MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

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1 MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes de fucioes resulta útiles para demostrar que sólo hay tres mosaicos regulares y como el puto de vista fucioal permite visualizar la relació etre los mosaicos regulares y los poliedros regulares Mosaicos regulares Los mosaicos regulares so costruccioes geométricas que resulta de recubrir u plao co u polígoo regular. La eplicació de por qué, por ejemplo, co los triágulos equiláteros se puede embaldosar el suelo y co los petágoos regulares o, es bastate simple. La suma de todos los águlos que cocurre e u puto ha de ser 360º. Si hacemos coicidir seis triágulos equiláteros, dado que cada águlo es de 60º, teemos 6 60º = 360º. Pero si hacemos coicidir tres petágoos, dado que cada águlo es de 08º, teemos que 3 08º = 32º. Nos falta 36º para sumar los 360º, u águlo demasiado pequeño para ecajar u cuarto petágoo. Utilizado esta codició es muy fácil llegar a la covicció de que etre todos los polígoos regulares, sólo el triágulo, el cuadrado y el heágoo permite embaldosar el suelo.

2 Llegar a la covicció de que sólo hay tres mosaicos regulares se puede coseguir co ua actividad que se puede trabajar e último ciclo de primaria -tal como se puede ver, por ejemplo, visitado la págia Web realizada por los maestros y alumos del CEIP Pompeu Fabra de Lloret de Mar ceip-pompeufabra-lloret/ciecia/mosaic.htm-. Tambié es ua actividad habitual e muchos de los libros de teto de la ESO. Ua cuestió que resulta más complicada es demostrar por qué sólo hay estos tres mosaicos regulares. Supogamos coocida la fórmula ( 2) que os permite saber el águlo iterior de u polígoo regular. Dado que la suma de todos los águlos que cocurre e u puto ha de ser 360º, el águlo iterior ha de ser u divisor de 360º: ( 2) = 360º m (*) dode idica el úmero de lados del polígoo regular y m el úmero de polígoos que cocurre e u vértice. A partir de esta epresió se obtiee ua ecuació equivalete:

3 2 = m 2 (-2)m = 2 m -2m -2 = 0 m -2m -2 + = (-2)(m-2) = que tiee como solucioes eteras positivas, co mayor o igual que tres, las siguietes: = 3 y m = 6 ; 2 = y m 2 = ; 3 = 6 y m 3 = 3 Ua de les maeras de obteer estas solucioes cosiste e cosiderar que las posibilidades para escribir como u producto de dos úmeros aturales so: = -2 = y m-2 = = 3 y m = = -2 = 2 y m-2 = 2 = y m = = -2 = y m-2 = = 6 y m = 3 La técica que se ha aplicado es la que se aplica para resolver u caso particular de ecuació diofática A 2 + By + Cy 2 + D + Ey + F = 0. La técica de resolució de esta ecuació depede de los valores de A, B y C. Estos coeficietes determia el tipo de curva que la ecuació represeta e el plao: ua recta doble, ua elipse, ua parábola, ua hipérbola o u par de rectas. Estas curvas so el cojuto de solucioes reales y los putos co coordeadas eteras so el cojuto de solucioes de las ecuacioes diofáticas. Cuado A = C = 0 y B 0 se trata del llamado caso hiperbólico simple. La resolució se obtiee por el siguiete procedimieto: Al ser A = C = 0, la ecuació origial se reduce a By + D + Ey + F = 0, por tato: By + D + Ey + F = 0 By + D + Ey = -F B 2 y + BD + BEy = -BF

4 B 2 y + BD + BEy + DE = DE - BF (B + E) (By + D) = DE - BF Los valores de y y se puede hallar a partir de los divisores de DE - BF. Sea d, d 2,..., d todos los divisores de DE - BF. Las solucioes so: B + E = d i B = d i - E d i E = B ( DE BF) By + D= d i By = ( DE BF) D d i ( DE BF) y = Bd i D B 2 Trasformacioes de fucioes E el ivel de Bachillerato, otra maera de demostrar que sólo so posibles estas tres solucioes cosiste e iterpretar estas solucioes como putos de coordeadas eteras positivas, co la primera coordeada mayor o igual que tres, de la gráfica de la fució 2 = ya que la ecuació (*) se puede trasformar de la maera siguiete: 2 ( 2) = 360º 2 (-2)m = 2 m = m 2 Las trasformacioes permite hallar los putos de coordeadas eteras positivas co la primera coordeada mayor o igual que tres. E efecto la fució 2 = se puede 2 trasformar e = 2 +. Por tato, la gráfica de esta fució se puede cosiderar 2

5 como la gráfica que resulta de trasladar dos uidades e vertical hacia arriba la grafica de la fució =, la cual a su vez se puede cosiderar como la gráfica que resulta de 2 trasladar e horizotal dos uidades hacia la derecha la gráfica de la fució =, la cual a su vez es ua dilatació de la gráfica de la fució = La fució = sólo tiee u puto co las dos coordeadas eteras positivas -el puto (,)-. La fució = sólo tiee tres putos de coordeadas eteras positivas ya que, al multiplicar por cuatro las ordeadas de los putos de la gráfica de la fució =, los úicos valores cuyo producto por es u úmero atural, so:, /2 y /. Por tato, los putos de coordeadas eteras positivas so (,), (2,2) y (,). Por otra parte, estos tres putos so los úicos que al sumar dos a su primera coordeada cotiúa dado como resultado putos de coordeadas eteras positivas: (3, ), (,2) (6,). Estos tres putos so los úicos que al sumar dos a su seguda coordeada cotiúa dado como resultado putos de coordeadas eteras positivas: (3, 6), (,) y (6,3). Por otra parte la fució = sólo tiee otro puto co las dos coordeadas eteras egativas -el puto (-,-)-. La fució = sólo tiee tres putos de coordeadas eteras egativas, ya que al multiplicar por cuatro las ordeadas de los putos de la gráfica de la fució =, los úicos valores tal que su producto por es u úmero etero

6 egativo so -, -/2 y -/. Por tato los putos de coordeadas eteras egativas so (-,- ), (-2,-2) y (-,-). Por otra parte estos tres putos so los úicos tal que al sumar dos a su primera coordeada cotiúa dado como resultado putos de coordeadas eteras: (, - ), (0,-2) y (-2,). Estos tres putos so los úicos tal que al sumar dos a su seguda coordeada cotiúa dado como resultado putos de coordeadas eteras: (, -2), (0,0) y (-2,3). Por tato los úicos putos de coordeadas eteras positivas de la grafica de la fució 2 =, co la primera coordeada mayor o igual que tres so: (3, 6), (,) y (6,3). 2 3 Poliedros regulares La fució 2 = tambié puede ser útil para hallar los poliedros regulares y, 2 sobretodo, para ver la relació etre los poliedros regulares y los mosaicos regulares. E efecto, ua vez que los alumos ha llegado a la coclusió de que para formar u poliedro regular es ecesario que la suma de los águlos que cocurre e u vértice sea iferior a 360º podemos escribir la siguiete codició que ha de cumplir los poliedros regulares: ( 2) < 360º m dode idica el úmero de lados y m el úmero de polígoos regulares que cocurre e u vértice. Tal como hemos visto e el apartado 2: ( 2) = 360º 2 (-2)m = 2 m = m 2 Los putos co coordeadas eteras positivas de la gráfica de la fució 2 = so 2

7 los que os idica los polígoos regulares que tesela el plao: (3, 6), (,) y (6,3). Pero qué iformació os da los putos de coordeadas positivas que está por debajo de la grafica? Y los que está por ecima?. La respuesta es la siguiete: Esta gráfica permite ver que los úicos poliedros regulares so Nº de lados del polígoo Nº de polígoos Nombre 3 (Triágulo) 3 Tetraedro 3 (Triágulo) Octaedro 3 (Triágulo) 5 Icosaedro (Cuadrado) 3 Cubo 5 (Petágoo) 3 Dodecaedro Coclusió

8 Cosideramos que la aplicació que hemos epuesto de las trasformacioes de fucioes a los mosaicos regulares puede ser u bue ejemplo de cómo superar la simple eplicació mecáica de dichas trasformacioes mostrado su aplicació práctica. ************************ La técica que hemos cometado tambié se puede aplicar al estudio de los mosaicos semiregulares (Fot V.: 2002, Algues aplicacios de les trasformacios de fucios al Batillerat, Bia 20, e presa)

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