ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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1 ESTADÍSTICA INFERENCIAL INTRODUCCIÓN Durate años la estadística se ha dedicado fudametalmete al desarrollo de la Estadística Descriptiva, cuya pricipal labor como hemos visto es recopilar datos, ordearlos, represetarlos gráficamete y calcular alguos parámetros que pueda daros ua represetació de la totalidad de ellos. Esta cocepció de la Estadística cambió durate el siglo XX co el acimieto de la Estadística Iferecial cuyo objetivo es obteer coclusioes válidas para toda la població a partir del estudio de ua muestra. Esta rama ecesita apoyarse fuertemete e la teoría de las probabilidades para los cálculos y coclusioes. La primera preguta a la que debe cotestar u ivestigador es la de cómo elegir ua muestra y el tamaño de la misma. Hemos visto ya, e el tema de estadística descriptiva, las diferetes técicas de muestreo y de forma muy sucita e qué casos debería utilizarse para que la muestra resulte lo más represetativa posible de la població. El siguiete paso será realizar iferecias sobre los parámetros poblacioales a partir de los datos y parámetros muestrales y coocer el marge de error que podemos cometer. De forma muy elemetal esto es lo que vamos a estudiar e este tema, abordado úicamete los resultados que se obtiee e muestreos co reemplazamieto, e los que todos los idividuos tiee la misma probabilidad de ser elegidos A lo largo del tema represetaremos por N al tamaño de la població y por al de la muestra DISTRIBUCIONES MUESTRALES Las muestras aleatorias obteidas de ua població so, por aturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma població tega la misma media muestral o que sea completamete parecidas. Si embargo, pretedemos que los parámetros de las muestras os permita decidir sobre la aproximació más coveiete de los parámetros de la població. Por ello, es ecesario comezar estudiado el tipo de distribució que sigue los parámetros muestrales. 1 Distribució de la media muestral Supogamos que elegimos ua primera muestra de tamaño de ua població, esta dará ua media x 1 de la variable que se esté estudiado (pesos, alturas, etc), otra muestra diferete elegida dará otro valor medio x y así sucesivamete. Si cosideramos todas las muestras posibles de tamaño que se puede extraer de esa població, la variable aleatoria que a cada ua de esas muestras le hace correspoder su media se llama media muestral y se represeta por X. Dicha variable tomará los valores : X.={ x 1, x,..., x k } Pág:1

2 Al ser X ua variable aleatoria podemos estudiar su distribució, a la que llamaremos distribució de la media muestral. Si demostrarlas vamos a dar alguas de las propiedades de esa distribució 1. La media muestral coicide co la media de la població. Es decir X. La desviació típica muestral es igual a la desviació típica de la població dividida por la raíz cuadrada de (tamaño de la muestra). X (siempre que la muestra sea co reemplazamieto) 3. Si la distribució de partida se distribuye segú ua N(, ), la distribució de las muestras de tamaño se distribuye segú ua ormal N(, ) 4. E el caso de que la població o se distribuya segú ua ormal, la distribució de las muestras si lo hace cuado el tamaño de estas sea por lo meos de 30 idividuos. Esto queda establecido por el teorema cetral del límite que dice: Si ua muestra aleatoria de tamaño procede de ua població co media y desviació típica y el tamaño de la muestra es 30, las medias muestrales se distribuye segú ua ormal de media y desviació típica ; N(, ) Ejemplo: El gasto total semaal de los jóvees de ua ciudad tiee ua media de 5 y ua desviació típica de 3 Cuál es la probabilidad de que el gasto medio de 49 jóvees, elegidos al azar, esté compredido etre 4 y 6? Dado que el tamaño de la muestra es > 30 la distribució de las medias es N(5, 3 = =N(5,3/7); P(4< X<6)=P( 3/7 Z 65 3/7 =P(- 33<Z< 33)=P(Z< 33)-(1-P(Z< 33))=.P(Z< 33)-1=0 980 Pág:

3 . Distribució de la proporció muestral Supogamos ahora que estudiamos si los idividuos de ua població tiee o o ua determiada característica. Habrá ua proporció p de idividuos que si la tiee y el resto de idividuos, ua proporció q=1-p, que o la tiee. Recordemos que su estudio se puede realizar mediate distribucioes biomiales B(,p), siedo =úmero de esayos y p=probabilidad o proporció de idividuos que tiee la característica estudiada. Si tomamos distitas muestras de tamaño, la primera os dará ua proporció p 1, la seguda ua proporció p y así sucesivamete. De maera aáloga a lo hecho co las medias, podemos cosiderar todas las posibles muestras de tamaño y cosiderar las proporcioes muestrales P como ua variable aleatoria. A la distribució de la variable P descrita le llamaremos distribució muestral de las proporcioes Propiedades 1. La media o esperaza de P coicide co la proporció de la població.. La desviació típica de P coicide co (siempre que la muestra sea co reemplazamieto) 3. Si 30, teiedo e cueta la aproximació de la biomial por la ormal, la distribució muestral de las proporcioes se aproxima a ua distribució N(p, ) Ejemplo: El 10% de las bolsas de pipas de ua marca cotiee meos peso del que aucia. Se ha seleccioado al azar 400 bolsas a) Cuál es la distribució que sigue la proporció de evases o completos de la muestra?; b) Halla la probabilidad de que e la muestra haya más de 50 bolsas de pipas co meos peso del auciado A) =400>30, p=10%=0 1 P sigue ua distribució N(0 1, 400 =N(0 1, 0 015) B) P(más de 50 bolsas)=p( P>50/400)=P( P>0 15)=P(Z> =P(Z>1 67)= =1-P(Z<1 67)= = Es decir, hay ua probabilidad de 4 75% de que e la muestra haya más de 50 bolsas co peso iadecuado. 3. Distribució de la diferecia de las medias muestrales Supogamos ahora que teemos dos poblacioes de tamaños N 1 y N respectivamete y que extraemos de cada ua de ellas todas las muestras aleatorias de tamaños 1 y. Para la primera població tedríamos ua media muestral X 1 y para la seguda ua media muestral X Pág:3

4 Cosideremos la variable aleatoria que se forma restado ambas variables,se llamará diferecia de las medias muestrales y se deota por: - X 1 X PROPIEDADES Siempre que las poblacioes de las que se extraiga las muestras siga distribucioes ormales de medias 1 y y desviacioes típicas 1 y, respectivamete, o tambié e caso de que las muestras se extraiga de poblacioes que o sigue ua distribució ormal pero el tamaño de ambas muestras: 1 y, es mayor que 30 se verifica que: La distribució de las medias muestrales sigue ua distribució ormal de media 1 - y 1 desviació típica 1 : X 1 - X =N( 1 -, 1 1 ) Ejemplo: Si dos poblacioes se distribuye co medias 40 y 30 y desviacioes típicas 4 y 3, respectivamete, cuál es la distribució de las diferecias de las medias muestrales para muestras de tamaño 36 extraidas de esas poblacioes? Cuál es la probabilidad de que la diferecia sea mayor que 8? Los tamaños de las muestras so 1 = =36>30. Las poblacioes tiee uas medias y desviacioes típicas de: 1 =40, =30; 1 =4, =3. Por tato: 16 X - X 1 =N(40-30, )=N(10, 5/6) P( X - X >8)=P(Z> )=P(Z>- 4)=1-P(Z<- 4)=1-(1-P(Z< 4))=P(Z< 4)= /6 EJERCICIOS RESUELTOS : I DISTRIBUCIONES MUESTRALES (solució al fial del tema) 1. Las estaturas de 100 estudiates de u cetro de eseñaza se distribuye ormalmete co ua media de 1 7m y desviació típica Si se toma al azar ua muestra de 36 estudiates calcular: a) la probabilidad de que la media sea iferior a 1 75m. b) la probabilidad de que la media esté etre 1 68m y 1 73 m. Ua máquia fabrica piezas de precisió. E su producció habitual, fabrica u 3% de piezas defectuosas. U cliete recibe ua caja de 500 piezas procedetes de esa fábrica. Calcular la probabilidad de que: a)haya más de u 5% de piezas defectuosas e la caja, b)haya meos de 10 piezas defectuosas e la caja 3.La duració de las llamadas de teléfoo e dos departametos de ateció al cliete sigue ua distribució ormal co desviació típica de 6 m el el primero y 7 e el segudo. Co el fi de estimar la diferecia de medias, se elige ua muestra compuesta por 4 llamadas del primer departameto y 38 del segudo. Pág:4

5 Si se aota los tiempos medios de coversació y se obtiee 16 y 14 m, respectivamete, cuál es la distribució para la diferecia de medias muestrales? 4. El gasto bimesual e electricidad por familia e España se distribuye segú ua ley ormal de media 14 3 y desviació típica 8 5. A) Halla la probabilidad de que ua muestra de 5 familias, escogidas al azar, tega u gasto medio de electricidad superior a 144 6, b)halla la probabilidad de que ua muestra de 100 familias, elegidas al azar, tega u gasto medio de electricidad superior a Ua fábrica de chocolate ha fabricado 800 chocolatias co u peso medio de 150gr y ua desviació típica de 0 gr. Calcula la probabilidad de que ua muestra de 80 chocolatias, elegidas al azar, tega u peso total mayor de 1 kg y 400 gr. 6. Los pesos, em gramos, de los torillos que fabrica ua máquia se distribuye segú ua variable N(100, 8). Se toma muestras de 5 torillos. Calcular la probabilidad de que ua muestra elegida al azar tega u peso medio mayor de gr. 7. De ua població de 10 alumos hay 48 que tiee o más hermaos. Si se toma ua muestra al azar de 40 alumos Cuál es la probabilidad de que haya más de u 55% de alumos co o más hermaos? 8. E u saco mezclamos judías blacas y pitas e la relació de 14 blacas por cada pita. Extraemos al azar u puñado de 100 judías, cuál es la probabilidad de que haya etre 5 y 10 judías pitas e el puñado? 9. Las pruebas de cotrol de calidad para u modelo A de bombillas ha determiado que su duració, e horas, sigue ua distribució N(4000, 70), mietras que para otro modelo B la duració sigue ua N(3900,80). Si se toma muestras, al azar, de 50 bombillas de cada uo de los modelos, halla la probabilidad de que la diferecia de medias de las duracioes de las bombillas de cada modelo sea iferior a 50 horas 10. Uo de los pricipales fabricates de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tiee ua vida media de 7. años co ua desviació estádar de 0.8 años, mietras que los de la B tiee ua vida media de 6.7 años co ua desviació estádar de 0.7. Determie la probabilidad de que ua muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tega ua vida promedio de al meos u año más que la de ua muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS El objetivo pricipal de la estadística iferecial es la estimació, esto es que mediate el estudio de ua muestra se quiere geeralizar las coclusioes al total de la població. Normalmete los parámetros poblacioales o so coocidos y hemos de estimarlos a partir de los parámetros muestrales. Se deomia estimador a u valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporcioa iformació sobre u parámetro de la població. Por ejemplo: la media muestral es u estimador de la media poblacioal, la proporció observada e la muestra es u estimador de la proporció e la població, etc. Existe dos formas distitas de realizar estas estimacioes: putuales o por itervalos. 1. Estimació putual Cosiste e estimar para la població el mismo resultado obteido para la muestra Ejemplo 1: Queremos estimar la duració media de las baterías fabricadas por ua determiada empresa, para ello tomamos ua muestra de 150 baterías observamos su duració y calculamos la media muestral que resulta ser de 877 horas de uso. Cocluimos que 877 es la duració media de todas las baterías fabricadas. Pág:5

6 Ejemplo : Deseamos coocer la proporció de coductores que supera la velocidad máxima permitida e u puto cocreto de ua autopista. Tomamos ua muestra de 300 coductores y observamos que el % de ellos supera esa velocidad, estimamos etoces que el % de todos los coductores supera el límite de velocidad e dicha autopista o bie 0 si lo escribimos e térmios de proporció.. Estimació por itervalos de cofiaza. Los estimadores putuales tiee u valor diferete segú la muestra elegida, o podemos coocer el grado de precisió de la estimació que estamos realizado y, por tato, la estimació realizada puede resultar poco fiable. Para evitar este problema podemos estimar o el valor cocreto de dicho parámetro sio u posible rago de valores o itervalo, e el que se ecotrará el parámetro co ua probabilidad, o ivel de cofiaza, prefijado. Por ejemplo, imagiemos que queremos coocer la vida media de los focos fabricados por ua empresa. Para ello, elegimos ua muestra de 30 focos y calculamos la vida media de esa muestra, obteiedo ua duració media de 780 horas. Si realizamos ua estimació putual: asigar esas 780 horas como media de duració para todos los focos fabricados, sabemos que ese parámetro resultaría diferete si hubiésemos elegido otra muestra distita. Resulta más útil calcular dos valores etre los que se ecotrará dicha duració media co u ivel de cofiaza prefijado de atemao. E uestro ejemplo, podríamos decidir buscar u itervalo e el que se ecotrase la vida media de los focos co u ivel de cofiaza del 95%. Ua vez hechos los cálculos, ecotraríamos que ese itervalo es (765,795). Es decir, podemos esperar que la vida media de todos los focos fabricados esté compredida etre 765 horas y 795 horas co u ivel de cofiaza del 95%. O lo que es lo mismo, si elegimos 100 muestras de tamaño 30 y para cada ua de ellas calculamos el itervalo de cofiaza resultate, acertaremos e uestro proóstico 95 de las 100 veces. A lo que acabamos de hacer le llamamos estimació por itervalos de cofiaza. Vamos a explicar el método que seguimos para llegar a las coclusioes de uestro ejemplo. Defiicioes Llamamos Itervalo de cofiaza al itervalo que cotiee al parámetro que se está estimado co ua probabilidad o ivel de cofiaza prefijado. Nivel de cofiaza es la probabilidad de que el itervalo calculado cotega al verdadero valor del parámetro. Se idica por 1- y ormalmete se da e térmios de porcetaje (1-)% (e el ejemplo de los focos sería 95%, por lo que =0 05). Le llamamos ivel de cofiaza y o probabilidad porque ua vez extraida ua muestra, el itervalo de cofiaza puede coteer o o al verdadero valor del parámetro, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso co muchas muestras el (1-)% de los itervalos así costruidos cotedría al verdadero valor del parámetro. Llamamos ivel de sigificació al valor de. Represeta la probabilidad de equivocaros al estimar que el parámetro se ecuetra e ese itervalo de cofiaza. Pág:6

7 Como es lógico o tiee setido hallar itervalos de cofiaza co poca cofiaza, los valores más comues so: 90%, 95% y 99%. Itervalos de cofiaza para la media de ua distribució ormal co desviació típica coocida. E ua població descoocemos la media, y queremos estimarla, a partir de la media xde ua muestra, co u ivel de cofiaza 1-. Recordemos que la distribució de medias muestrales X sigue ua distribució ormal cuya media coicide co la de la població y cuya desviació típica es ;. Por lo tato la X variable ormalizada Z= seguirá ua distribució N(0,1). / Recordemos tambié que hemos visto e el tema de probabilidad como calcular los valores críticos z /, para u determiado ivel de cofiaza, verificádose que P( z / Z z / )= 1. Aplicado ambos resultados obteemos: P( z / X < z / 1 Pz /./ X z /./ 1 / PX z /./ X z /./ 1 Hemos obteido el itervalo que cotiee a la media poblacioal co u ivel de cofiaza N c = 1- : I c = X z /./, X z /./ A la expresió E= z /./ se le deomia marge de error y e ocasioes se expresa e tato por cieto. Obsérvese que se trata del radio del itervalo. Tamaño de la muestra Para determiar el tamaño de la muestra, se puede fijar el error máximo admisible y el ivel de cofiaza 1, a partir de esos datos podemos despejar e la fórmula aterior para calcular el tamaño míimo que debe teer la muestra para que se cumpla esas codicioes: E= z /./ z /. E z /. E NOTA: el valor crítico z / asociado al ivel de cofiaza 1- verifica que P( z / Z z / )= 1. Fijádoos e el sigificado gráfico vemos que etoces P(Z< z / )= 1 pues P(Z< z / )= No teemos más que usar las tablas para determiar dicho valor crítico. Ejemplo:Se desea estimar la media del tiempo empleado por u adador e ua prueba olímpica. Para ello, se croometra 10 pruebas, obteiédose ua media de 41,5 miutos. Sabiedo por otras pruebas que la desviació típica de esta variable para este adador es de 0,3 miutos a) Obteer u itervalo e el que se ecuetre la media del tiempo empleado por el adador co u ivel de cofiaza del 95%. b) Cuatas pruebas habría que croometrar para que el marge de error e la estimació de la media fuese iferior a tres segudos. (Supoemos que la variable que mide el tiempo del adador sigue ua distribució ormal.) a) Del euciado del problema se desprede directamete los siguietes datos: X = = 0 3. = 10 ; 1 = 95%=0 95 Pág:7

8 E primer lugar buscamos z / para el ivel de cofiaza del 95%. Dado que detro del itervalo ( z /, z / ) ha de quedar el 95% de la població, fuera de él estará el 0 05% y como el porcetaje que queda a la derecha y a la izquierda del itervalo ha de ser el mismo, P(Z> z / =0 05. Por tato, P(Z< z / )=1-0 05= (tambié podría utilizarse la fórmula de la ota aterior para llegar a este resultado) Buscado ahora e las tablas de la N(0,1) ecotramos que el valor crítico es z / =1 96 E cosecuecia, el itervalo de cofiaza para la media de tiempo del adador será: ( , , Tambié se puede expresar así: Se estima que la media es 41,5 más meos u marge de error del 18,59%. (Recordemos que el marge de error cometido e la estima es el radio del 0 itervalo, es decir 3 0,1859) b) Nos pide el tamaño de la muestra para que, e las mismas codicioes, el marge de error sea iferior a 3 seg, es decir 0,05 miutos. El márge de error veía dado por la 0 expresió: z /./, e uestro caso , por tato hemos de calcular para que <0 05. Despejado obteemos: y elevado al cuadrado se obtiee: >138, Es decir, para obteer u error iferior a 0,05 miutos, deberemos tomar ua muestra de al meos 139 pruebas. NOTA: Como es evidete, e la estimació por itervalos de cofiaza u dato importate es el tamaño de la muestra. Parece claro que, a igual ivel de cofiaza, cuato mayor sea el tamaño de la muestra meor sera el radio del itervalo de cofiaza, puesto que el valor obteido e la muestra se acercará más al valor real de la població y por tato el marge de error cometido (radio del itervalo) se hará más pequeño. Si el tamaño de la muestra permaece costate y variamos el ivel de cofiaza, el radio del itervalo será más grade cuato mayor sea dicho ivel. Es decir, el marge de error será más grade cuato mayor sea la precisió exigida. Ejercicios resueltos 1. E ua ecuesta se preguta a estudiates de Bachillerato sobre su cosumo de refrescos semaal, ecotrádose ua media de 5 botes, co ua desviació típica de botes. a) Halla los itervalos de cofiaza para la media 80% y al 95% de probabilidad. b) Si aceptamos u error de 0.5 botes para la media de la població, co ua fiabilidad de 0.8, a cuátos estudiates es ecesario etrevistar? Y si queremos u ivel de cofiaza del 90%? Solució: A) =10 000; x=5; = Para el 80% : comezamos hallado el valor crítico P(Z< z / )= = z / z / ; 1-=0 8 0 y /=0 1 Pág:8

9 Itervalo de cofiaza ( )=(4 9743,5 057) 10000, Para el 90%: comezamos hallado el valor crítico z / ; 1-= y /=0 05 P(Z< z / )= = z / Itervalo de cofiaza ( )=(4 9896, ) 10000, B) Para el 80% : Luego hemos de tomar ua muestra míima de 106 alumos Para el 90%: Luego hemos de tomar ua muestra míima de 46 alumos. E ua de las pruebas de acceso a la Uiversidad, la variable "putuació obteida e la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II" se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 1,38. E ua muestra de 50 alumos se ha medido la misma variable y el valor obteido para la media es de 4,93 putos. Halla u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co ua cofiaza del 9 % y explica el sigificado de este itervalo. Solució: Sea X = putuació obteida e MCS II. Se tiee que X es N (, 1.38)). Además, teemos los siguietes datos:=50; x =4.93; 1-= / 0 04 P(Z< z / )=1-0 04=0 96. Buscado e las tablas z / =1 75 Por tato el itervalo es: 1 ( , )=((4.5885, 5.715) El itervalo obteido sigifica que e el 9% de las posibles muestras de tamaño 50, la media de la ota e MCS II está e el itervalo (4.5885, 5.715) 3. El gasto mesual (e euros) de ua familia e electricidad, para las familias de ua cierta ciudad, sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 5 euros. a) A partir de ua muestra de 100 familias de esa ciudad, se estableció el itervalo (45,55) como itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual, por familia e electricidad. cuál es el valor de x? co qué ivel de cofiaza se costruyó el itervalo? b) Qué úmero de familias tedrías que seleccioar para que el ivel de cofiaza del itervalo aterior sea del 97%? c) Qué úmero de familias tedrías que seleccioar, como míimo, para garatizar, co u ivel de cofiaza del 99 %, ua estimació de ese gasto medio co u error o superior a 3 euros? Solució a) El itervalo que os da (45,55) está cetrado e la media x y por tato esta será (45+55)/=50. Veamos ahora co qué ivel de cofiaza 1- se costruyó el itervalo. Sabemos que 45= x z /./ 45=50- z 5 / ; Vamos a despejar z / =50- z 5 / z 5 /. 100 z / Sabemos quep(z< z / )= 1, buscado e las tablas : Pág:9

10 P(Z< z / )= P(Z<)=0 9773= 1, despejado y el ivel de cofiaza será 1-= = Es decir, 95 46% b) Nos pide que calculemos para que el itervalo (45,55) tega u ivel de cofiaza del 97%. Etoces: 1-= / P(Z< z / )= 1 = =0 985, buscado e las tablas z / = 17 Sabemos que el radio del itervalo, e uestro caso 5, es igual a z /./. Es decir: 5= 17. 5, como el úmero de familias ha de ser etero hemos de tomar 118 familias. c) E primer lugar hemos de calcular z / para 1-= = / P(Z< z / )= 1 = =0 995, buscado e las tablas z / = 575 El error será E= < Hemos de coger por lo tato 461 familias. Itervalos de cofiaza para la proporció Supogamos ahora que queremos estimar la proporció de idividuos de ua població que cumple ua determiada característica a partir de la proporció de los que la cumple e ua muestra de tamaño y co u ivel de cofiaza 1- Sabemos que las proporcioes co tamaños muestrales 30 sigue distribucioes ormales co media p y desviació típica siedo q=1-p. P Np, P p Etoces la varible tipificada Z= seguirá ua distribució N(0,1) Como o dispoemos del valor de p teemos que estimarla de forma putual mediate la proporció muestral obteida:p P p De este modo, por la defiició de itervalo de cofiaza la P( z / < < Z/)= 1 P( z / < P p< Z/ )= 1 P( P z / p<p z /. 1 Hemos obteido el itervalo que cotiee a proporció poblacioal co u ivel de cofiaza N c = 1- : I c =(P z /, P z /. a expresió E= z /. se le deomia marge de error y e ocasioes se expresa e tato por cieto. Obsérvese que se trata del radio del itervalo. Tamaño de la muestra Para determiar el tamaño de la muestra, se puede fijar el error máximo admisible y el ivel de cofiaza 1, a partir de esos datos podemos despejar e la fórmula aterior para calcular el tamaño míimo que debe teer la muestra para que se cumpla esas codicioes: E=z /. z / E z / E Pág:10

11 Ejemplos 1.Para saber qué proporció de alumos de la ESO tiee teléfoo móvil co coexió de datos se seleccioa ua muestra de 500 alumos, de ellos cotesta afirmativamete 5. Cuál es el itervalo de cofiaza para la proporció de los alumos que tiee móvil co coexió de datos, co u ivel de cofiaza del 95%? Solució E primer lugar hemos de hallar la proporció e la muestra p= 5/500=0 45; por tato q=1-0 45=0 55; =500 Ahora teemos que calcular el valor crítico z / para u ivel de cofiaza 1-=0 95; P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / =1 96 Por tato el itervalo de cofiaza para la proporció que os pide será: I c =( P z /, P z /. =( , )= =(0 4064, ). E ua ecuesta hecha por los alumos y alumas de u Istituto a u total de 100 votates elegidos al azar e su Ayutamieto, se idica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. a) Calcular u itervalo de cofiaza al 99% y otro al 99,73% para la proporció de votates favorables al alcalde actual. b) Cuáles debe ser los tamaños muestrales e el sodeo para teer, co los mismos iveles de cofiaza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta, e el caso de arrojar la ecuesta los mismos resultados? Solució N=100; p 0 55; q 0 45 a) Para calcular el itervalo de cofiaza para el 99% hallamos primero z / para el ivel de cofiaza 1-=0 99; P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / = 57 Por tato el itervalo de cofiaza para la proporció que os pide será: I c =( P z /, P z /. =( , )= =(0 4, 0 677) Para u ivel de cofiaza del 99 73%: P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / = 98 Por tato el itervalo de cofiaza para la proporció que os pide será: I c =( P z /, P z /. =( , )= =(0 401, 0 698) B) Nos pide el valor de codicioado a que todos los valores del itervalo de cofiaza sea superiores a 0,5 (mayoría absoluta), es decir que, dado que la media muestral es 0,55, el radio del itervalo ha de ser ecesariamete meor que 0,55-0,5 = 0,05. Por tato, e el caso del ivel de cofiaza del 99% E= z / <0 05, despejado resulta >653 8, es decir hemos de tomar ua muestra de al meos 654 persoas. E el caso del 99 73% se hace igual resultado >891 persoas. Pág:11

12 Itervalos de cofiaza para la diferecia de medias Supogamos que teemos poblacioes que se distribuye ormalmete co desviacioes típicas 1 y coocidas y cuyas medias respectivas 1 y so descoocidas. Supogamos que tomamos ua muestra de tamaño 1 de la primera població y obteemos para dicha muestra ua media x 1. Asímismo, tomamos ua muestra de la seguda població de tamaño, obteiedo para ella ua media x. cómo podemos estimar la diferecia de las medias poblacioales a partir de estas muestras, co u ivel de cofiaza prefijado 1-? Recordemos que la diferecia de las medias muestrales sigue ua distribució ormal : 1 N( 1, 1 ) por similitud a lo explicado e los itervalos de cofiaza para la media y X para la proporció, la variable tipificada Z= 1 X 1 sigue ua distribució N(0,1) y, 1 1 X 1 X 1 por la defiició de itervalo de cofiaza, P(-z/< <z/)=1-; e 1 1 cosecuecia, despejado como lo hemos hecho e las dos situacioes ateriores, P( X 1 X -z/ < 1 < X 1 X +z )=1-. Es decir, el itervalo de cofiaza para la diferecia de las medias muestrales, co u ivel de cofiaza 1- será: ( X 1 X -z/, X 1 X +z ) Ejemplo: E u hospital se realiza u estudio sobre la ifluecia del tabaco e el peso de los recié ac Muestra Peso medio Desviació típica ido recié acidos s. Se Mujeres o fumadoras =300 x 1 =3 6 Kg 5 co Mujeres fumadoras x 0 =0 =3 Kg 8 sidera grupos de mujeres embarazadas: fumadoras y o fumadoras y se obtiee los siguietes datos sobre el peso de sus hijos: Decidir como ifluye que la madre sea fumadora e el peso de su hijo al acer, utilizado u ivel de cofiaza para la diferecia de las medias del 95% Solució: E primer lugar calculamos el valor crítico z/ para dicho ivel de cofiaza. (Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / =1 96 Luego el itervalo de cofiaza para la diferecia de las medias será: ( , )=(0 8,0 5) Pág:1

13 Iterpretació del resultado: La diferecia de medias está e el itervalo (0 8, 0 5); es decir, hay ua diferecia positiva etre los pesos de los bebés 0 8< Así, el peso medio de u bebé de ua madre o fumadora supera como míimo e 0 8 Kg y como máximo e 0 5 Kg al de u bebé de madre fumadora, co u ivel de cofiaza del 95% Pág:13

14 EJERCICIOS RESUELTOS: II INTERVALOS DE CONFIANZA (solució al fial del tema) 11. El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley ormal de media días y desviació típica 3 días. a)determiar u itervalo de cofiaza para estimar a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 100 efermos cuya media es 8 1 días. b) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar co u error máximo de 1 día y u ivel de cofiaza del 9%? 1. El tiempo diario que los jóvees pasa ate el televisor sigue ua distribució ormal co desviació típica 0 miutos. Ua muestra aleatoria de 100 chicos ha dado u tiempo medio de 170 miutos. a)obteer el itervalo de cofiaza del 90% para el tiempo medio que los jóvees pasa ate el televisor. b) qué tamaño míimo debe teer la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media co u ivel de cofiaza del 99% o exceda los 0 5 miutos? 13. Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u modelo de juguetes electróicos se elige ua muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo obteiédose ua duració media de 97 horas. Sabiedo que la duració de los juguetes electróicos de ese modelo se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 10 horas, a) ecotrar el itervalo de cofiaza al 99,% para la duració media de los juguetes electróicos de ese modelo. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido 14. El coeficiete itelectual de los idividuos presetes e ua sala puede supoerse que sigue ua distribució ormal de media y variaza igual a 81 a) cuáto vale si sabemos que solo u 10% de las persoas e la sala sobrepasa u coeficiete itelectual de 105? E los dos siguietes apartados supodremos que = 95: b)elegida ua persoa al azar de la sala, cuál es la probabilidad de que su coeficiete itelectual esté etre 86 y 107? c)elegimos 9 persoas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficietes itelectuales, cuál es la probabilidad de que esa media esté etre 86 y El peso de los usuarios de u gimasio tiee ua media descoocida y ua desviació típica de 5.4 kg. Tomamos ua muestra aleatoria de tamaño 100, obteiedo ua media de 60 kg. a) Calcula co u ivel de cofiaza del 95 % el itervalo de cofiaza para el peso medio de todos los usuarios. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. c) Se realiza la siguiete afirmació: peso medio de u usuario de ese gimasio está compredido etre 58,5 y 61.5 kg. Co qué probabilidad esta afirmació es correcta? 16. Se sabe que el ivel medio de protombia e ua població ormal es de 0 mg/100 ml de plasma, co ua desviació típica de 4 mg/100 ml. Se toma ua muestra de 40 idividuos e los que la media es 18.5 mg/100 ml. Es la muestra comparable co la població, co u ivel de sigificació de 0.05? NOTA: la muestra es comparable co la població co u cierto ivel de cofiaza si la media perteece al itervalo de cofiaza obteido para ese ivel. 17. E u país se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 900 persoas. A la salida de los colegios electorales se les pregutó si había votado al partido X y 89 cotestaro que sí y el resto que o. Determiar u itervalo que os de el porcetaje de votos del partido X co u ivel de cofiaza del 95%, explicado los pasos realizados para su obteció. 18. E ua població, por cada persoa que fuma 4 o lo hace. Calcular el tamaño míimo que debe teer ua muestra de dicha població para que, co u ivel de cofiaza del 95%, la proporció muestral y la poblacioal o difiera e más de Explicar los pasos seguidos para obteer la respuesta. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Pág:14

15 Si sospechamos que ua moeda ha sido trucada para que se produzca más caras que cruces al lazarla al aire, podríamos realizar 30 lazamietos, tomado ota del úmero de caras obteidas. Si obteemos u valor demasiado alto, por ejemplo 5, cosideraríamos que el resultado es poco compatible co la hipótesis de que la moeda o está trucada, y cocluiríamos que las observacioes cotradice dicha hipótesis. E esta secció vamos a ver como, a partir de los resultados obteidos e las muestras, podemos aceptar o rechazar determiadas hipótesis que supoemos cumple u parámetro de la població. Ejemplo: hace 10 años se realizó ua muestra sobre la altura de los varoes españoles obteiédose que esta se distribuía ormalmete co media 170cm y desviació típica 10 cm. E la actualidad se ha tomado ua muestra a 100 varoes adultos resultado que la media es de 173cm. Podemos afirmar, co u ivel de cofiaza del 99% que la media ha aumetado o, por el cotrario, debemos rechazar esa hipótesis? Las hipótesis so afirmacioes que ivolucra al total de la població, por lo que su verdad o falsedad solo puede garatizarse evaluado a todos los idividuos que la compoe. Para aceptarla o rechazarla, a partir de los resultados obteidos e las muestras, se utiliza procedimietos estadísticos que determia la probabilidad de que esos resultados sea compatibles co la hipótesis establecida. Si es altamete improbable que, de ser cierta la hipótesis, se hubiese producido los resultados obteidos la rechazaremos. Si o es así, aceptamos la hipótesis al o existir razoes para pesar que o es cierta. U cotraste o test de hipótesis es el procedimieto estadístico mediate el cual decidimos la aceptació o rechazo de la hipótesis. Ejemplo: Producimos u compoete electróico cuya resistecia X sigue ua distribució co media 0(ohmios) y desviació típica 0 5 Por razoes imprevisibles el proceso se desajusta a veces produciedo u aumeto o dismiució de la resistecia media de los compoetes si variar la desviació típica. Para cotrastar si e cierto mometo el proceso se ha desajustado, se toma ua muestra de tamaño =5 compoetes. Se mide la resistecia de los compoetes obteiedo los siguietes datos: x 1 = ; x =1; x 3 =18 8; x 4 =1 5; x 5 =0 5. Podemos decir que el proceso se ha desajustado? Si el proceso o se ha desajustado, al ser X(0,0 5) la distribució de las medias muestrales sería X0, 0 5 ya que estamos tomado muestras de tamaño 5. Calculamos la media de la 5 muestra tomada: x Como podemos ver e la gráfica, 0 08 está muy alejada de la media. Para poder verlo formalmete 0 tipificamos la variable: Es decir, se ecuetra a ua distacia de más de 3 veces y media la desviació típica. Por ello, podemos pesar que la afirmació de que el proceso se ha desajustado es correcta. Nosotros vamos a estudiar úicamete cotrastes de hipótesis para aceptar o rechazar ua hipótesis previamete emitida sobre el valor de u parámetro descoocido de la població. Cocretamete realizaremos cotrastes de medias, proporcioes y diferecias de las medias poblacioales. Pág:15

16 Veamos a cotiuació los pricipales coceptos relacioados co el cotraste de hipótesis y su relació co los itervalos de cofiaa. CONCEPTOS: Llamaremos hipótesis ula, y la represetaremos por H 0, a la hipótesis que se formula y que queremos cotrastar para ser aceptarda o rechazarda. Se llama hipótesis alterativa, y se deomia H 1, a la hipótesis cotraria a H 0, de tal forma que la aceptació de la hipótesis ula implica el rechazo de la hipótesis alterativa y viceversa. Al formular la hipótesis ula debemos teer e cueta que esta siempre debe coteer ua igualdad. Es decir ha de ser de uo de los siguietes tipos: H 0 =k; H 0 k: H 0 k Ejemplo 1. U médico afirma que la proporció de recié acidos varoes e u determiado hospital es del 53%. La hipótesis ula sería Ho= proporció p =0 53 mietras que la hipótesis alterativa sería H1= proporció p0,53. E este caso, la hipótesis alterativa se llama hipótesis alterativa bilateral porque cosidera los valores meores y mayores que 0,53. ( es decir a ambos lados del eje OX) Ejemplo : Ua fábrica de coservas idica e su iformació al cosumidor que el peso medio de sus latas es de 1000 gr. Ua asociació de cosumidores quiere aceptar o rechazar esa proposició. E este caso, como hipótesis alterativa os iteresaría tomar H 1 = peso medio meor de 1000 gr. ya que si fuese mayor o haría más que reforzar lo que iteresa al cosumidor, por ello tomaremos como hipótesis ula H 0 = pesos iguales o mayores a 1000gr.. H 1 es ua hipótesis alterativa uilateral ( solo cotedría los valores que está por debajo de 1000 gr., es decir a la izd del eje OX). E resume: H 0 =k H 1 k Bilateral H 0 k H 1 >k Uilateral derecho H 0 k H 1 <k Uilateral izquierdo El test o cotraste de hipótesis es el procedimieto que me permite decidir si debo aceptar o rechazar la hipótesis ula.. Debemos teer e cueta lo siguiete: El test o sirve para demostrar que H 0 es cierta El text sirve para decidir que, a partir de los datos de la muestra, o puede rechazarse H 0, es decir que es aceptable supoer que H 0 es cierta. Sirve tambié para rechazar H 0 y aceptar H 1 cuado los valores muestrales difiere mucho de los teóricos que se obtedría de ser cierta H 0. Como e cualquier iferecia estadística, podemos cometer errores al iferir los resultados de la muestra a la població. E los cotrastes de hipótesis estos errores puede ser de dos tipos: Error de tipo I: es el que se produce al rechazar H 0 cuado e H 0 es verdadera H 0 es falsa Se acepta H 0 Decisió correcta Error tipo II Se rechaza H 0 Error tipo I Decisió correcta realidad era verdadera. Error de tipo II: es el que se produce al aceptar H 0 cuado e realidad era falsa Pág:16

17 Llamaremos ivel de sigificació a la probabilidad de cometer u error de tipo I. Es decir = P(RechazarH 0 /H 0 es verdadera). Llamamos ivel de cofiaza a la P(Aceptar H 0 /H 0 sea verdadera) que, evidetemete es igual a 1- A la probabilidad de cometer u error de tipo II, P(aceptar H 0 /H 0 es falsa), se le deota por Llamamos potecia del cotraste al valor 1-= P(rechazar H 0 /H 0 es falsa). Cuado es ecesario diseñar u cotraste de hipótesis sería coveiete hacerlo de tal maera que la probabilidad de ambos tipos de error fuese lo más pequeños posibles. Si embargo,co ua muestra de tamaño prefijado dismiuir la probabilidad del error de tipo I,, coduce al aumeto de la probabilidad del error de tipo II,. La úica maera de dismiuir los dos tipos de errores a la vez es aumetar el tamaño de la muestra, co el cosiguiete aumeto de costes del proceso. Usualmete, se diseña cotrastes co valores de muy peqeños: 1%, 5% o, como mucho10%. Esto equivale a que los iveles de cofiaza, (1-), sea muy altos: 99%, 95% o 90% respectivamete. Ua vez que hemos formulado la hipótesis ula y decidido el ivel de cofiaza co el que queremos trabajar, es ecesario ecotrar u itervalo de valores detro del cual es lógico que se pueda ecotrar el parámetro muestral si es cierta la hipótesis ula, a este itervalo se le llama zoa de aceptació. La zoa crítica o de rechazo está formada por los valores que o sería aceptables que tomase el parámetro muestral si la hipótesis ula fuese cierta. Por tato, si el valor del parámetro muestral perteeciese a esa regió tedríamos que tomar la decisió de rechazar la hipótesis ula y aceptar, por el cotrario, la alterativa. Estas regioes se establecerá, como veremos más adelate, mediate itervalos de cofiaza segú u determiado ivel de sigificació, prefijado de atemao, que delimita las zoas de aceptació y rechazo Veamos estas zoas de forma gráfica para los dos tipos de cotraste: Cotraste bilateral: Tedremos que ecotrar dos valores,-z y z que verifique P(-z <Z<z )=1- Uilateral derecho Uilateral Izquierdo Tedremos que ecotrar u valor que Tedremos que ecotrar u valor que verifique P(Z<z )=1- verifique P(Z>z )=1- Pág:17

18 Los ateriores ejemplos gráficos se refiere a distribucioes N(0,1) porque e el cotraste de hipótesis, como hicimos ateriormete e la estimació de parámetros por itervalos de cofiaza, lo primero que haremos será tipificar la variable de forma que los valores críticos z o z, segú se trate de cotrastes bilaterales o uilaterales, se buscará e las tablas de la N(0,1) Ejemplos:Se trabaja co la hipótesis de que uo de cada 10 varoes maifiesta algú tipo de daltoismo. Elegidos 400 varoes, 50 de ellos resulta ser daltóicos, 1.Se trabaja co la hipótesis de que uo de cada 10 varoes maifiesta algú tipo de daltoismo. Elegidos 400 varoes, 50 de ellos resulta ser daltóicos. a)platea el cotraste de hipótesis correspodiete para decidir si la hipótesis de partida es cierta. b)halla la zoa de aceptació y rechazo de la variable tipificada, co u ivel de sigificació del 5%, para decidir si la hipótesis de partida es cierta? Sol:a) Estamos haciedo ua hipótesis sobre la proporció, que p=1/10=0 1. Por lo tato el cotraste que platearemos será: H 0 : p=0 1; H 1 : p0 1. Cotraste bilateral. b) =0 05 / 0 05 y 1- =0 95; como vimos co aterioridad eso sigifica que P(Z<z / ) = = Buscado e las tablas hallamos z / =1 96. Hace 10 años, el cosumo medio de electricidad al mes por vivieda e ua ciudad era de 30KW. El año pasado se tomó ua muestra de 50 viviedas y se obtuvo u cosumo medio de 370 KW co ua desviació típica de 80. a) Platea el cotraste de hipótesis correspodiete para decidir si el cosumo medio ha aumetado. B) Halla la zoa de aceptació y rechazo de la variable tipificada, co u ivel de sigificació del 1%, para decidir si el cosumo medio ha aumetado. Sol: a) E este caso lo que os iteresa es saber si el cosumo ha aumetado o o. Si el cosumo medio es de 30 o meor podemos cocluir que o ha aumetado por tato uestro cotraste será: H 0 : 30; H 1 : >30 Cotraste uilateral b)=0 01; 1-=0 99 P(Z<z )=1-=0 99; buscado e las tablas z = 33 PASOS A DAR PARA REALIZAR UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. E primer lugar debemos formular la hipótesis ula y la alterativa que será objeto de cotraste. Ambas hipótesis puede ser euciadas para u cotraste uilateral o bilateral. Determiar las regioes de aceptació o rechazo, co u ivel de sigificació, para la variable Z ormal estadar. Ello colleva calcular -z / y z / si se trata de u cotraste bilateral o calcular z si es u cotraste uilateral y determiar después la zoa e la que sería aceptada la hipótesis ula y la zoa e la que sería rechazada. 3.Determiar el estadístico apropiado para el cotraste que depederá del parámetro que estemos cotrastado. Teiedo e cueta lo estudiado ateriormete utilizaremos los siguietes estadísticos: Pág:18

19 X Estadístico para la media Z= 0 / Estadístico para la proporció Z= Pp 0 p 0.q 0 X 1 X 1 Estadístico para la diferecia de medias Z= (E la diferecia de 1 1 X 1 X 1 1 medias la diferecia de medias poblacioales se cosiderará cero 1 =0) NOTA: Sabemos que las tres variables so N(0,1) por lo que podemos utilizarlas si problemas para el cotraste. 4. Determiar el valor z 0 correspodiete a sustituir X, P, o X 1 X por la correspodiete media, proporció o diferecia de medias obteidas de la muestra 5. Decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis e fució de que el valor observado z 0 perteezca a la regió de aceptació o a la de rechazo. Ejemplo 1: Las estaturas de 16 alumos/as de º de Bachillerato so: 156, 185, 193, 164, 186, 170, 168, 174, 163, 157, 178, 168, 169, 17, 174, 180. Sabemos, además, que las estaturas del alumado de Bachillerato sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica 8,44. Sosteemos que la media poblacioal es 171,51. Realizar el cotraste de hipótesis para u ivel de sigificació del 5%. e iterpretar el resultado. Como o os la da debemos calcular previamete la media de la muestra x Vayamos al cotraste de hipótesis: 1. La hipótesis ula vedra dada por H 0 : =171 51; luego H 1 : Es u cotraste bilateral.. Calculamos los valores -z / y z / para u ivel de sigificació del 5%: La regió de aceptació será P(-z <Z<z )=1- =0 05 / 0 05 y 1- =0 95; como vimos co aterioridad eso sigifica que P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / =1 96. E cosecuecia la regió de aceptació será (-1 96, 1 96) la de rechazo será, , 3. El parámetro sobre el que hacemos la hipótesis es la media. La distribució de medias muestrales sigue ua ormal N(,, por tato el estadístico que utilizaremos será X 0 Z=, e uestro caso Z= X / 8 44/ Calculamos el valor de ese estadístico sustituyedo la media muestral por la obteida e la prueba: Z 0 = / Comprobamos si el valor de z 0 perteece a la regió de aceptació o de rechazo: (-1 96, 1 96) que es la zoa de aceptació por lo que aceptamos la hipótesis ula. Pág:19

20 Ejemplo : Ua ecuesta a 64 profesioales de ua istitució reveló que el tiempo medio de empleo e dicho campo era de 5 años, co ua desviació típica de 4. Cosiderado u ivel de sigificació del 0.05, Supoiedo que el tiempo de empleo se distribuye ormalmete, sirve estos datos para cotrastar si el tiempo medio de empleo de los profesioales de esta istitució está por debajo de los 6 años? 1. E este caso la hipótesis ula será H 0 : 6 y la hipótesis alterativa >6 Se trata por tato de u cotraste uilateral. Calculamos la regió de aceptació para u ivel de sigificació =0 05 P(Z<Z )=1- =1-0 05=0 95, buscado e las tablas Z = 1 645, por tato la regió de aceptació será (, El parámetro sobre el que hacemos la hipótesis es la media. La distribució de medias muestrales sigue ua ormal N(,, por tato el estadístico que utilizaremos será X 0 Z=, e uestro caso Z= X 6 / 4/ Calculamos el valor de ese estadístico sustituyedo la media por la obteida e la prueba: Z 0 = 5 6 4/ Comprobamos si el valor aterior perteecece a la zoa de aceptació. Como, aceptams la hipótesis ulaes decir que la media sea igual o iferior 6 años. Ejemplo 3. Al lazar 5000 veces ua moeda al aire saliero 3000 caras. Se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 0.04, que la moeda o está trucada? 1. E este caso se trata de hacer u test de cotraste de hipótesis sobre la proporció. Si queremos aceptar que la moeda o está trucada la hipótesis ula será H 0 : p=0 5 y la alterativa H 1 : p0 5, es por lo tato u cotraste bilateral.. Calculamos los valores -z / y z / para u ivel de sigificació de 0 04: La regió de aceptació será P(-z <Z<z )=1-; =0 04 / 0 0 y 1- =0 96; eso sigifica que P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / = 05. E cosecuecia la regió de aceptació será (- 05, 05) la de rechazo (, 05 05, 3. La distribució de proporcioes sigue ua variable ormal Np, por tato el p p estadístico del cotraste será Z= 0 p 0 5 p 0 5 = = p 0.q Calculamos el valor de ese estadístico sustituyedo la proporció por la obteida e la prueba z 0 = = Pág:0

21 5. Como (- 05, 05) sio que perteece a la regió de rechazo, se rechaza la hipótesis ula. Es decir teemos que aceptar, co u ivel de cofiaza del 96%, que la moeda está trucada. Ejemplo 4 U experto sostiee que si se celebra eleccioes geerales e este mometo, ta solo acudiría a votar el 48% de la població. No obstate, e u sodeo electoral realizado recietemete, etre 1500 persoas, 800 de ellas tiee iteció de votar. Supoe esto, co u ivel de cofiaza del 99%, que el experto se equivoca y la iteció de voto es mayor? 1.Se trata de uevo de u cotraste aceptar o rechazar u valor de la proporció poblacioal, como queremos cotrastar si el experto se equivoca, la hipótesis ula será p0 48. Por tato: H o : p0 48; H 1 : p<0 48 cotraste uilateral.. Calculamos el puto crítico P(Z> z )=1- =0 99 P(Z<z 0 1. Dado que esa probabilidad es meor que 0 5 el valor de z es egativo y o viee e las tablas. Por la simetría de la distribució ormal P(Z<z =P(Z>- z )=0 1 Eso es equivalete a escribir P(Z<- z )=0 9. Buscado e las tablas ecotramos que - z = 33, es decir z =- 33 E cosecuecia, el itervalo de aceptació es: ( 33, ) 3. Elegimos el estadístico de cotraste que e uestro caso sería: por tato el estadístico del p p cotraste será Z= 0 p 0 48 p 0 48 = = por seguir la distribució de proporcioes p 0.q ua variable ormal Np, 4. Calculamos el valor de ese estadístico sustituyedo la proporció por la obteida e la prueba z 0 = 0 48 = Como ( 33, ) aceptamos la hipótesis ula. Es decir teemos que aceptar, co u ivel de cofiaza del 99%, que el experto se equivoca. Ejemplo 5: E ua ciudad se ha observado que la veta de discos se ha reducido e el último año. El año pasado aalizaro 5 tiedas y se registró ua media de vetas de 100 discos al mes, co ua desviació típica de 75, mietras que este año se ha estudiado 0 tiedas y la media ha sido de 1150 discos al mes, co ua desviació típica de 60. Platea u cotraste de hipótesis co u ivel de sigificació del 10%, para decidir si la veta de discos se mtiee o, por el cotrario, ha dismiuido. Pág:1

22 1. Se trata ahora de platear u cotraste de hipótesis para la diferecia de las medias. La hipótesis ula será que la veta de discos se ha mateido. Es decir, H 0 : 1 0; H 1 : 1 0. Cotraste bilateral. Calculamos los valores -z / y z / para u ivel de sigificació de 0 1: La regió de aceptació será P(-z <Z<z )=1-; =0 1 / 0 05 y 1- =0 9; eso sigifica que P(Z<z / ) = Buscado e las tablas hallamos z / = E cosecuecia la regió de aceptació será (-1 645, 1 645) 3. El estadístico del cotraste será: Z= X 1 X ( 1 ) X 1 X X 1 X = X 1 X Calculamos el valor del estadístico sustituyedo los valores de la prueba: Z 0 = Dado que 48 (-1 645, 1 645) se rechaza la hipótesis ula y hemos de aceptar la alterativa. Es decir, co u ivel de cofiaza del 90% decidimos que la diferecia de medias es sigificativa por lo que podemos deducir que la veta de discos ha dismiuido e el último año. Ejemplo 6: Se quiere probar dos tipos de alimetos para los 50 pigüios de u zoológico cuyo peso se distribuye ormalmete. Se separa e dos grupos, uo formado por 30 pigüios y otro por 0. So pesados después de u mes y se obtiee, para el primer grupo u peso medio de 1 kg y desviació típica de 0 5, y, para el segudo, u peso medio de 10 kg y desviació típica de 0 8. Se puede afirmar, co el ivel de cofiaza del 96%, que está mejor alimetados los del primer grupo que los del segudo? 1. Se trata de u cotraste de hipótesis para la diferecia de medias. La hipótesis ula será que 1 o lo que es equivalete H 0 : 1 0 ; H 1 : 1 <0 Se trata de u cotraste uilateral. Calculamos el valor z para el valor de cofiaza 1-=0 96: P(z> z )=0 96=P(z<- z ) buscado e las tablas - z = z = Regió de aceptació (-1 755, ) 3. El estadístico del cotraste será: Z= X 1 X ( 1 ) X 1 X X 1 X X 1 X = = (Los datos so: 1 = 30; = 1 kg; = 0,5; = 0; = 10 0 x x kg; = 0,8) Calculamos el valor del estadístico sustituyedo los valores de la prueba:z 0 = = Como 9 96 (-1 755, ), se acepta la hipótesis ula y podemos cocluir, co u ivel de cofiaza del 96%, que los del primer grupo está mejor alimetados. EJERCICIOS RESUELTOS: III CONTRASTE DE HIPÓTESIS Pág: