TEMA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE
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- Juan Carlos Robles Agüero
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1 TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL DE DE UNA UNA VARIABLE
2 Derivada de ua ució e u puto Sea : D y u puto iterior de Se dice que es derivable e eiste lim Dicho límite recibe el ombre de derivada de e Notas ) Notaremos la derivada de e como d d y y d d ) La derivada de e tambié puede epresarse como Recta tagete y ormal y h lim lim h h Sea ua ució derivable e Recta tagete a la gráica de e Recta ormal a la gráica de e y D h
3 Ejemplo ( Hoja A) Hallar, utilizado la deiició de derivada, la derivada de la ució e el puto. Hallar las rectas tagete y ormal a la gráica de e dicho puto. Solució Ejemplo ( Hoja A) Es derivable e el puto la ució? Solució Ejercicio ( Hoja B) Hallar, utilizado la deiició de derivada, la derivada de la ució L e el puto. Hallar las rectas tagete y ormal a la gráica de e dicho puto Ejercicio ( Hoja B) Sea g ua ució acotada e u etoro de. Estudiar so derivables e el puto las guietes ucioes g h g
4 Derivadas laterales Derivada lateral por la derecha h lim Derivada iiita lim h Derivada lateral por la izquierda Teorema Sea : D y u puto iterior de D Se dice que tiee derivada iiita e lim h lim lim h es derivable e. E este caso E este caso se dice que es u puto de tagete vertical h h 4
5 Ejemplo ( Apartado a) Hoja A) Estudiar, e los putos y, la derivabilidad de la ució Solució se Ejemplo ( Apartado b) Hoja A) Estudiar la derivabilidad de la ució e el puto Solució 5
6 Ejercicio ( Hoja B) Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de las guietes ucioes e los putos que se idica se ( ) e Log ( ) ( ) putos y 4 ( ) e y e y Ejercicio Estudiar la derivabilidad de la ució e los 6
7 Cotiuidad y derivabilidad Teorema Si es derivable e etoces es cotiua e Ejemplo (4 Apartado a) Hoja A) Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de la ució e el puto Solució ( ) se Ejemplo (4 Apartado b) Hoja A) Estudiar la derivabilidad de la ució e el puto Solució se 7
8 Fució derivada Sea : D. Se llama derivada de a Reglas de derivació Derivada de ua suma ( g) g Derivada de ua costate por ua ució ( c ) c Derivada de u producto ( g) g g Derivada de u cociete g g g g Regla de la cadea Si h g etoces h g Derivada de la ució iversa : D D 8
9 Ejemplo (5 Hoja A) Hallar la derivada de las guietes ucioes Log arctg se Solució Ejercicio (4 Hoja B) Hallar el águlo que orma las curvas e e el puto de abscisa Nota El águlo que orma dos curvas e su puto de corte es el águlo que orma las rectas tagetes a las curvas e dicho puto. y y L 9
10 Ejercicio (5 Hoja B) Hallar la derivada de las guietes ucioes arctg Log 4 se 4 e Ejercicio (6 Hoja B) Hallar, utilizado la derivada de la ució iversa, la derivada de la ució arcse Ejercicio (8 Hoja B) Dígase, justiicado la respuesta, so cierta ó alsa las guietes propocioes: Si es ua ució co derivada primera cotiua e, y tal que y 4, etoces e algú puto del itervalo, la recta tagete a la curva y es paralela al eje X. No eiste ua ució par co derivada primera cotiua e y periódica de periodo T que veriique. Ejercicio (7 Hoja B) Hallar las rectas tagete y ormal a cada uas de las guietes curvas e los putos que se idica: se, 4 5 4, a
11 Aproimació de ua ució mediate su recta tagete Si y está cerca de etoces Ejemplo (6 Hoja A) Hallar el valor aproimado de utilizado rectas tagete a curvas adecuadas Solució L. Ejercicio (9 Hoja B) 4 Hallar el valor aproimado de 6, 98 y e, utilizado rectas tagetes a curvas adecuadas.
12 Derivadas sucevas Sea : D : Derivada primera de ( ) : Derivada seguda de ( ) : Derivada tercera de Se llama derivada -éma de a ( ) ) ) Cálculo de la derivada -ema Cálculo de la derivada -éma por iducció
13 Ejemplo (7 Hoja A) Hallar la derivada -éma de las guietes ucioes: Solució a se Ejercicio ( Hoja B) Hallar la derivada -éma de las guietes ucioes: a La ( ) L cos5cos ( ) ch sh
14 Fució derivable e u cojuto Ua ució es derivable e u cojuto A es derivable e todos los putos de A Teorema de Rolle Sea ua ució cotiua e a,b y derivable e tal que ( a) ( b).etoces eiste c a, b tal que a,b c Aplicació del teorema de Rolle al estudio de las raíces de ua ució Sea ua ució derivable e u itervalo I Etre dos raíces reales distitas de e I eiste al meos ua raíz real de su derivada Si tiee raíces reales distitas e I etoces tiee como mucho raíces reales distitas e I 4
15 Ejemplo (8 Hoja A) 8 Sea se h. Demostrar que la ució h tiee al 4 meos ua raíz e el itervalo, Solució Ejemplo (9 Hoja A) Hallar el úmero de raíces reales del poliomio Solució P 4 Localizar dichas raíces e itervalos disjutos de logitud Ejemplo ( Hoja A) Demostrar que la ecuació e tiee ua úica solució real. Solució 5
16 Ejercicio ( Hoja B) Sea 4 se 4 cos Demostrar que eiste u puto e el que se veriica Ejercicio ( Hoja B) Demostrar que la ecuació tiee ua úica solució. Cuál es la parte etera de la misma? 5 Hallar el úmero de raíces reales de la ució g 9 Ejercicio ( Hoja B) Hallar el úmero de putos de corte de las gráicas de las ucioes e g cos e y y localizar las abscisas de dichos putos de corte e itervalos de logitud. Ejercicio (4 Hoja B) Probar que la ecuació L e tiee ua úica solució real e Ejercicio (5 Hoja B) Hallar razoadamete el úmero de raíces de la ució para e L 6
17 Teorema del valor medio (Lagrage) Sea ua ució cotiua e a,b y derivable e Etoces eiste c a, b tal que b a c b a a,b Teorema de Cauchy Sea y g dos ucioes cotiuas e a,b y derivables e a,b. Etoces eiste c a, b tal que c b a g c g b g a Ejercicio Probar el teorema de Cauchy aplicado el teorema de Rolle a la ució h e el itervalo g b ga g b a a,b 7
18 Regla de L Hopital Sea y g ucioes derivables e u etoro reducido de tales que lim Etoces Eiste lim g lim g lim g lim g 8
19 Ejemplo ( Hoja A) Calcular los guietes límites e lim e 5 cos cos lim se L Solució 4 lim 8 lim L lim 4 tg tg Ejercicio (6 Hoja B) Calcular los guietes límites lim cot arctg L lim lim se 9 sh lim e lim ch se L 9
20 Poliomio de Taylor de ua ució e u puto Sea : D ua ució veces derivable e u puto. Se llama poliomio de Taylor de orde de e a P ( )!! Nota El poliomio de Taylor de grado de e es P ( ) Se trata de la recta tagete a la gráica de e Ejemplo ( Apartado a) Hoja A) Hallar el poliomio de Taylor de orde de e e Solució Ejercicio (7 Apartado a) Hoja B) Hallar el poliomio de Taylor de orde de e se
21 Propiedad Si P () es el poliomio de Taylor de orde de e etoces P P k k, k, Ejemplo ( Apartado b) Hoja A) Hallar el poliomio de Taylor de orde de e e y Solució Nota Si etoces P () recibe el ombre de poliomio de Mc-Lauri Ejercicio (7 Apartado b) Hoja B) Hallar el poliomio de Mc-Lauri de orde de L
22 Teorema Sea ua ució veces derivable e u puto y P () el poliomio de Taylor de orde de e. Etoces P lim Resto de ua ució Se llama resto de orde R Propiedades R ( ) P es u iiitémo e R Orde de e a Nota Si está cerca de podemos aproimar P Error cometido : R Notació O R : Iiitémo de orde mayor que e Fórmula de Lagrage para el resto R c! co c c,,
23 Fórmula (Desarrollo) de Taylor de ua ució e u puto R P ) ( Nota Si la epreó recibe el ombre de desarrollo de Mc-Lauri R P ) ( 5! 5!! O se Pricipales desarrollos de Mc-Lauri O 4! 4!! cos 5! 5!! O sh O e!!! O Log 5 5 O arctg O ch 4! 4!!
24 Aplicacioes de la Fórmula de Taylor Cálculo aproimado Los pasos a seguir será P Estimar el error cometido R Notas ) Para el calculo aproimado utilizaremos poliomios de Mc-Lauri ) Para estimar el error cometido hay utilizar la órmula de Lagrage para el resto 4
25 Ejemplo ( Hoja A) Calcular e co u error meor que Solució Ejemplo (4 Hoja A) Calcular de orma aproimada utilizado el poliomio de Mc-Lauri de orde de. Estimar el error cometido. Solució Ejercicio (8 Hoja B) Calcular de orma aproimada 8 utilizado el poliomio de Mc-Lauri de orde de 8. Estimar el error cometido. Ejercicio (9 Hoja B) Calcular de orma aproimada se utilizado el poliomio de Mc-Lauri de orde 5 de se. Estimar el error cometido. 5
26 Cálculo de límites Utilizaremos desarrollos de Mc-Lauri de la orma ( ) P Propiedades O O O O CO O m Si m etoces O O O m m O O O Si ( ) O!! es el desarrollo de Mc-Lauri de orde de etoces el desarrollo de Mc-Lauri de orde m de la ucio m ( A ), A, mn es m m m m m ( A ) A A A O!! Nota Si es u iiitémo e y A es el primer térmio o ulo del desarrollo de Taylor de e etoces Orde PP A La primera derivada o ula de e es A! 6
27 Ejemplo Hallar el desarrollo de Mc-Lauri de orde de la ució Hallar el desarrollo de Mc-Lauri de orde 8 de la ució Solució cos 4 Ejemplo (5 Hoja A) Calcular los guietes límites lim se Solució lim se Ltg cos lim 4 lim tg 4 cos sh 4 7
28 Ejemplo (6 Hoja A) Hallar el orde y la parte pricipal de los guietes iiitémos se ( ) e L Solució ( ) tg 8
29 Ejercicio ( Hoja B) Calcular los guietes límites ch cos lim se tg se e L lim 4 se sh arctg L tg Ejercicio ( Hoja B) Calcular el orde y la parte pricipal de los guietes iiitémos e e se ( ) e cos ( ) tg se Ejercicio (4 Hoja B) Calcular el orde y la parte pricipal del iiitémo ( ) cos e a b e segú los distitos valores de los parámetros Calcular el orde y la parte pricipal del iiitémo 88 L se e segú los distitos valores del úmero atural a,b 9
30 Ejercicio ( Hoja B) Se codera la ució Se pide: Ae 6se 6 5 arctg 8 4 Estudiar la cotiuidad de la ució () e el puto segú los distitos valores del parámetro real A Estudiar la derivabilidad de la ució () e el puto segú los distitos valores del parámetro real A Ejercicio ( Hoja B) Sea g : ua ució co derivada tercera cotiua y sea la ució e g se se e arctg Hallar el valor de g, g y g para que se veriique que lim L
31 Crecimieto y decrecimieto de ua ució Sea : D e I u itervalo coteido e D es creciete (estrictamete creciete) e I para, yi co y se veriica ( ) ( y) ( ( ) ( y) ) es decreciete (estrictamete decreciete) e I para, yi co y se veriica ( ) ( y) ( ( ) ( y) ) Teorema Sea ua ució derivable e u itervalo I es creciete e I y solo ( ), I Si ( ), I etoces es estrictamete creciete e I es decreciete e I y solo ( ), I Si ( ), I etoces es estrictamete decreciete e I Nota Para estudiar el crecimieto de u ució hay que estudiar el go de la primera derivada. Los pobles cambios de go de se produce e putos tales que ( ) tales que o es derivable e
32 Etremos relativos y absolutos de ua ució Etremo relativo Ua ució : D tiee u máimo (míimo) relativo e D eiste u etoro I de tal que ( ) para D I Nota U etremo relativo es u máimo ó míimo relativo Etremo absoluto Ua ució : D tiee u máimo (míimo) absoluto e D ( ) para D Nota U etremo absoluto es u máimo ó míimo absoluto Teorema Si es ua ució derivable e u etremo relativo etoces Cadidatos a etremos relativos. Putos críticos tales que ( ) tales que o es derivable e
33 Caracterizació de los etremos relativos de ua ució Criterio de la primera derivada Sea ua ució cotiua e u puto critico Si eiste tal que ( ), ( ), etoces tiee u míimo relativo e Solució Si eiste tal que ( ), ( ), etoces tiee u máimo relativo e Si eiste tal que ( ) ó ( ) para etoces o tiee etremo relativo e, Ejemplo (7 Apartado a) Hoja A) Hallar los etremos relativos de la ució e
34 Estudio de las derivadas de orde superior Sea u puto critico de tal que ( ). Supogamos que es la primera derivada o ula de e Si es par y ( ) etoces tiee u míimo relativo e Si es par y ( ) etoces tiee u máimo relativo e Si es impar etoces o tiee etremo relativo e Criterio de la derivada seguda Sea u puto critico de tal que ( ) Solució Si ( ) etoces tiee u míimo relativo e Si ( ) etoces tiee u máimo relativo e Ejemplo Hallar los etremos relativos de la ució 5 5 4
35 Ejemplo (7 Apartado b) Hoja A) Estudiar el crecimieto y hallar los etremos relativos de la ució Solució Ejercicio (5 Hoja B) Estudiar el crecimieto y hallar los etremos relativos de las guietes ucioes 4 e 6 Ejercicio (6 Hoja B) Sea e y sea g ua ució derivable y estrictamete decreciete e, veriicado que g g. Hallar razoadamete el úmero de veces que se corta las curvas y e y g e 5
36 Ejercicio (7 Hoja B) Sea : derivable tal que, co 5 6 Hallar los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los etremos relativos de la ució g 5 Etremos absolutos de ua ució e u itervalo cerrado Sea ua ució cotiua e u itervalo cerrado a,b Los putos críticos dode puede alcazar el máimo y el míimo absoluto e a,b so a, b tales que ( ) a, b tales que o es derivable e Los etremos a y b del itervalo Ejemplo (8 Apartado a) Hoja A) Hallar los máimos y míimos absolutos de la ució e el itervalo,4 Solució 6
37 Ejemplo (8 Apartado b) Hoja A) Hallar los máimos y míimos absolutos de la ució g e el itervalo Solució, Ejercicio (8 Hoja B) Hallar los máimos y míimos absolutos de las guietes ucioes e los itervalos que se idica e, cos 4 e, e, 7
38 Problemas de optimizació Pasos para resolver u problema de optimizació Idetiicar la magitud H a la que teemos que calcular el máimo ó el míimo y obteer la epreó de H Usar las codicioes del problema para epresar H e ució de ua sola variable Hallar el máimo ó míimo de Ejemplo (9 Hoja A) Hallar las dimeoes del rectágulo de área máima que tiee u lado sobre el eje X y esta iscrito e el triágulo determiado por las rectas y, y e y 4 Solució H 8
39 Ejemplo ( Hoja A) Hallar el radio y la altura de u cilidro circular iscrito e ua esera de radio R que tega volume máimo. Solució Ejercicio (9 Hoja B) U triágulo equilátero T tiee dos vértices e los putos, y,. Sea u triágulo T iscrito e el triagulo T de modo que uo de sus lados sea paralelo al eje X. Se pide probar que el área del triágulo T es empre meor ó igual que 4 del área del triágulo T Ejercicio ( Hoja B) Se dispoe de u alambre de 5 cetímetros de largo. Se pide hallar el radio del sector circular de área máima cuyo perímetro sea dicho alambre. Codérese los casos guietes: El águlo del sector veriica. El águlo del sector veriica. 9
40 Ejercicio ( Hoja B) U eplorador esta tuado e el puto, y debe llegar al puto, debiedo aprovioarse de agua e u rio cuyo curso tiee por ecuació,, (véase igura ). Sabiedo que los tramos recorridos desde y los putos, y, al rio so segmetos rectilíeos, hallar la máima y la míima distacia que puede recorrer el eplorador. Ejercicio ( Hoja B) Determiar las dimeoes de u cilidro circular de volume V para que su área total sea míima. Hallar el radio y la altura de u cilidro circular iscrito e ua esera de radio R que tega área lateral máima. 4
41 Cocavidad y coveidad. Putos de ileió Fució cócava y covea Se dice que ua ució : D es cócava (covea) e u itervalo I D para a, b I el segmeto que ue los putos a, ( a) y b, ( b) queda por debajo (ecima) de la gráica de Puto de ileió Se dice que es u puto de ileió de Dom cambia de cocavidad e dicho puto. Teorema Sea ua ució dos veces derivable e u itervalo I Si ( ) I etoces es covea e I Si ( ) I etoces es cócava e I Teorema Sea ua ució suicietemete derivable e u puto Si la primera derivada o ula, posterior a la primera, de e el puto es impar etoces tiee u puto de ileió e 4
42 Ejemplo ( Hoja A) Estudiar la cocavidad y coveidad y hallar los putos de ileió de la ució Solució Ejemplo ( Hoja A) Determiar los itervalos de crecimieto y decrecimieto, los máimos y míimos relativos, los itervalos de cocavidad y coveidad y los putos de ileió de la ució que tiee derivada seguda cotiua e y tal que la gráica de está represetada e la igura adjuta. Solució 4
43 Ejercicio ( Hoja B) Sea ua ució tal que y sh para. Se pide:. Hallar las raíces reales de la ució. Hallar los itervalos de cocavidad y coveidad y los putos de ileió de la ució. Ejercicio (4 Hoja B) Sea ua ució suicietemete derivable e y tal que los primeros 4 5 térmios del poliomio de Taylor de e so. Se pide hallar razoadamete el úmero real a para que la ució g cos a se tg tega u puto de ileió e Ejercicio (5 Hoja B) Sea e dode es u úmero atural. Se pide: Hallar e la parte pricipal de.. Determiar la curva y tiee e u máimo relativo, u míimo relativo ó u puto de ileió. 4
44 Represetació gráica de ua ució de ua variable Para represetar gráicamete ua ució hay que seguir los guietes pasos Calcular el domiio Hallar los putos de corte co los ejes Estudiar las metrías de Hallar las asítotas de Estudiar la cotiuidad de Estudiar el crecimieto de Hallar los etremos relativos de Estudiar la cocavidad y coveidad de Hallar los putos de ileió de Hacer u dibujo aproimado de la gráica de 44
45 Ejemplo ( Hoja A) Represetar la gráica de la ució Solució e Ejercicio (6 Hoja B) Represetar las gráicas de las guietes ucioes: L e e 45
EJERCICIO S DE FUNCIO NES. i)f(x)= 3 2. k)f(x)= )
Dadas las guiet ucio: 6 a e b EJERCICIO S DE FUNCIO NES g c 9 d h i 9 j log k log l L9 Hallar su domiio. Hallar los putos de corte co los ej. Comprobar las ucio b, c,, g, y h so par o impar. E las ucio
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