2 Conceptos básicos y planteamiento

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció E muchos casos estaremos iteresados e hacer u estudio cojuto de varias características de ua població. Para fijar ideas y para o complicar la otació supogamos que deseamos estudiar dos características cuatitativas X e Y de ua població (cosideramos variables cuatitativas porque los coceptos que se va a defiir, sólo tiee setido para ellas. X e Y puede ser la logitud y la achura de ua especie de isectos, la tasa de iflació y la tasa de desempleo de u país a lo largo de ua serie de años, etc. El objetivo fudametal e este capítulo será ecotrar ua fució lo más secilla posible que exprese (de maera resumida la relació que se observe etre X e Y a partir de los datos obteidos. Nos cetraremos e el caso e que esta relació sea de tipo lieal y pueda expresarse razoablemete bie mediate la recta de regresió de Y sobre X. Esta recta de regresió es muy útil porque puede ser utilizada para muchas relacioes o lieales, mediate secillos cambios de las variables origiales. 2 Coceptos básicos y plateamieto Para hacer el estudio cojuto de las variables cuatitativas X e Y, supodremos que dispoemos de ua muestra de pares de observacioes de X e Y : (x 1, y 1,..., (x, y Es decir, para el elemeto i-ésimo de la muestra observamos lo que vale las variables X e Y. Esto es fudametal para poder decir algo sesato sobre la posible relació etre las variables. Igual que e el capítulo dedicado a la Estadística Descriptiva de ua variable, o se hará igua meció sobre cómo se ha obteido la muestra. Teemos e mete la idea de que represeta a la població total (de algua forma, pero esta idea i se precisará i se ecesitará (de mometo. Por supuesto, se puede hacer u estudio de cada variable por separado y calcular, e particular, medidas de cetralizació y de dispersió como x,, ȳ, v y. Además, estos valores los ecesitaremos más adelate. Pero, como ya hemos idicado, o es éste el objetivo fudametal. 1

2 Ates de hacer cualquier cálculo, coviee represetar e el plao los pares de valores obteidos. Co esto obteemos u diagrama de dispersió co ua ube de putos, que os puede dar ua idea visual de las posibles relacioes existetes. Además de los coceptos ya estudiados de media y variaza, vamos a ecesitar e uestro estudio el cocepto de covariaza; este cocepto utiliza las dos variables a la vez. Defiició.- La covariaza muestral etre las observacioes de X e Y se defie como co,y = 1 (x i x(y i ȳ La maera más secilla de calcular la covariaza es haciedo u desarrollo similar al de la variaza: co,y = 1 i x(y i ȳ = (x 1 ( x i y i x y i ȳ x i + xȳ x i y i xȳ La covariaza va a aparecer de maera atural al obteer rectas de regresió (u poco más adelate. De mometo, es fácil ver que existe ua relació etre el sigo de la covariaza y el tipo de asociació que hay etre X e Y : 1. Cuado los valores de Y tiede a crecer al crecer los valores de X, decimos que hay ua asociació positiva etre X e Y. Es fácil razoar gráficamete a partir de la defiició de covariaza para ver que, e este caso, la covariaza será positiva. 2. Cuado los valores de Y tiede a dismiuir al crecer los valores de X, decimos que hay ua asociació egativa etre X e Y. Es fácil razoar gráficamete a partir de la defiició de covariaza para ver que, e este caso, la covariaza será egativa. 3. Fialmete, cuado o parece haber ua ifluecia clara de X sobre Y (es decir, cuado los valares de X aumeta, o se aprecia i aumeto i dismiució de los valores de Y, tambié es fácil ver que, e este caso, el valor de la covariaza será próximo a cero. 2

3 3 Modelo de regresió lieal Supogamos que la ube de putos obteida e el diagrama de dispersió de Y sobre X sugiere ua relació lieal etre las variables, bie co ua asociació positiva, bie co ua asociació egativa etre ellas. E estos casos, parece bastate razoable itetar resumir toda la ube de putos mediate ua recta; co esta recta se trataría de formalizar la idea de que existe ua cierta relació lieal etre los valores de X e Y. Ua de las variables jugará el papel de variable idepediete (X y la otra desempeñará el papel de variable respuesta (Y o variable depediete de la primera. Esta secció está dedicada a obteer la recta de regresió de Y sobre X. Defiició.- La recta de regresió de Y sobre X es la recta y = a+bx que miimiza el error cuadrático medio (E.C.M.: E.C.M. = 1 (y i a bx i 2 La idea de la recta de regresió es secilla: itetamos ecotrar la recta que mejor represeta a la ube de putos, e el setido de miimizar la media de los cuadrados de las distacias verticales de los diferetes putos de la ube a la recta. El problema de hallar esta recta de regresió se reduce al problema técico de miimizar ua fució (E.C.M. de dos variables (a y b. Eso es lo que hacemos a cotiuació: E.C.M. = 1 (y i a bx i 2 yi 2 + a 2 + b 2 x 2 i 2a y i 2b x i y i + 2ab x i Derivado co respecto a cada variable e igualado a cero, obteemos el siguiete sistema de ecuacioes: (E.C.M. 2a 2 y i + 2b x i = 0 a (E.C.M. 2b x 2 i 2 x i y i + 2a x i = 0 b La solució del sistema aterior se obtiee de maera imediata: a = ȳ co,y x ; b = co,y 3

4 Se puede comprobar (pero o lo haremos que esta solució correspode a u míimo de la fució. Por tato, la recta de regresió de Y sobre X es: y = a + bx = ȳ co,y x + co,y x E defiitiva, la recta de regresió de Y sobre X se puede escribir de la siguiete forma: y ȳ = co,y (x x 4 Evaluació del ajuste La recta de regresió de Y sobre X que acabamos de estudiar se puede obteer para cualquier cojuto de datos pero, obviamete, e uos casos, esta recta resumirá muy bie la ube de putos (bue ajuste, y e otros casos, la resumirá peor (mal ajuste. La herramieta umérica que se suele utilizar para evaluar la bodad de este ajuste es el coeficiete de correlació lieal, que se defie a cotiuació. Defiició.- El coeficiete de correlació lieal etre X e Y se defie como: r = co,y vx v y El problema iicial del coeficiete de correlació es que, a partir de la defiició, o se sabe cuál es su sigificado. Este sigificado quedará muy claro e cuato veamos que el error cuadrático medio cometido co la recta de regresió de Y sobre X se puede expresar e fució del coeficiete de correlació lieal: Error cuadrático medio cometido co la recta de regresió = 1 ( y i ȳ + co,y x cov 2 x,y x i ( (y i ȳ 2 covx,y 2 + (x i x 2 2 cov x,y (x i x(y i ȳ = v y (co,y 2 [ = v y 1 (co,y 2 ] = v y (1 r 2 v y Ahora es fácil decir varias cosas sobre el sigificado de r, y sobre sus posibles valores: 4

5 1. El coeficiete de correlacio lieal toma siempre u valor etre -1 y +1 (ya que el E.C.M., al ser ua suma de cuadrados, o puede ser egativo. 2. Cuado el valor de r es próximo a +1, el error cuadrático medio cometido co la recta de regresió es próximo a cero y, por tato, el ajuste es bueo. Además, tedremos ua asociació positiva etre X e Y, ya que la covariaza es positiva (por ser r positivo. 3. Cuado el valor de r es próximo a -1, el error cuadrático medio cometido co la recta de regresió es uevamete próximo a cero y, por tato, el ajuste es bueo. Además, tedremos ua asociació egativa etre X e Y, ya que la covariaza es egativa (por ser r egativo. 4. Cuado el valor de r es próximo a cero, el error cuadrático medio cometido co la recta de regresió se hace mayor y, por tato, el ajuste es malo. Además, observemos que, e este caso, o habrá ua clara ifluecia de X sobre Y, ya que el valor de la covariaza es próximo a cero (por ser r próximo a cero. 5. Fialmete, señalemos que el valor de r siempre hay que tomarlo co precaució ya que resume e u sólo úmero toda la riqueza de la ube de putos. 5

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