Prueba A = , = [ 7.853, 8.147]

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de 5 Prueba A 1- Es coocido que el úmero de horas diarias que duerme los estudiates de bachillerato de ua regió es ua variable N ( µ,15) a) Si para ua muestra de 4 estudiates se ha obteido ua media muestral igual a 8 horas dedicadas a dormir, establecer u itervalo de cofiaza del 95% para µ b) Si se admite que µ = 8 y se toma ua muestra de 36 estudiates, cuál es la probabilidad de que la media muestral de horas dedicadas a dormir sea meor o igual que 75 Solució σ σ a) x zα, x + zα = 8 196, = [ 7853, 8147] 4 4 b) X N 8, 15 = ( 8, 5) 6 N ; p( X 75) = p( Z ) = 7 - Hace 1 años, el cosumo medio mesual de electricidad por vivieda e Caarias era de 3 Kw E el año 5 se ha tomado ua muestra aleatoria de 5 viviedas y se ha obteido u cosumo medio mesual de 37 Kw co ua desviació típica de 8 Kw a) Co u ivel de sigificació del 1%, se acepta que el cosumo medio ha aumetado,? b) Para estimar el cosumo medio co u error meor de 6 Kw y co u ivel de cofiaza del 9%, que úmero de viviedas es ecesario cosiderar? Solució El cotraste que hay que platear es: H: µ 3= µ H1 : µ > 3 σ 8 a) Regió crítica: x > µ + zα = x > = { x > 3448} Se rechaza H 5 b) z α σ 8 8 < E 16 < > =, es decir, > Sea S( x ) la fució que os da el úmero de solicitudes para comprar accioes de ua determiada empresa e fució de los días, x, que dichas accioes lleva e el mercado bursátil: S ( x) = x + x + 9 Calcular: a) El periodo e que dichas solicitudes aumeta

2 b) Alcaza algú máximo o míimo la fució? Razoa la respuesta a) Cuátos días trascurre para que o haya solicitudes de compra? Solució a) y b) S ( x) = x+ =, x =, tato, las solicitudes aumeta hasta S = < Tiee u máximo relativo e x = x = y dismiuye a partir de este valor ± ± 75 c) Si Sx ( ) = x+ x+ 9 =, etoces x = = La respuesta es 6 días x 4- Uos jóvees quiere pitar ua parte de u mural que está limitada por la curva y = + 3 y por el eje OX Si se mide e decímetros, se pide: a) Represetar la zoa a pitar b) Si cada spray cuesta euros y sirve para pitar medio metro cuadrado, Cuáto gastará e pitura? Solució x a) Si y = + 3 =, etoces x =± 8 Por c) El área a pitar es x x A= + dx = + x = = dm Esto so = m Por tato, como cada spray da para se ecesita es 341 = 68 Por tato se ecesita 7 sprays y gastará 14 euros 5 5 m, el úmero de spray que

3 5- E ua tieda hay u total de 15 teléfoos móviles de tres tipos: A, B y C Si el úmero de los del tipo C duplica la suma de los de los otros dos tipos y el úmero de los de tipo A es igual a la quita parte de los de tipo C: a) Platear el correspodiete sistema de ecuacioes b) Determiar el úmero de de teléfoos móviles de cada tipo que hay e la tieda Solució a) Sistema A+ B+ C = 15 C = 1 ( A+ B) = C Solució A = C C = 3 A = 5

4 Prueba B 1 El 6% de los jóvees de secudaria y bachillerato tiee cosola de videojuegos Si e u istituto hay 8 alumos a) Cuátos se espera que tega cosola de videojuegos? La variable X = º de jovees, de 8, que tiee viedeocosola, sigue ua distribució biomial de parámetros = 8 y p = 6 El valor medio esperado e ua variable B(, p ) es p, E[ X ] = 8 6 = 48 e este caso b) Cuál es la probabilidad de que más de 5 tega cosola de videojuegos? Nos pide calcular, P( X > 5), hacerlo directamete supodría los 3 casos del 51 hasta 8, o bie por el complemetario supodría los 51 casos del hasta 5 E ambos casos el cálculo a realizar es muy grade Vamos a comprobar si se da las codicioes para aproximar X ' N p, p (1 p) ua biomial por ua ormal ( ) p > = 48 > 5 e este caso (1 p) > 5 8(1 6) = 3 > 5 X ' N 48,1385 de X por ( ) por tato se puede utilizar la aproximació X ' P( X > 5 ) P( X ' > 55) = P > = P( z > 148) = Si o se hace correcció por cotiuidad X ' P( X > 5 ) P( X ' > 5) = P > = P( z > 144) = c) Cuál es la probabilidad de que el º de jóvees co cosola de videojuegos este etre 47 y 5 (ambos iclusive)? X ' P( 47 X 5) P( 4695 X ' 55) = P = = P 76 z 148 = P z 148 P z 76 = = = 77 Si o se hace correcció por cotiuidad ( ) ( ) ( ) X ' P( 47 X 5) P( 47 X ' 5) = P = = P z = P z P z = ( 7 144) ( 144) ( 7) = = Queremos estimar la proporció poblacioal de estudiates que abadoa la carrera de medicia a lo largo de los tres primeros años Para ello tomamos ua muestra de 5 estudiates que comezaro dichos estudios, comprobado que 3 de ellos ha abadoado Se pide: a) Estimar la proporció de abadoos durate los tres primeros años e la població de estudiates de medicia co ua cofiaza del 95%

5 3 = 5; pˆ = =,14; α =,5; α / =,5; z,5 = 1,96 5 ˆ( 1 ˆ) ˆ( 1 ˆ) ˆ p p, ˆ p p z p z p α + α = 14( 1 14) 14( 1 14) =,14 1,96,,14 1,96 = 5 5 = 14 ± = 97,187 [ ] [ ] b) Supoiedo que aú o se ha tomado la muestra y que queremos hacer la estimació cometiedo u error meor del 3%, co u ivel de cofiaza del 95% de que tamaño debería ser dicha muestra? p(1 p) zα < E Como os dice el euciado del apartado, o teemos iformació muestral, acotamos p(1-p) por 5 y se tiee 5 zα / 196 zα < E > E = = 3 Por lo tato hace falta u muestra de al meos 168 uidades 3- Se afirma que, al meos, el 35% de los jóvees oye música habitualmete e u aparato que reproduce ficheros e formato MP3 Se realiza ua ecuesta a 9 de esos jóvees y resulta que 3 o utiliza tales aparatos a) Si α = 5, se puede aceptar la afirmació aterior? Cotraste: H : p,35= p 3 = 9; pˆ = =,333; α =,5; z,5 = 164 H1 : p < 35 9 ( p ) p a) Regió crítica: pˆ < p zα = pˆ < = { pˆ < 33} 9 Como p ˆ = 333 > 33 se acepta H b) Se obtiee la misma coclusió si α = 1? z,1 = 18 ( p ) p Regió crítica: pˆ < p zα = pˆ < = pˆ < 39 9 Como p ˆ = 333 > 39 tambié se acepta H { } 4- El precio p de compra de u articulo esta e fució del º de uidades x que se compra x px ( ) = 3 El umero de uidades que se compra depede del º del día del año d ( d va desde 1 a 365) xd ( ) = d 3d + 5 a) A cuáto asciede la factura del día 74 del año?

6 El día 74 el pedido es de x (74) = = 876 uidades co lo cual el precio 876 será p (876) = 3 = 5865 Por tato la factura del día 74 asciede a: = 187,4 b) Qué día se paga el mayor precio? Cuál es? El precio e fució del día del año es d 3d + 5 p( xd ( )) = 3 = d 5d Para obteer el máximo derivamos e igualamos a cero p'( d) = 15 1d ; p'( d) = 15 1d = d = 15 el máximo precio se alcaza el día 15(Nota: es u máximo ya que p''( d ) = 1 < ) Y el precio máximo es p(x(15))=875 Tambié se puede razoar diciedo que el precio es claramete ua fució decreciete e x ya que es ua recta de pediete egativa, y el mayor precio se alcazará e el día que meos uidades se pida El míimo de x( d ) se obtiee derivado e igualado a cero x'( d) = d 3; x'( d) = d 3 = d = 15 p(x(15))=875 b) Qué día se paga el meor precio? Cuál es? Por lo dicho ateriormete, el meor precio se pagará el día que más uidades se pida Como x( d ) o tiee máximo relativo, el máximo se alcazará e uo de los extremos del itervalo x(1) = = 471 x(365) = = 4875 Por lo que el precio míimo es p (4875) = Para seguir ua dieta de adelgazamieto, se recomieda u preparado dietético, mezclado dos productos A y B, co las siguietes codicioes: (1) La catidad de producto B o debe superar a la catidad de producto A () La catidad de mezcla igerida o debe superar los gramos (3) La catidad de producto A o debe superar los 15 gramos Si, e cada gramo, el producto A cotiee 4 grs de vitamias y el producto B cotiee 3 gramos de vitamias a) Represetar la regió factible Max f ( x, y) = 4x + 3y x y x+ y x 15 f (1,1) = = 7 f (15, ) = = 6 f (15,5) = = 75 b) Cuátos gramos de cada producto hay que icluir e la mezcla para maximizar su coteido vitamíico? 15A,5B

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