Profesora: María José Sánchez Quevedo FUNCIÓN DERIVADA

Transcripción

1 Proesora: María José Sáchez Quevedo FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( Siiicado eométrico). ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA 4. DERIVADAS SUCESIVAS 5. DERIVADAS LATERALES 6. REGLAS DE DERIVACIÓN 7. TABLA RESUMEN DE LAS DERIVADAS 8. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA E IMPLÍCITA 9. REGLA DE L HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (Siiicado eométrico) El problema que se platea es el de trazar la recta taete a la curva e u puto P = ( a, (a) ). (Recordemos que la pediete de ua recta se deiía como el valor de la taete del áulo que orma la recta co la direcció positiva del eje OX.) La pediete de dicha recta taete será precisamete el valor de lo que deomiaremos derivada de la ució e el puto = a, esto es: pediete ta ( a) Sea ua ució cotiua e u itervalo I cerrado, ( ) C( I), para llear a trazar la recta taete a la curva e el puto P a, ( a) cosideremos las siuietes rectas secates:

2 Proesora: María José Sáchez Quevedo ( a h) ( a) ( a) pdte ( T) ta lim h h ( ) ( a) lim dode = a + h h = - a a a. Recta s : es la recta secate a la curva que ue los putos b, ( b) a, ( a), la pediete de dicha es el valor de la TVM ( ), a, b ( b) ( a) pediete ( s ) TVM ( ), a, b ta b a. Recta s : es la recta secate a la curva que ue los putos c, ( c) a, ( a), la pediete de dicha es el valor de la TVM ( ), a, c ( c) ( a) pediete ( s ) TVM ( ), a, c ta c a. Recta s : es la recta secate a la curva que ue los putos d, ( d) a, ( a), la pediete de dicha es el valor de la TVM ( ), a, d ( d) ( a) pediete ( s ) TVM ( ), a, d ta d a 4. E eeral la Recta s : es la recta secate a la curva que ue los putos, ( ) a, ( a), la pediete de dicha es el valor de la TVM ( ), a, ( ) ( a) ( ) ( a) pediete ( s) TVM ( ), a, ta a a Y tomado límite cuado a (el puto b se aproima al a ) se llea a que la pediete de la recta ta- P a, ( a) sería: ete a la curva e el puto ( ) ( a) d pediete ( T) ( a) lim TVI ( ), a a a d a A (a) se le deomia derivada de la ució e el puto = a.

3 Proesora: María José Sáchez Quevedo es la tasa de variació istatáea de e = a. ( a) TVI ( ), a d ( a) es la otació e ísica de la derivada de ua ució e u d a puto. Ejemplo: Calcular la pediete de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa =. Dibujarla. La pediete de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa = es el valor de la derivada e = : ( ) () () lim lim lim lim () pediete de larecta taete a e elputo P(, ()) (,) Ejemplo: Calcular la pediete de la recta taete a la curva abcisa =. Dibujarla. La pediete de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa = es el valor de la derivada e = : ( ) () () lim lim lim lim lim () es la pediete de larecta taete a e elputo P(, ()) (,) Ejemplo: Calcular la pediete de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa =. Dibujarla. ( ) () () lim 4 lim lim lim lim 4 pediete de larecta taete a e elputo P(, ()) (,) () pdte de la e el puto P (,) ( ) e el puto de () recta ta ete pdte de la recta ta ete e el puto P (, ()) (,)

4 Proesora: María José Sáchez Quevedo La pediete de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa = es el valor de la derivada e =, esto es () 4 :. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO Sea ( ) C( a), se tiee que: ( a) t a ( a) t ( a) t : ( a) ( a)( a) Es la ecuació de la recta taete a la curva e el puto (a, (a)) e la orma puto-pediete. Ejemplo: Ecuació de la recta taete a la curva ( ) e el puto de abcisa = : P, (), () () ( ) ( ) () La ormal a ua curva es la perpedicular a la taete e el puto de taecia. Para obteer la ecuació de la ormal tedremos e cueta: ta ta9 ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta Por tato la ecuació de la ormal e el ejemplo aterior sería: 4

5 Proesora: María José Sáchez Quevedo ( ) () () () Ejemplo: Hallar la ecuació de la recta taete a la curva ta e 4 t : ( a) ( a)( a) 4 ta ta ta 4 4 t : ( ) 4 Ejemplo: Hallar la ecuació de la taete a la parábola 5 6 paralela a la recta de ecuació t : ( a) ( a)( a) se descooce el puto de taecia a,(a), para lo cuál, como ha de ser paralela a - e el puto de taecia tedrá la misma pediete que: - m - esto es: a 5 6 a a 5 a 5 a t : ( ) Ejemplo: E la parábola se traza las taetes e los putos de abcisas = = -. Calcular el áulo que orma dichas taetes. La ecuació de la recta taete a la curva a, a. FUNCIÓN DERIVADA Cosideremos, por ejemplo, la ució calculamos () e u puto ( ), tomemos u puto eérico, ( ) lim lim lim lim ( ) Lueo si t : ( a) ( a)( a) t : ( ) t : ( ) ta m m 4 4 m m arcta ( ) ( ), de este modo ( ) () 4 5

6 Proesora: María José Sáchez Quevedo E eeral, dada ua ució, la ució derivada es ua aplicació de u subcojuto de los úmeros reales e otro subcojuto de los úmeros reales, tal que a cada valor de la variable idepediete le hace correspoder la derivada de la ució para ese valor: () () () () A D se le deomia campo de derivabilidad, es el cojuto de valores posibles para los que eiste la derivada, es decir, eiste el limite lim. Será u subcojuto del campo de eistecia de la cotiuidad: C( ) lim iito Paracada, () represetalapediete delarecta taete alacurva eelputo(, ( )) Ejercicios:. Obteer la derivada de la ució ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim lim lim ( ) ( ) ( ). Obteer la derivada de la ució ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim lim lim ( ) 4 ( ) ( ) 6

7 Proesora: María José Sáchez Quevedo 4. DERIVADAS SUCESIVAS La derivada de la ª derivada se llama derivada ª la otaremos por. La derivada de la ª derivada se llama derivada ª se deota por así sucesivamete. 5. DERIVADAS LATERALES Sea ( ) C( I) se deie la derivada lateral por la izquierda: ( ) ( a) ( a ) lim pediete ( T ) a a Y se deie la derivada lateral por la derecha: ( ) ( a) ( a ) lim pediete ( T ) a a Si las derivadas laterales o coicide o so iiitas, etoces la ució o es derivable. Cuado o es derivable e el puto = a, etoces e ese puto se puede presetar u:. Puto auloso: derivadas laterales iitas pero distitas. ( a ) ( a ) ( ) C( a). Puto de retroceso: derivadas laterales iiitas de distito sio. ( a ) ( a ) ( ) C( a). Puto de taete vertical derivadas laterales iiitas del mismo sio. ( a ) ( a ) ( ) C( a) 7

8 Proesora: María José Sáchez Quevedo Ejemplo: Estudiar la derivabilidad de la ució: 6 si ( ) 4 si E primer luar estudiamos la cotiuidad de la ució, pues e los putos e dode o es cotiua a o sería derivable: la ució es cotiua por tratarse de ucioes poliómicas. Veamos la cotiuidad e = : () 5 lim 6 5 lim ( ) () lim ( ) lim 4 5 Lueo la ució es cotiua e =. la ució es derivable por tratarse de ucioes poliómicas la ució derivada es: si ( ) 4 si Veamos si e = es o o derivable, para ello calculemos las derivadas laterales a izquierda a derecha e =: ( ) () ( ) lim lim lim lim lim ( ) ( ) () 6 5 ( ) lim lim lim lim lim ( ) Como las derivadas laterales so iitas pero distitas, se deduce que o es derivable que preseta e = u puto auloso. 8

9 Proesora: María José Sáchez Quevedo Ejemplo: estudia la derivabilidad de la ució deiida por: 4 si ( ) si E primer luar estudiamos la cotiuidad de la ució: la ució es cotiua por tratarse de ucioes poliómicas. Veamos la cotiuidad e = : () 5 lim 5 lim ( ) lim 4 5 Lueo la ució es cotiua e =. la ució es derivable por tratarse de ucioes poliómicas. si ( ) si Veamos si e = es o o derivable, para ello calculemos las derivadas laterales a izquierda a derecha e = : ( ) () 5 6 ( ) lim lim lim lim lim ( ) 4 5 ( ) () 9 ( ) lim lim lim lim lim 6 ( ) 6 Como las derivadas laterales so iitas pero distitas, se deduce que o es derivable que preseta e = u puto auloso. e = : Ejemplo: Estudia la derivabilidad de la ució deiida por: lim lim lim lim lim lim Al ser las derivadas laterales iiitas de distito sio, diremos que e = la ució preseta u puto de retroceso. 9

10 Proesora: María José Sáchez Quevedo Ejemplo: Estudia la derivabilidad de la ució deiida por: e = : lim lim lim lim lim lim Al ser las derivadas laterales iiitas de iual sio, diremos que e = la ució preseta u puto de taete vertical. Ejemplo: estudia la derivabilidad de la ució deiida por: si ( ) si E primer luar estudiamos la cotiuidad de la ució: la ució es cotiua por tratarse de ucioes poliómicas. Veamos la cotiuidad e = : () 5 lim 5 lim ( ) lim Por tato e = la ució o es cotiua, preseta ua discotiuidad de salto iito. E todo caso es cotiua por la derecha. Al o ser cotiua e = tampoco va a ser derivable, e setido lobal e =.

11 Proesora: María José Sáchez Quevedo 6. REGLAS DE DERIVACIÓN. Derivada de la ució costate: K. Derivada de ua costate por ua ució: a a. Derivada de la suma o dierecia de ucioes: 4. Derivada del producto de dos ucioes: 5. Derivada del cociete de dos ucioes: 6. Derivada de la ució iversa: 7. Rela de la Cadea: RESUMEN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN k k k R

12 Proesora: María José Sáchez Quevedo 7. TABLA DE DERIVADAS ELEMENTALES k a a l a e e l e e lo a lo l se cos cos se t sec ct cosec a sec sec t cosec cosec cota e COMPUESTAS () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e a ( ) ( ) e ( ) ( ) a l a ( ) ( ) ( ) l e ( ) e ( ) lo a ( ) lo a e ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) se ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) se ( ) ( ) t ( ) sec ( ) ( ) ct ( ) cosec ( ) ( ) sec ( ) sec ( ) t ( ) ( ) cosec ( ) cosec ( ) ct ( ) ( ) arc se arccos arct arcct arc sec arc se ( ) ( ) ( ) arc cos ( ) ( ) ( ) arct ( ) ( ) ( ) arcct ( ) ( ) ( ) arc sec ( ) ( ) ( ) ( ) k k kr REGLAS DE DERIVACIÓN

13 Proesora: María José Sáchez Quevedo 8. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA E IMPLÍCITA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Se emplea para derivar ua ució potecial-epoecial, esto es, de la orma ( ) ( ) El proceso es el siuiete:. Se toma e los dos miembros loaritmo eperiao ( ) l l ( ). Se desarrolla el loaritmo del º miembro l ( )l ( ). Se deriva e los dos miembros ( ) ( )l ( ) ( ) ( ) 4. Se despeja ( )l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l ( ) ( ) ( ) ( ) DERIVACIÓN IMPLÍCITA EJEMPLO: Ecuetra la ecuació de la recta taete a la curva: e el puto (, ). ( ) ( ( ) ( ) ( ) 9. REGLA DE L HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES Si teemos que lim eiste el lim lim lim