una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

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1 Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes de fucioes {{f }, {S } } se le llama serie fucioal de térmio geeral f y la deotaremos por f ó f (x) 81 Covergecia putual y absoluta Defiició 82 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Diremos que la serie fucioal f (x) es covergete e el puto a A cuado la sucesió de sumas parciales {S (a)} es covergete e dicho puto Es decir, si la serie umérica f (a) es covergete { } Al cojuto C = a A : f (a) coverge lo deomiaremos cojuto de covergecia de la serie La fució f: C IR, defiida por f(x) = lim S (x) = deomia fució suma de la serie de fucioes y diremos etoces que coverge putualmete hacia la fució f e C Escribiremos, para deotarlo, f = f e C ó Defiició 83 Diremos que la serie fucioal puto x 0 cuado la serie fucioal 82 Covergecia uiforme Defiició 84 Diremos que la serie fucioal k=1 f f e C f (x), se f coverge o f es absolutamete covergete e el f coverge e dicho puto f coverge uiformemete e el cojuto A si, y sólo si, la sucesió de sumas parciales {S } coverge uiformemete e dicho cojuto E ese caso, escribiremos cu f f e A o diremos que f = f uiformemete e A mediate la expresió f (x) cu = f(x) Sucesioes y Series de Fucioes 90

2 82 Covergecia uiforme Criterio M de Weierstrass (Codició suficiete) 85 Sea A y sea Etoces, si f ua serie de fucioes e M ua serie de úmeros reales tales que, para cada IN, se verifica que M coverge = 0 f (x) M, para todo x A f coverge uiformemete e A Si M coverge, etoces para cada ε > 0 existe 0 IN tal que q > p 0 se verifica q que M k < ε; y como, para cada IN, se verifica que 0 f (x) M e A, se tiee k=p+1 q q q f k (x) f k (x) M k < ε, para todo x A k=p+1 k=p+1 k=p+1 E cosecuecia, f coverge uiformemete e A Ejemplo 86 Estudiar la covergecia uiforme de las series de fucioes 1 a) 2 + x 2 sobre el cojuto IR b) 2 x x 2 sobre el cojuto [ r, r] co r < 1 Solució: a) Para todo x IR, se verifica que 2 + x 2 2, luego 1 2 +x = x 2 1, para todo 2 x IR, y como 1 coverge, la serie x 2 coverge uiformemete e IR b) Para todo x [ r, r], se verifica que 1 + x 2 1 y que x r, luego 2 x x 2 = 2 x x r x 2 Etoces, si Por el criterio del cociete, 2 r 2 1 coverge, la serie 2 x x 2 coverge uiformemete e [ r, r] a r lim = lim a 2 = lim 2r2+1 2 = lim r 2 1 2r2 = 0 pues r < 1, luego coverge Codició ecesaria 87 Si f coverge uiformemete e A, etoces f cu 0 e A f coverge uiformemete e A sí, y sólo si, para cada ε > 0, existe 0 IN tal que p > q 0, se verifica que f q+1 (x) + + f p (x) < ε, luego, e particular, p 0, se cu verifica que f p (x) < ε para todo x A, es decir, la sucesió f 0 e A Nota: El recíproco o es cierto Ver el ejercicio 86 propuesto Sucesioes y Series de Fucioes 91

3 82 Covergecia uiforme 821 Propiedades de la covergecia uiforme Covergecia uiforme y cotiuidad e series 88 Sea es cotiua e el puto x 0 A y x 0 f (x) = f(x) e A Si cada f f (x) cu = f(x) e A, etoces la fució f es cotiua e Como cada f es cotiua e x 0, las fucioes S = f i de la sucesió de sumas parciales so cotiuas e x 0 por ser suma fiita de fucioes cotiuas, y como la serie fucioal coverge cu uiformemete, S f e A, etoces, por el resultado aálogo a éste para sucesioes de fucioes, se tiee que f es cotiua e x 0 i=1 Covergecia uiforme e itegrabilidad e series 89 Sea cada f es itegrable e [a, b] y a) f es itegrable e [a, b] y f (x) cu = f(x) e [a, b], etoces f (x) = f(x) e [a, b] Si b) b a f(x)dx = b a f (x)dx S cu Cada S = f i i=1 es itegrable e [a, b], por ser suma fiita de fucioes itegrables, y f e [a, b], luego, por el resultado aálogo para sucesioes de fucioes, f es itegrable e [a, b] Además, b a b b f = lim S = lim a a b b f i = lim f i = f i i=1 i=1 a i=1 a Covergecia uiforme y derivació e series 810 Sea {f } ua sucesió de fucioes defiidas e (a, b) y derivables e (a, b) Si existe u puto x 0 (a, b) tal que f (x 0 ) coverge y ua fució g: (a, b) IR tal que g(x) = etoces: a) Existe ua fució f tal que f(x) = b) f es derivable e (a, b) y f (x) = g(x) = Sea S = k=1 f (x) uiformemete e (a, b) f (x) e (a, b) f (x) uiformemete e (a, b), f k Las fucioes S so derivables e (a, b) por ser suma fiita de fucioes derivables e (a, b) y S = f k, etoces, como f (x 0 ) coverge, la sucesió {S (x 0 )} coverge y, como g(x) = k=1 f (x) uiformemete e (a, b), tambié S por el resultado aálogo a éste para sucesioes de fucioes, cu g e (a, b) Luego Sucesioes y Series de Fucioes 92

4 83 Series de potecias a) Existe f tal que S cu f e (a, b), es decir f(x) = b) f es derivable e (a, b) y, para cada x (a, b), f (x) = g(x) = lim S (x) = lim f k(x) = f (x) k=1 f (x) uiformemete e (a, b) 83 Series de potecias Defiició 811 Llamaremos serie de potecias cetrada e x 0 IR a las series fucioales de la forma a (x x 0 ), dode a IR, Observació 812 Si e ua serie de potecias cambio x = y + x 0, resulta la serie de potecias coverge e u puto t si, y sólo si, estudiar las series de potecias cetradas e 0 Lema de Abel 813 Sea a) Si b) Si a x Se tiee: a (x x 0 ) cetrada e x 0, hacemos el a y cetrada e 0 y, por tato, a y a (x x 0 ) coverge e el puto t + x 0 Luego basta a x coverge para x = x 1 0, etoces la serie coverge absolutamete para todo x IR tal que x < x 1 a x diverge para x = x 2, etoces la serie o coverge (diverge e valor absoluto) para todo x IR tal que x > x 2 a) Si a x coverge para x = x 1, etoces lim a x 1 = 0 y, por la Proposició 521, la sucesió {a x 1 } está acotada Luego existe K > 0 tal que a x 1 < K para todo IN Sea x IR co x < x 1, etoces, para cada IN, se tiee luego la serie a x = a x x 1 = a x 1 x K x x 1, x 1 x 1 a x está mayorada por la serie serie geométrica de razó meor que uo E cosecuecia, la serie por tato, a x coverge absolutamete K x x 1 que coverge, ya que es ua a x coverge y, Sucesioes y Series de Fucioes 93

5 83 Series de potecias b) Por reducció al absurdo: supogamos que la serie tal que x 0 > x 2, etoces por el apartado aterior, la serie a x coverge para algú x 0 IR a x coverge para todo x IR co x < x 0 y por cosiguiete covergería para x = x 2, lo cual es absurdo Observació: Ua serie de potecias siempre coverge e x = Radio de covergecia de ua serie de potecias Proposició 814 Sea a x ua serie de potecias y S = {x IR : su cojuto de covergecia Etoces, puede darse los tres casos siguietes: a) La serie coverge úicamete e x = 0, es decir, S = {0} b) La serie coverge x IR, es decir, S = IR c) Existe ρ IR, co ρ > 0, tal que ( ρ, ρ) S [ ρ, ρ] a x coverge} Veamos que si o se verifica a) y b), se verifica c) E efecto, si o se verifica a) y b), etoces existe x 1 0 tal que la serie coverge para x = x 1 y existe x 2 0 tal que la serie o coverge para x = x 2 Por el Lema de Abel, ha de ser 0 < x 1 < x 2 y se verifica que ( x 1, x 1 ) S [ x 2, x 2 ], luego S está acotado superiormete Sea, etoces, ρ el extremo superior de S Es claro que 0 < x 1 ρ x 2 < + Si para algú x, co x < ρ, la serie a x o coverge, o coverge para todo x 0 co x < x 0 < ρ y, por tato, ρ o sería el extremo superior Luego, para los x co x < ρ, es decir, ( ρ, ρ) S Si para algú x, co x > ρ, la serie a x coverge a x coverge, coverge para todo x 0 co ρ < x 0 < x y, por tato, ρ o sería el extremo superior Luego, coverger para los x co x > ρ, es decir, S [ ρ, ρ] E cosecuecia, ( ρ, ρ) S [ ρ, ρ] Defiició 815 Al valor ρ = sup{x IR : a x o puede a x coverge} lo llamaremos radio de covergecia de la serie Si a x coverge úicamete e {0}, diremos que el radio de covergecia es cero, ρ = 0, y si a x coverge e todo IR, diremos que tiee radio de covergecia ifiito y escribiremos ρ = + Si ρ > 0, al itervalo ( ρ, ρ) lo llamaremos itervalo de covergecia de la serie Sucesioes y Series de Fucioes 94

6 83 Series de potecias Nota: El itervalo de covergecia o es, e geeral, el cojuto de covergecia, pues la serie puede ser tambié covergete e los extremos ρ y ρ Por ejemplo, para la serie x +1 se tiee ρ = 1 y ( 1, 1) es su itervalo de covergecia, mietras que su cojuto de covergecia es [ 1, 1): la serie ( 1) +1 coverge mietras que la serie 1 +1 o coverge A la vista de lo aterior y del Lema de Abel, es evidete el siguiete resultado: Proposició 816 Sea ρ > 0 el radio de covergecia de la serie a) La serie coverge absolutamete e ( ρ, ρ) a x Etoces: b) La serie diverge e valor absoluto (o coverge) e (, ρ) (ρ, ) Nota: E cosecuecia, para ecotar el radio de covergecia, basta estudiar la covergecia absoluta 8311 Cálculo del radio de covergecia Criterio del Cociete 817 Sea la serie a) Si L = 0, etoces ρ = + b) Si 0 < L <, etoces ρ = 1 L c) Si L =, etoces ρ = 0 a x a y L = lim +1 a, etoces: Basta estudiar la covergecia de la serie a x : a +1 x +1 a +1 x +1 a +1 lim a x = lim a x = x lim = a 0, si L = 0 y x IR x L, si 0 < L < y x IR +, si L = y x 0 0, si L = y x = 0 Luego a) Si L = 0, a x coverge para todo x IR, luego ρ = b) Si 0 < L <, coverge para todo x co x L < 1 y diverge para los x co x L > 1, luego coverge para los x co x < 1 L y diverge e valor absoluto para los x co x > 1 L Luego ρ = 1 L c) Si L =, diverge e valor absoluto para todo x 0, luego ρ = 0 Criterio de la Raiz 818 Sea la serie a) Si L = 0, etoces ρ = + a x y L = lim a, etoces: b) Si 0 < L <, etoces ρ = 1 L Sucesioes y Series de Fucioes 95

7 83 Series de potecias c) Si L =, etoces ρ = 0 Como ates, se obtiee que lim a x = lim a x = x lim a = 0, si L = 0 y x IR x L, si 0 < L < y x IR +, si L = y x 0 0, si L = y x = 0 y, e cosecuecia, el resultado buscado Nota: Para las series de la forma serie a (x x 0 ), si ρ > 0 es el radio de covergecia de la a y, co y = x x 0, etoces, y ( ρ, ρ) x (x 0 ρ, x 0 + ρ) Luego a (x x 0 ) coverge para los x (x 0 ρ, x 0 + ρ) y o coverge y diverge e valor absoluto para los x / [x 0 ρ, x 0 + ρ] 832 Series de potecias y covergecia uiforme Teorema 819 Sea ρ > 0 el radio de covergecia de la serie coverge uiformemete e [ x 0, x 0 ], para todo x 0 ( ρ, ρ) a x Etoces la serie Como x 0 ( ρ, ρ) la serie a x 0 coverge y, para todo x [ x 0, x 0 ], se cumple que a x = a x a x 0 = a x 0 Luego, por el criterio M de Weierstras, la serie coverge uiformemete e [ x 0, x 0 ] a x Corolario 820 Sea a x y ρ > 0 su radio de covergecia Etoces la serie coverge uiformemete e todo itervalo cerrado coteido e ( ρ, ρ) a x Corolario 821 Si a x tiee de radio de covergecia ρ y coverge absolutamete e ρ ó e ρ, etoces coverge uiformemete e [ ρ, ρ] 833 Propiedades co covergecia uiforme Series de potecias y cotiuidad 822 Sea f(x) = a x a x e ( ρ, ρ), etoces f es cotiua e ( ρ, ρ) de radio de covergecia ρ > 0, y Sea x 0 ( ρ, ρ), como x 0 < ρ, existe λ IR tal que x 0 < λ < ρ, luego x 0 [ λ, λ] ( ρ, ρ) Como a x coverge uiformemete hacia f e [ λ, λ] y cada fució a x es cotiua e x 0 [ λ, λ], etoces f es cotiua e x 0 E cosecuecia, f es cotiua e cada x ( ρ, ρ) Sucesioes y Series de Fucioes 96

8 83 Series de potecias Teorema del ĺımite de Abel 823 Sea Si a ρ coverge, etoces Aálogamete, si lim f(x) = a ρ x ρ a ( ρ) coverge, etoces a x, co ρ > 0, y f(x) = lim f(x) = a ( ρ) x ρ + a x e ( ρ, ρ) #Demostració# Hagámoslo primero para ρ = 1 y escribamos f(1) = a = lim a k = lim s Para k=0 1 los x ( 1, 1), podemos escribir 1 x = x, de dode f(x) ( 1 x = f(x) ) ( x ) ( = a x ) x = a k x = s x k=0 y, etoces, f(x) f(1) = 1 x f(x) f(1) 1 x = 1 x s x f(1) x = 1 x (s f(1)) x 1 x s f(1) x Ahora, para ε > 0, como s f(1) existe 0 tal que si 0 se tiee s f(1) < { } ε 2 y tomado M = max s f(1), obteemos 0 < 0 ( 0 ) 1 = 1 x s f(1) x + s f(1) x = 0 ( 0 ) 1 ( < 1 x M x ε + = 0 2 x < 1 x 0 M + ε x ) x como x 1 se verifica que 1 x = 1 x = 1 x, y tomado δ = tales que 0 < 1 x < δ, que = 1 x 0 M + ε 2 x 0 < ε 2 0 M 0M + ε 2 = ε E cosecuecia, lim f(x) = f(1) x 1 Si ρ 1, tomado f(x) = a x = reduce al caso aterior ε 2 0 M se tiee, para los x a ρ ( ) x ρ = a ρ y = b y = g(y), se Observació 824 Este teorema os idica que si la serie coverge (auque o lo haga absolutamete) e u extremo del campo de covergecia la cotiuidad de la fució suma puede extederse hasta ese puto, como e el ejemplo siguiete: Ejemplo- Como veremos después, l(1 + x) = ( 1) +1 x e ( 1, 1) E este caso, se da que e x = 1, la serie por lo aterior, ( 1) +1 ( 1) +1 1 = ( 1) +1 = lim l(1 + x) = l 2 x 1 Series de potecias e itegrabilidad 825 Sea f(x) = a x e ( ρ, ρ), etoces: es la armóica alterada que coverge Luego a x de radio de covergecia ρ > 0, y Sucesioes y Series de Fucioes 97

9 83 Series de potecias a) f es itegrable e cualquier cerrado [a, b] ( ρ, ρ) b) b a f(x)dx = b a a x dx Es claro, pues las fucioes f (x) = a x so itegrables e cualquier [a, b] y f(x) = a x uiformemete e cualquier itervalo cerrado coteido e ( ρ, ρ) Corolario 826 Sea etoces F (x) = a x de radio de covergecia ρ > 0, y f(x) = a +1 x+1 es ua primitiva de f e ( ρ, ρ) a x e ( ρ, ρ), Por el resultado 822 sobre cotiuidad, la fució f es cotiua e ( ρ, ρ), luego la fució F (x) = x 0 f(t) dt es ua primitiva de f e ( ρ, ρ) y, por el resultado 825 aterior, para cada x ( ρ, ρ), se tiee que F (x) = x 0 f(t) dt = Ejemplo 827 Sea f(x) = l(1 + x) Hallar Solució: Como f (x) = 1 1+x = 1 1 ( x) = f(x) = x 0 f (t) dt = x 0 a t dt = a +1 x+1 a x tal que f(x) = ( x) = ( 1) x e ( 1, 1), se tiee que ( 1) + 1 x+1 = Series de potecias y derivabilidad 828 Sea f(x) = derivable e ( ρ, ρ) y f (x) = Como la serie a x 1 ( 1) 1 x = a x ( 1) +1 x a x e ( 1, 1) e ( ρ, ρ) Etoces, f es a x 1 es ua serie de potecias basta probar que su radio de covergecia ρ coicide co ρ, pues etoces la fució f(x) = g(x) = a x 1 e ( ρ, ρ) a x es ua primitiva de la fució ρ ρ Sea x ( ρ, ρ), co 0 < x < ρ (e 0 cualquier serie de potecias coverge), etoces existe x 0 ( ρ, ρ) tal que x < x 0 < ρ, luego la serie a x 0 coverge y la sucesió {a x 0 } está acotada, es decir, existe K > 0 tal que a x 0 < K, para todo IN Por tato, a x 1 = a x x 0 x x = 0 x a x 0 x x 0 x K x x 0 y si la serie K x x x 0 coverge, la serie a x 1 coverge Llamado M = x x 0 < 1, se tiee que lim M = M < 1 y por el criterio de la Raiz la serie coverge Luego a x 1 coverge e ( ρ, ρ) y, e cosecuecia, ρ ρ Sucesioes y Series de Fucioes 98

10 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias ρ ρ Si supoemos ρ < ρ, existe x IR co ρ < x < ρ, e el cual absolutamete Etoces, para todo x, se verifica que a x 1 coverge a x = x a x 1 a x 1 de dode a x coverge e x co ρ < x, lo que es absurdo Luego ρ ρ Corolario 829 Si f(x) = Puesto que f es derivable e ( ρ, ρ) y f (x) = a x e ( ρ, ρ), etoces f es de clase e ( ρ, ρ) a x 1 es ua serie de potecias e ( ρ, ρ), es tambié derivable e ( ρ, ρ) y su derivada es ua serie de potecias que vuelve a ser derivable, etc Ejemplo 830 Hallar la expresió de f(x) tal que f(x) = x, e ( 1, 1) Solució: Por la proposició aterior, f (x) = x 1 = x 1 = x = 1 1 x e ( 1, 1), luego 1 f(x) es ua primitiva de 1 x, es decir, f(x) = l(1 x) + C ; y como f(0) = 0 se tiee que C = 0 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Si e la secció aterior os plateabamos el problema de ecotrar o, al meos, asegurar la existecia de ua fució que coicida co ua serie de potecias dada e su itevalo de covergecia, e éste os plateamos el problema cotrario: cuádo, para ua fució dada, existe ua serie de potecias que coicide co dicha fució e todo u etoro? Defiició 831 Sea ρ > 0, el radio de covergecia de la serie Se dice que a (x x 0 ) (x 0 r, x 0 + r) cuado f(x) = a (x x 0 ) y 0 < r ρ es u desarrollo e serie de potecias de la fució f e Proposició 832 Si f(x) = a (x x 0 ) e (x 0 r, x 0 + r) a) f es ifiitamete derivable e (x 0 r, x 0 + r) b) a = f () (x 0 ) (x x 0 ), para todo IN a (x x 0 ) e (x 0 r, x 0 + r) (x 0 ρ, x 0 + ρ), etoces a) Es claro, pues ua serie de potecias es ifiitamete derivable e cualquier subcojuto de su itervalo de covergecia Sucesioes y Series de Fucioes 99

11 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias b) Derivado sucesivamete e la expresió de f, f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) a (x x 0 ) + f (x) = 1a 1 + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) a (x x 0 ) 1 + f (x) = [2 1]a 2 + [3 2]a 3 (x x 0 ) + + [( 1)]a (x x 0 ) 2 + f (x) = [3 2 1]a [( 1)( 2)]a (x x 0 ) 3 + f ( 1) (x) = [( 1)!]a 1 + [ 2]a (x x 0 ) + f () (x) = []a + [( + 1) 2]a +1 (x x 0 ) + luego, para cada se tiee que f () (x 0 ) = a, de dode a = f () (x 0 ) Defiició 833 Sea f ifiitamete derivable e el puto x 0 Llamaremos serie de Taylor de f e x 0, a la serie de potecias f () (x 0 ) (x x 0 ) Observació 834 La proposició aterior os da ua codició ecesaria para que ua fució f sea desarrollable e serie de potecias y os idica, además, como es dicha serie Es decir, que si f es desarrollable e serie de potecias e u etoro de x 0, etoces f es ifiitamete derivable e ese etoro y la serie de potecias correspodiete es la serie de Taylor de f e el puto cetro del etoro Por otro lado, basta co que ua fució sea ifiitamete derivable e u etoro de u puto x 0 para poder obteer la serie de Taylor de la fució e ese puto, es suficiete, etoces, co que ua fució sea ifiitamete derivable e u etoro de u puto para que sea desarrollable e serie de potecias e ese etoro? Desgraciadamete, { o Cotraejemplo- La fució f: IR IR dada por f(x) = e 1 x 2, si x 0, es ifiita- 0, si x = 0 mete derivable e IR y f () (0) = 0, para todo Luego si f fuera ifiitamete derivable e algú etoro de 0, se debe de cumplir que f(x) = f () (0) x = 0 = 0 e dicho etoro; lo que es absurdo pues, para la fució, f(x) 0 si x 0 E cosecuecia, esa fució o es desarrollable e serie de potecias e igú etoro de 0 A la vista del cotraejemplo observamos que, para ua fució f, sólo por ser de clase e u etoro de x 0 o se garatiza que la fució y la serie de Taylor e el puto coicida e el etoro Es decir, o garatiza que f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) e ese etoro (que es la codició para ser desarrollable e serie de potecias) La codició suficiete, queda establecida e el siguiete teorema: Proposició 835 Sea f de clase e (x 0 ρ, x 0 +ρ) Etoces, f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) e (x 0 ρ, x 0 + ρ) si, y sólo si, cuado, el resto de la fórmula de Taylor tiede hacia 0, para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ) Sucesioes y Series de Fucioes 100

12 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ), la fórmula de Taylor establece que f(x) = k=0 k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + f (+1) (ξ ) (x x 0 ) +1, ( + 1)! usado el resto de Lagrage ó, usado el resto de Cauchy, que f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + f (+1) (ξ ) (x ξ ) (x x 0 ), k! dode ξ = x 0 + θ (x x 0 ) para algú θ (0, 1) Etoces, es claro que f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) si, y sólo si, lim (f(x) f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k) = 0 Corolario 836 E las codicioes de la proposició aterior, si, para todo, f () (x) < M e el etoro, etoces f es desarrollable e serie de potecias e el etoro lim f (+1) (ξ) ( + 1)! (x x 0) +1 = lim f (+1) (ξ) x pues, para todo x IR, el lim = 0 (x x 0 ) +1 ( + 1)! k=0 M lim (x x 0 ) +1 ( + 1)! = 0, Ejemplo 837 Estudiar si f(x) = se x es desarrollable e serie de potecias e el 0 Solució: La fució es de clase e IR Se tiee que f(x) = se x, f (x) = cos x f (x) = se x, f (x) = cos x y f (x) = se x, luego se repite el proceso cada 4 derivadas Etoces, f (4) (0) = f(0) = 0, f (4+1) (0) = f (0) = 1, f (4+2) (0) = f (0) = 0 y f (4+3) (0) = f (0) = 1; luego f () (0) x = ! x ! x ! x ! x7 + = ( 1) x 2+1 (2 + 1)! que coverge e todo IR Para cada x IR, el resto de Lagrage queda f (+1) (ξ ) x+1 (+1)! y, como para todo, f () (x) = se x ó f () (x) = cos x y está acotada e IR, por la codició suficiete es desarrollable e todo IR E cosecuecia, se x = ( 1) x 2+1 (2+1)! e IR Ejercicio 838 e x = x e IR Solució: f(x) = e x y f(0) = 1 f (x) = e x, luego f () (x) = e x y f () (0) = 1, para todo Etoces, la serie de Taylor de e x e 0 es que e x = x para todo x (, ) El resto de Lagrage es x, que tiee radio de covergecia Veamos f (+1) (ξ ) (x 0) +1 = eξ ( + 1)! ( + 1)! x+1 = e ξ x +1 ( + 1)!, para algú ξ etre 0 y x Sucesioes y Series de Fucioes 101

13 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias Como x puede ser egativo, x < ξ < x y, por tato, e x < e ξ < e x Luego, para cada x IR, x +1 lim eξ ( + 1)! = lim x +1 e ξ ( + 1)! = lim x +1 eξ ( + 1)! lim e x x +1 ( + 1)! = e x x +1 lim ( + 1)! = 0 y, e cosecuecia, e x es desarrollable e serie de potecias e todo IR Ejercicio 839 Desarrollar e serie de potecias e 0 la fució f(x) = (1 + x) α, co α IR Solució: La fució f(x) es de clase e 0, para todo α IR y la serie de Taylor e 0 se obtiee de: f(x) = (1 + x) α, f(0) = 1 f (x) = α(1 + x) α 1, f (0) = α f (x) = α(α 1)(1 + x) α 2, f (0) = α(α 1) f (x) = α(α 1)(α 2)(1 + x) α 3, f (0) = α(α 1)(α 2) Etoces, f () (x) = α(α 1) (α [ 1])(1 + x) α, f () (0) = α (α [ 1]) si α = m IN, f () (x) = 0 para todo > m, luego f () (0) x = m m(m 1) (m [ 1]) que coicide co f(x) para todo x IR Si α / IN, para todo, se tiee que f () (0) x = x + =m+1 α(α 1) (α [ 1]) x = 0 x = m ( ) α x ( ) m x, dode se usa la otació ( α) = α(α 1) (α [ 1]) por similitud co el caso α = m IN Como ( α ) +1 lim ( α ) = lim = lim α(α 1) (α [ 1])(α ) (+1)! α(α 1) (α [ 1]) α + 1 = 1, = lim la serie coverge e ( 1, 1) y o coverge si x > 1 α(α 1) (α [ 1])(α ) α(α 1) (α [ 1])( + 1)! El resto de Lagrage es f (+1) ( ) ( ) (ξ ) α α (1 + x +1 = (1 + ξ ) α [+1] x +1 ξ ) α = x+1 ( + 1)! (1 + ξ ) +1 Sucesioes y Series de Fucioes 102

14 84 Desarrollo de ua fució e serie de potecias cuya derivada ( + 1)-ésima o está acotada, pues α(α 1) (α ) y, además, 1 si x < 0 etoces (1+ξ 0) Luego o podemos aplicar la codició suficiete ) +1 Usado el resto de Cauchy, co ξ = θ x para algú θ (0, 1), f (+1) (ξ ) (x ξ ) x = α(α 1) (α [ 1])(α )(1 + θ x) α [+1] (x θ x) x ( + 1)α(α 1) (α [ 1])(α ) = (1 + θx ) α [+1] (x θ x) x ( + 1)! ( ) α = ( + 1) (1 + θ x) α [+1] (1 θ ) x x + 1 ( ) α = ( + 1) x +1 (1 + θ x) α 1 (1 + θ x) (1 θ ) + 1 ( ) ( ) α 1 = ( + 1) x +1 (1 + θ x) α 1 θ θ x Teemos que: lim ( + 1)( α +1) x +1 = 0, para todo x ( 1, 1), pues es el térmio geeral de la serie ( α ) x que, como lim (+1)( +1) α ( α ) = lim +1 ( +1) α ( α = 1, coverge e ) ( 1, 1) Para cada x ( 1, 1), el valor s = (1 + θ x) α 1 está acotado, pues x < θ x < x = 1 x < 1 + θ x < 1 + x y 0 < 1 x < 1 + θ x < 1 + x, luego si α 1 > 0, s < (1 + x ) α 1 y si α 1 < 0, s < (1 x ) 1 α que so valores costates para cada x ( 1 θ 1+θ x ) 1, pues 1 θ 1+θ x < 1 ya que por ser 1 < x < 1 = θ < θ x < θ = 1 θ < 1 + θ x < 1 + θ y como 0 < 1 θ < 1 + θ x se tiee que 0 < 1 θ 1+θ x < 1 f E cosecuecia, lim (+1) (ξ ) (x ξ ) x = 0 y (1 + x) α = ( α ) x e ( 1, 1) Proposició 840 Sea los desarrollos f(x) = g(x) = a (x x 0 ) co radio de covergecia ρ 1 y b (x x 0 ) co radio de covergecia ρ 2 y sea ρ = mi{ρ 1, ρ 2 } Etoces, a) La suma f + g es desarrollable e serie de potecias e (x 0 ρ, x 0 + ρ), y (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (a + b )(x x 0 ) b) El producto fg tambié es desarrollable e serie de potecias e (x 0 ρ, x 0 + ρ) y (fg)(x) = f(x)g(x) = c (x x 0 ), dode c = a k b k (producto de series de Cauchy) k=0 Sucesioes y Series de Fucioes 103

15 85 Ejercicios Proposició 841 Sea f(x)= a (x x 0 ) y g(y)= m=0 b m (y y 0 ) m co radio de covergecia respectivos ρ > 0 y ρ > 0, tales que f(x 0 ) = y 0 y, para cada x (x 0 ρ, x 0 + ρ), se verifica que f(x) (y 0 ρ, y 0 + ρ ) Etoces g f es desarrollable e serie de potecias de x x 0 e el etoro (x 0 ρ, x 0 + ρ) y se tiee que 85 Ejercicios ( ) g(f(x)) = b m (f(x) f(x 0 )) m m = b m a (x x 0 ) m=0 m=0 81 Hallar los cojutos de covergecia de las series a) e x 2 +1 b) se x 2 Coverge uiformemete e sus cojutos de covergecia? 82 Estudiar la covergecia uiforme de las series a) ( 1) e [0, ) b) 3 +x cos x e x e [1, ) c) x 2 e [ 1, 1] 83 Estudiar la covergecia uiforme de la serie uiformemete e [0, 1]? 84 Probar que la serie (0, ) 85 Probar que la serie 86 Probar que 1 2 x 2 x e [0, x 2 2 ] y e [ 1 2, 1] Coverge coverge uiformemete e [a, ), co a > 0, pero o e ( 1) +1 +x coverge uiformemete pero o absolutamete e [0, 1] x (1 x) coverge putualmete pero o uiformemete e [0, 1] 87 Hallar el cojuto de covergecia de la serie x (1+x 2 ) Probar que o coverge uiformemete e [0, 1] 88 Determiar el itervalo y el cojuto de covergecia de cada ua de las series de potecias siguietes: a) e) ( 1) 1 x b) x 2 2 f) x 2 c) (x 1) 2 9 g) =2 x d) [ ( 1) (2 3)] 2 x ( x ) Calcular la suma de de las series a) ( 1) 1 x b) x 2 c) x 2 2 d) x +1 Sucesioes y Series de Fucioes 104

16 85 Ejercicios 810 Hallar el radio de covergecia y la suma de las series a) d) ( + 1)x b) 2 x e) ( + 1)( + 2)x c) 1 x 2 + x2 3 x3 4 + x4 5 + x 1 +1 f) x 3 + x2 4 + x3 5 + x Desarrollar la fució f(x) = e x como serie de potecias e u etoro de 1 y e u etoro de Usar el desarrollo de e x para ecotrar el desarrollo e serie de potecias de x de las fucioes que se da a cotiuació, idicado los itervalos e que tiee validez a) f(x) = (1 + e x ) 3 b) f(x) = sh(x) c) f(x) = ch(x) d) f(x) = ch 2 (x) 813 Desarrollar e serie de potecias de x 1 la fució f(x) = 1 x 814 Desarrollar e serie de potecias de x las fucióes siguietes, idicado su campo de validez a) f(x) = 1 + x b) f(x) = (2 + x) 1 c) f(x) = 1 1 x 2 d) f(x) = 1 2+x Desarrollar f(x) = 1 x 2 +3x+2 e serie de potecias de x Hallar el cojuto de covergecia y la suma de la serie 817 Estudiar la covergecia uiforme de 818 Estudiar la covergecia uiforme de 819 Estudiar la covergecia uiforme de ( 1 x+2 1 x) e (, 1] (x 2 1) 2 +1 e [ 1, 1] ( 1) +1 x2+1 ( 1) 2 ( 2x 2 2+3x) +1 e [1, 3] 820 Estudiar la covergecia putual y uiforme de ( 1) e se x Sucesioes y Series de Fucioes 105

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