Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales Práctico 4 - Solución Curso ) Como se trata de muestreo sin reposición, se tiene C 5 3

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1 Estadística y sus aplicacioes e Ciecias Sociales Práctico 4 - Solució Curso 016 Ejercicio 1 5! 1) Como se trata de muestreo si reposició, se tiee C 5 3 3!! muestras de tamaño =3. ) Distribució muestral de Nº de muestra Elemetos de la muestra (i) Media muestral 1 (68, 3, 65) 68,6 (68, 3, 80) 3,6 3 (68, 3, ) 1 4 (68, 65, 80) 1 5 (68, 65, ) 68,33 6 (68, 80, ) 3,33 (3, 65, 80),6 8 (3, 65, ) 0 9 (3, 80, ) 5 (65, 80, ),33 Distribució muestral de : fi = P( ) 68,33 1 1/ 68,6 1 1/ 0 1 1/ 1 1/5,33 1 1/,6 1 1/ 3,33 1 1/ 3,6 1 1/ 5 1 1/ Observar que la distribució muestral viee dada por la frecuecia relativa f i = P ( ). 1

2 3) La media de las medias muestrales es: i 68,33 68, ,33,6 3,33 3, ,6 μ 1,6 4) La variaa de las medias muestrales viee dada por: -μ dode k es la catidad de muestras obteidas (e este caso ). k 68,33 1,6 68,6 1,6 01,6... 4,31 4,31,08. El error estádar mide el grado de dispersió de las medias muestrales alrededor de, por lo cual puede iterpretarse como ua medida del error de muestreo. Ejercicio Segú los datos de la letra, la media poblacioal μ = 3, y el desvío poblacioal = 5,4. El tamaño de la muestra es = 500, por lo que la muestra ~ N μ,. es grade, etoces teemos que aproximadamete: Por tato, e el ejercicio teemos que: 5, ,415. (a) Más de 38 horas. μ 38 μ P( > 38) = 1 P( < 38) = 1 P ( < ) =

3 = 1 P (Z < 38 3, ) = 1 P(Z < 3,313) = 0,415 = (Tablas) = 1 1 = 0 La probabilidad de que la media muestral sea mayor que 38 horas es cero. Obsérvese que la media de la media muestral es 3. hs, y el desvío estádar es muy pequeño (0.4). Como se distribuye ormal, e más / meos tres desvíos estádar (o sea, 0.) se acumula más del 99% de la probabilidad. (b) Meos de 36.6 horas. P( < 36,6) = P (Z < 36,6 μ 36,6 3, ) = P (Z < 0,415 ) = = P(Z <,48) = Tabla = 0, (c) Etre 36,4 y 3,9 horas. P(36,4 < < 3,9) = P( < 3,9) P( < 36,4) = = P (Z < 3,9 3, 36,4 3, ) P (Z < 0,415 0,415 ) = P(Z <,8985) P(Z < 3,31) = Tabla = 0, = 0,998 Ejercicio 3 ~N μ, x.buscamos P( 1.95). La variaa poblacioal es descoocida. Se debe calcular esta probabilidad utiliado la estimació de la variaa muestral y la distribució t de Studet (observar que la muestra es chica): p () 1,95 μx ~ t 1 sx μx 1,95 μ P sx sx x P t 1,95 μ sx x Para la muestra ecotramos los valores de la media y variaa muestral 3

4 Obs xi xi 1 4 1,,89 3,1 4,41 4 1,9 3,61 5, 4,84 6,1 4, ,6,56 suma 15,6 30, media 1,95 4,39 Var 0,0486 d.e. 0,0 Tomamos la media poblacioal que idica el fabricate, μ = 1,83. 1,95 1,83 P t Pt 0, Se busca e la tabla t para grados de libertad. Los valores más cercaos a so que acumula u 90% de probabilidad y que acumula el 95%. Por tato, la probabilidad de observar ua media muestral mayor a estará etre 0. y 0.05 (etre % y 5%). Si la media e la població es 1.83 etoces es poco probable que la media muestral sea mayor Ejercicio 4 a) Se preguta el desvío estádar del estadístico, o sea, cuado se cooce el dato poblacioal (es decir cuado =.3). Auque o coocemos la distribució de la població, siedo ua muestra mayor de 30 uidades, la distribució de la media muestral se aproxima a la distribució ormal ~ Nμ x,. Por lo tato, 3 0. b) Si α=0.05, etoces, coociedo y coociedo el tamaño de la muestra que se tomó puede deducirse el d. El tamaño de muestra óptimo que garatia ua precisió d co u ivel de cofiaa 1- α está dado por: 4

5 1-α Como 1-(α/) = 0.95, el valor (0.95) =1.96 e la tabla ormal. Obteemos d como d d 1-α 1-α 1,96,3 0,45 La diferecia permitida etre la estimació y el verdadero parámetro poblacioal es de ta sólo Ejercicio 5 Para determiar el tamaño óptimo de ua muestra usamos: 1-α a) Si d=50 y α=0.05 etoces 1-(α/)=0.95. Se debe buscar el 0.95 e la tabla ormal =1.96. Así teemos que: d 1.96 * b) Para determiar d cuado α=0.01 y =0 (de esa muestra obtuvimos el ), buscamos e la tabla ormal y se obtiee.58. Así teemos que: d.58 * ,6 Ejercicio 6 La fórmula para determiar el tamaño óptimo de ua muestra es: 1-α Como o coocemos la variaa poblacioal, usamos la muestra piloto para calcular la variaa muestral y aproximar la variaa poblacioal descoocida. La letra os dice que el desvío estádar muestral s = Por tato, la variaa muestral es: s = d 5

6 El error es d = 000, co u ivel de cofiaa de 90%, por lo que α = 0,1. Etoces 1-(α/)=0,95. Buscado e la tabla de la distribució ormal estádar el 0.95, se obtiee el valor Así teemos que: 1,645 * , 51 Se requiere ua muestra de aproximadamete 51 estudiates. Ejercicio Se trata de la estimació de ua proporció (p). E clase se mostró que: 1-α p( 1p) pˆ -p E este caso teemos α = 0,01, por lo que 1-(α/)=0,995. Buscado e la tabla de la ormal estádar obteemos el valor de Z 0,995 =,58. No coocemos p i q=(1-p), ya que so los parámetros que deseamos estimar. Tomamos p = 0,5, que es el valor que maximia el umerador de la expresió aterior, y por tato, maximia el tamaño de la muestra (míimo) ecesario para obteer u ivel de cofiaa del 99% y u error o discrepacia o mayor al % pˆ - p 0,1. Reemplaado teemos: Z 0,995 * 0,5 * 0,5,58 * 0,5 166, ,1 0,01 Se debería tomar ua muestra de al meos 16 votates. Ejercicio 8 Segú la letra del ejercicio el parámetro poblacioal es p=0.4. Queremos saber la probabilidad de que el parámetro estimado p sea mayor que 0.45 sí tomamos ua muestra de =500. E muestras grades la distribució muestral del estadístico p es aproximadamete E este caso teemos: Queremos calcular: pq pˆ ~ Np, 0,4 0,6 pˆ ~ N 0,4 ; 500 6

7 Estadariado, teemos: P(p > 0.45) = 1 P(p < 0.45) = p 0,4 0,45 0,4 = 1 P < = 0,4 0,6 0,4 0,6 ( ) = 1 P ( < 0,05 ) = 1 P( <,8) = Tabla = = 0, ,019 Dado que la verdadera proporció (p) es 0.4, es muy poco probable que co muestras de tamaño =500 se obtega ua proporció muestral mayor a Ejercicio 9 Como se trata de la estimació de ua proporció, co ua muestra grade, la distribució muestral del estadístico p es: pq pˆ ~ Np, Reemplaado, sabemos que e este caso la distribució del estimador será: 0,5 0,5 pˆ ~ N 0,5, 00 Queremos la probabilidad de que la proporció de mujeres sea meor al 45%, o sea: p 0,5 0,45 0,5 P(p < 0.45) = P < = P (Z < ,5 0,5 0,5 0,5 0,0015 ) = ( ) P(Z < 1,41) = Tablas = 0,093. Si la verdadera proporció de acimietos de mujeres es 0,5, es muy poco probable que e los próximos 00 acimietos la proporció de mujeres sea meor a 0,45.