estar contenido estar contenido o ser igual pertenece no pertenece existe para todo < menor menor o igual > mayor mayor o igual

Transcripción

1 Tema I : Fucioes reales de variable real. Límites y cotiuidad 1. La recta real : itervalos y etoros. 2. Fucioes reales de variable real. 3. Fucioes elemetales y sus gráficas. 4. Límites de fucioes reales de variable real. 5. Cotiuidad. Teoremas fudametales. Cojutos Numéricos Números aturales: Números eteros: Números racioales: Números Irracioales: = { 0,1,2,3, } {, 2, 1,0,1,2, } = p =,siedo p,q, q 0 q o puede ser epresados e forma de fracció Números reales: = { I } I Símbolos matemáticos estar coteido estar coteido o ser igual perteece o perteece eiste para todo < meor meor o igual > mayor mayor o igual si y solo si INTERVALOS FINITOS O SEGMENTOS: dados a,b R. Itervalo cerrado: [a,b]={ R / a b} Itervalo abierto: (a,b)={ R / a < < b} It. semiabierto dcha: [a,b)={ R / a < b} It. semiabierto izda: (a,b]={ R / a < b} INTERVALOS NO FINITOS O SEMIRRECTAS: dado a R, semirrectas co orige e a, [a,+ )={ R / a} (a,+ )={ R / >a} semirrectas co etremo e a, (-,a]={ R / a} (-,a)={ R / <a} R + =(0,+ ); R 0+ =[0,+ ); R - =(-,0); R 0- =(-,0] ENTORNO: dados a R, ε > 0 Etoro de cetro a y radio ε : (a - ε, a + ε) Etoro a la derecha de a: (a, a + ε) Etoro a la izquierda de a: (a - ε, a) CONJUNTOS ABIERTOS: itervalos abiertos y uioes de itervalos abiertos. 1

2 2.FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ua fució es ua correspodecia etre dos cojutos que asiga a cada elemeto del primer cojuto uo y sólo uo del segudo cojuto. A, y=f() B, f: A B, y=f() cuado A,B R, fució real de variable real. DOMINIO: cojuto de putos e los que tiee setido su epresió matemática. f: A B, Dom(f)=A R y=f() OPERACIONES CON FUNCIONES: f: A R, g: A R, y=f() y=g() Suma: f() + g() Producto: f(). g() Cociete: f() / g(), g() 0 OPERACIONES CON FUNCIONES Fucioes iversas Composició: f:a B, g:b C, g f:a C (g f)()=g(f()) y = 2 Bisectriz y= Fució iversa: f: A B, f -1 : B A, (f -1 f)() =, A, Las gráficas de f(), f -1 () so simétricas respecto a la recta y=. y = Mootoía: Crecimieto o decrecimieto Acotació m f() M f(y) f creciete f f() f decreciete M f() f(y) f f() y y f() < f(y) f() > f(y) m 2

3 Máimos y miimos locales y globales f:[a,m] Máimos y miimos globales vs Acotació Máimos locales: b,d,m. Maimo global: m Maimo global: m Acotada superiormete Míimos locales: a,c,e. Míimo global: c f() a b c d e m a c m Míimo global: c Acotada iferiormete CONCAVIDAD CONVEIDAD f es covea el segmeto que ue dos putos cualesquiera de su gráfica queda por ecima de la misma. f es cócava el segmeto que ue dos putos cualesquiera de su gráfica queda por debajo de la misma 3.FUNCIONES ELEMENTALES SUS GRÁFICAS. Fució lieal: f()=a+b, recta Fució cuadrática: f()=a 2 +b+c,parábola Fució racioal: Fució potecial: P() f() = Q() f() = r Fució epoecial: f() = a, a > 0 Fució epoecial atural: Cociete de poliomios f() = e Fució logarítmo eperiao: f() =l 3.FUNCIONES ELEMENTALES SUS GRÁFICAS. Fució lieal : f()=a+b, a,b R Dom(f)=R. Gráfica: recta a: pediete de la recta a>0 recta creciete a<0 recta decreciete b: ordeada e el orige (puto de corte co el eje O ) Distitas formas de ecuació de la recta: forma eplícita: y = a + b, forma implícita: A + By + C = 0 forma puto ( 0,y 0 ), pediete (a): y- y 0 = a (- 0 ) pasa por dos putos ( 0,y 0 ) y ( 1,y 1 ) (- 0 ) (y- y = 0 ) ( 1-0 ) (y 1 -y 0 ) 3

4 Caso particular : Fució valor absoluto, si 0 f() = =, si < 0 Fució cuadrática f()=a 2 +b+c, a 0 Dom(f)=R. Gráfica: parábola a>0 es covea co míimo global e =-b/2a. a<0 es cócava co máimo global e =-b/2a. =-b/2a eje de simetría de la parábola Fució poliómica de grado 3 (cúbica) Ej.: y= 3 Fucioes racioales y = f() = P() P() y Q() so poliomios Q() Dom (f) = R - {valores que aule el deomiador} Fució poliómica de grado 4 Ej.: y= 4 Caso particular: f()= 1 Dom (f) = R -{0} Hipérbola equilátera Fucioes poteciales y = f() = r Si r Z, se tiee fucioes poliómicas o racioales Si r = p/q y = f() = p/q q = p Dom (f): depede de los valores de p y de q Casos particulares: f() = 1 f() = Propiedades de las potecias: a a = a m a m = a a m (a ) = a m m+ m (a b) = a b a a = b b 1 a = a 4

5 Fució epoecial y = f() = a, a > 0 Dom (f) = R; f() > 0; f(0) = 1 Caso particular: fució epoecial atural y = f() = e El úmero e= lim (1+1/) = Fució logarítmo eperiao y = f() = l = log = L Dom (f) = R + ; y = l e y = Propiedades de los logarítmos eperiaos: L 1 =0 L ( y) = L + L y El modelo epoecial: y = f() = C e k, ( C y k so costates) e L = L e = L (/y) = L L y L = L Las fucioes epoecial y logarítmica so iversas: sus gráficas so simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrate y=. y = e y = y = l 4.LÍMITES DE FUNCIONES lim f() = L f: A R, a R Las imágees de putos próimos a a esta próimas a L Si está e u etoro de a f() está e u etoro de L Uicidad del límite Si eiste el límite de ua fució es úico LÍMITES LATERALES lím f() lím f() + lím f() - OPERACIONES CON LÍMITES: Lim [f()+g()] = Lim f() + lim g() Idetermiació!: - lím f()= + lím f()= lím f()=l - Lim [f() g()] = Lim f() lim g() Idetermiació!: 0 5

6 Lim [f() /g()] = Lim f() / lim g() Idetermiació!: 0/0 / Lim [f()] g() lim g() = [Lim f()] Limite de la fució logarítmo eperiao Lim [L f()] = L [Lim f()] Epresioes determiadas: L 0 = - L 1 = 0 L = Limite de la fució epoecial Idetermiació!: Lim a = + 0, si 0 < a < 1 +, si a>1 ASÍNTOTAS: Rectas a las que se aproima la fució cuado tiede a u determiado valor Asítota vertical: = k =k Asítota vertical: Asítota horizotal: = k y = b Se obtiee: lím f() = k k Asítota oblícua: y = m + Estudiar límites laterales y sigo del límite Asítota horizotal: y = b Se obtiee: lím f() = b ± b y=b Asítota oblícua: y = m+ Se obtiee: = f() m lim ± ( ) = lim f() m ± y=m+ Estudiar limite e ± y sigo del límite Estudiar el límite e ± y sigo del límite 6

7 ASÍNTOTAS: Rectas a las que se aproima la fució cuado tiede a u determiado valor =k Asítota vertical: =k Se obtiee: lím f() = k k estudiar lím.laterales y sigo del lím. Asítota horizotal: y=b Se obtiee: lím f() = b ± estudiar e ± y sigo del límite b y=b 5.CONTINUIDAD de ua fució e u puto f: A R, a A, f es cotiua e a lím f()=f(a) f cotiua a la derecha de a f cotiua a la izquierda de a lím f()=f(a) + lím f()=f(a) - f es cotiua e a lo es a la izqda y a la dcha Asítota oblícua: y=m+ y=m+ f es cotiua e su domiio A si lo es A m=lím f()/ ; =lím(f()-m) ± ± estudiar e ± y sigo del límite f es cotiua e [a,b] es cotiua e (a,b), por la dcha e a y por la izqda e b. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Sea f,g: A R, cotiuas e a A, etoces f + g es cotiua e a f g es cotiua e a f/g es cotiua e a, siedo g(a) 0 Si f es cotiua e a y g lo es e f(a), etoces g f es cotiua e a Si f es cotiua e a y admite iversa, etoces f - ¹ es cotiua e f(a) TEOREMA DE BOLZANO f: [a,b] R, cotiua tal que f(a) f(b) < 0, (toma valores de distito sigo e los etremos de [a,b] ) c (a,b) tal que f(c) = 0 El teorema de Bolzao o asegura que la raíz sea úica TEOREMA DE WEIERSTRASS f: [a,b] R, cotiua f alcaza su máimo y su míimo absoluto e [a,b] Toda fució cotiua e [a,b] es acotada. El recíproco o es cierto 7