 0 ρ, y 0 + ρ ) Etoces g f es desarrollable e serie de potecias de x x 0 e el etoro (x 0 ρ, x 0 + ρ) y se tiee que 85 Ejercicios ( ) g(f(x)) = b m (f(x) f(x 0 )) m m = b m a (x x 0 ) m=0 m=0 81 Hallar los cojutos de covergecia de las series a) e x 2 +1 b) se x 2 Coverge uiformemete e sus cojutos de covergecia? 82 Estudiar la covergecia uiforme de las series a) ( 1) e [0, ) b) 3 +x cos x e x e [1, ) c) x 2 e [ 1, 1] 83 Estudiar la covergecia uiforme de la serie uiformemete e [0, 1]? 84 Probar que la serie (0, ) 85 Probar que la serie 86 Probar que 1 2 x 2 x e [0, x 2 2 ] y e [ 1 2, 1] Coverge coverge uiformemete e [a, ), co a > 0, pero o e ( 1) +1 +x coverge uiformemete pero o absolutamete e [0, 1] x (1 x) coverge putualmete pero o uiformemete e [0, 1] 87 Hallar el cojuto de covergecia de la serie x (1+x 2 ) Probar que o coverge uiformemete e [0, 1] 88 Determiar el itervalo y el cojuto de covergecia de cada ua de las series de potecias siguietes: a) e) ( 1) 1 x b) x 2 2 f) x 2 c) (x 1) 2 9 g) =2 x d) [ ( 1) (2 3)] 2 x ( x ) Calcular la suma de de las series a) ( 1) 1 x b) x 2 c) x 2 2 d) x +1 Sucesioes y Series de Fucioes 104

16 85 Ejercicios 810 Hallar el radio de covergecia y la suma de las series a) d) ( + 1)x b) 2 x e) ( + 1)( + 2)x c) 1 x 2 + x2 3 x3 4 + x4 5 + x 1 +1 f) x 3 + x2 4 + x3 5 + x Desarrollar la fució f(x) = e x como serie de potecias e u etoro de 1 y e u etoro de Usar el desarrollo de e x para ecotrar el desarrollo e serie de potecias de x de las fucioes que se da a cotiuació, idicado los itervalos e que tiee validez a) f(x) = (1 + e x ) 3 b) f(x) = sh(x) c) f(x) = ch(x) d) f(x) = ch 2 (x) 813 Desarrollar e serie de potecias de x 1 la fució f(x) = 1 x 814 Desarrollar e serie de potecias de x las fucióes siguietes, idicado su campo de validez a) f(x) = 1 + x b) f(x) = (2 + x) 1 c) f(x) = 1 1 x 2 d) f(x) = 1 2+x Desarrollar f(x) = 1 x 2 +3x+2 e serie de potecias de x Hallar el cojuto de covergecia y la suma de la serie 817 Estudiar la covergecia uiforme de 818 Estudiar la covergecia uiforme de 819 Estudiar la covergecia uiforme de ( 1 x+2 1 x) e (, 1] (x 2 1) 2 +1 e [ 1, 1] ( 1) +1 x2+1 ( 1) 2 ( 2x 2 2+3x) +1 e [1, 3] 820 Estudiar la covergecia putual y uiforme de ( 1) e se x Sucesioes y Series de Fucioes 105

1. Serie de Potencias

1. Serie de Potencias . Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada

Más detalles

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n

Definición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES

RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER

Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales

Más detalles

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent

4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent 4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

Criterios de Convergencia

Criterios de Convergencia Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar

Más detalles

Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia

Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia Objetivos Apreder a aalizar varios tipos de covergecia Requisitos Varios tipos de la covergecia, descripció e térmios de los cojutos auxiliares Se propoe

Más detalles

α β la cual puede presentar

α β la cual puede presentar 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

Tema 1.4: Series de potencias. Concepto de función analítica

Tema 1.4: Series de potencias. Concepto de función analítica Tema 1.4: Series de potecias. Cocepto de fució aalítica Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Este tema está dedicado a la itroducció de u método expeditivo de creació de fucioes holomorfas

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los

Más detalles

Funciones Exponencial y Logaritmo

Funciones Exponencial y Logaritmo . 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

1. Sucesiones y series numéricas

1. Sucesiones y series numéricas ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,

Más detalles

1. Propiedades de los estimadores

1. Propiedades de los estimadores . Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie

Más detalles

( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1

( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1 .8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

6. Integrales dobles impropias.

6. Integrales dobles impropias. 82 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 6. Itegrales dobles impropias. 6.. Itegrales impropias covergetes y o covergetes. La teoría de itegrales dobles,

Más detalles

Tema 5 Series numéricas

Tema 5 Series numéricas Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular

Más detalles

si G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.

si G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E. LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada

Más detalles

1) Considera el sistema de ecuaciones:

1) Considera el sistema de ecuaciones: SESIÓN 4: Álgebra lieal umérica ) Cosidera el sistema de ecuacioes: x + aa aa y a) Calcula las matrices iterativas de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. b) Para qué valores de a coverge el método de

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

El interés fundamental que se persigue en este capítulo es la. representación de las funciones complejas por medio de series de potencias, lo

El interés fundamental que se persigue en este capítulo es la. representación de las funciones complejas por medio de series de potencias, lo Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Series complejas El iterés fudametal que se persigue e este capítulo es la represetació de las fucioes complejas

Más detalles

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 2

EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 2 EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigatura VCAF) HOJA Ejercicio : Idicar u ejemplo de la sucesió x () (x (),x (),...) que perteezca a cada uo del par cosiderado de los espacios y que: a) Coverja e l,peroocoverjael.

Más detalles

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci

Más detalles

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)

TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas) TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.

Más detalles

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE

TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE Derivada de ua ució e u puto Sea : D y u puto iterior de Se dice que es derivable e eiste lim Dicho límite recibe el ombre de derivada de e Notas ) Notaremos

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

Convergencia absoluta y series alternadas

Convergencia absoluta y series alternadas Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales

Más detalles

Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.

Capítulo 2 Convergencia de sucesiones y series. This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:

Más detalles

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción

Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8

Más detalles

Funciones Medibles e Integración

Funciones Medibles e Integración Capítulo 3 Fucioes Medibles e Itegració 3.1. Itroducció Sea X : Ω Ω dode Ω es el recorrido de X, es decir, para todo ω Ω existe ω Ω co X(ω) = ω. X determia la fució X 1 : P(Ω ) P(Ω) defiida por para A

Más detalles

Práctica 3 Sucesiones y series

Práctica 3 Sucesiones y series Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales - Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales

Más detalles

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...

EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:... EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas

Más detalles

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010

Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010 Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:

Más detalles

Tema 2. Sucesiones de números reales

Tema 2. Sucesiones de números reales Tema 2. Sucesioes de úmeros reales 2.1.- Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. 2.2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. 2.3.- Cálculo

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

Tema 1: Números Complejos

Tema 1: Números Complejos Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto

Más detalles

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito. MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre

Más detalles

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones y series de funciones

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones y series de funciones Ejercicios de Aálisis Matemático Sucesioes y series de fucioes. Estudia la covergecia uiforme e itervalos de la forma Œ; a y Œa; CŒ dode a >, de la sucesió de fucioes ff g defiidas para todo > por: f./

Más detalles

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

Probabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos

Probabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos Probabilidad y Estadística 3 Itervalos de Cofiaza y Test de Hipótesis paramétricos Itervalos de Cofiaza Defiició Dada ua muestra aleatoria simple es decir, u vector de variables aleatorias X co compoetes

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Itroducció Las sucesioes aparece de maera atural e muchos cálculos que respode a u esquema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 etre 3 obteemos 2 3 = 6 10 + 2 1, igualdad que

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

Más detalles

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas

Más detalles

Tema 4.4: Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad

Tema 4.4: Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad Tema 4.4: Teorema de Riema de sigularidades evitables. Ceros de ua fució holomorfa. Pricipio de idetidad Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Comeamos e este tema extrayedo las primeras

Más detalles

SERIES DE FOURIER Y PROBELMA DE LA CUERDA VIBRANTE. Complementos de análisis. I.P.A. Trabajo final Profesor: Federico de Olivera

SERIES DE FOURIER Y PROBELMA DE LA CUERDA VIBRANTE. Complementos de análisis. I.P.A. Trabajo final Profesor: Federico de Olivera SERIES DE FOURIER Y PROBEMA DE A CUERDA VIBRANTE Complemetos de aálisis. I.P.A. Trabajo fial Profesor: Federico de Olivera César Roqueta Febrero de 9 Ídice. Defiició de serie de Fourier de ua fució Defiició

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

Elementos de Análisis Matemático

Elementos de Análisis Matemático Elemetos de Aálisis Matemático Curso 005-006, grupo A, Pedro López Rodríguez Pla de la asigatura TEMARIO Tema. El úmero real. Los úmeros aturales, eteros, racioales y reales. Pricipio de iducció. Itroducció

Más detalles

Potencias y Logaritmos

Potencias y Logaritmos Tema 9 Potecias y Logaritmos Usado los pricipales resultados del cálculo diferecial e itegral, podemos estudiar co gra comodidad varias fucioes reales de variable real que o ha aparecido hasta ahora y

Más detalles

La integral doble sobre rectángulos

La integral doble sobre rectángulos La itegral doble sobre rectágulos ISABEL MARRERO Departameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua imarrero@ull.es Ídice 1. Itroducció 1 2. La itegral de fucioes escaloadas 1 3. La itegral de fucioes

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

Coeficientes binomiales

Coeficientes binomiales Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6 . SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral,

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

CÁLCULO DIFERENCIAL. 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ejerciciosyeamees.com CÁLCULO DIFERENCIAL.- Estudia la cotiuidad de las guietes fucioes: - + f() = ; g()= ; h()= + - ( - )(+) + - - - - - < < 0 i()= e j()= - k()= - > cos 0 = 0 + se l()= m()= = 0 = 0 Sol:

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:...... 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros

Más detalles

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA

Más detalles

Práctica 1.- Sucesiones y series

Práctica 1.- Sucesiones y series Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría

Más detalles

Cálculo de límites. 3.1. Sumas, productos y cocientes. Tema 3

Cálculo de límites. 3.1. Sumas, productos y cocientes. Tema 3 Tema 3 Cálculo de ites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues su pricipal fialidad es aportar los ejemplos que se echaba de meos e el tema aterior. Empezaremos estableciedo las reglas

Más detalles

Competencia Matemática E. Paenza. Sexta Realización 1991

Competencia Matemática E. Paenza. Sexta Realización 1991 Competecia Matemática E. Paeza Seta Realizació 99 Resolució de los problemas Participate N : Problema. Sea C u cuadrilátero coveo. Si el área del cada uo de los cuatro triágulos determiados por las dos

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació

Más detalles

Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones Capítulo Sucesioes y series de fucioes.. Itroducció La represetació de fucioes complicadas por medio de fucioes secillas es ua de las ideas cetrales del Aálisis Matemático. E este capítulo vamos a precisar

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que. con como lo hicimos con. es diferente de los conjuntos

No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que. con como lo hicimos con. es diferente de los conjuntos Departameto de Matemáticas Guía Iducció Matemática Objetivos: Eteder el pricipio del bue orde Realizar demostracioes matemáticas por medio del pricipio de iducció matemática El pricipio del bue orde: iducció

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles