El método de Monte Carlo

Transcripción

1 El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los cietíficos Staislaw Ulam, Erico Fermi, Joh vo Neuma, y Nicholas Metropolis, etre otros, quiees ya trabajaba sobre muestreo estadístico. Su ombre hace referecia al Casio de Motecarlo e Móaco. 1. Aplicació e cálculos matemáticos Este método se utiliza para calcular uméricamete expresioes matemáticamete complejas y difíciles de evaluar co exactitud, o que o puede resolverse aalíticamete. E esta clase aalizaremos el cálculo o estimació de itegrales defiidas, y aproximacioes al valor de π. El método de Mote Carlo se basa e dos resultados fudametales de la Teoría de la Probabilidad: 1. La Ley de los Grades Números: Si X 1, X,..., X,... so variables aleatorias idepedietes, idéticamete distribuidas, co media µ, etoces: ( P lím X 1 + X + + X Equivaletemete se suele decir que, co probabilidad 1, X 1 + X + + X lím ) = µ = 1. (1). Si X es ua variable aleatoria absolutamete cotiua, co fució de desidad f, y g : R R = µ. es ua fució, etoces g X es ua variable aleatoria y su valor esperado está dado por E[g(X)] = g(x) f(x) dx. Supogamos que se quiere determiar u cierto úmero θ, descoocido, y que se sabe que este valor puede calcularse como E[g(X)] 1

2 Modelos y Simulació - 17 para cierta variable aleatoria X que posee ua distribució F (por ejemplo, co distribució uiforme e (, 1)). E alguos casos puede ocurrir que, por la aturaleza de la fució g, o de la fució de desidad de X, resulta muy difícil o imposible determiar E[g(X)]. El método de Mote Carlo propoe ecotrar u valor estimado de θ, dode estimado sigifica que hay ua alta probabilidad de obteer u valor muy cercao a la verdadera solució. Aclaremos este puto. El método de Mote Carlo cosidera ua secuecia X 1, X,... de variables aleatorias, idepedietes, todas co la misma distribució de X, es decir, X i F para todo i 1. Etoces g(x 1 ), g(x ),... g(x ),... so todas variables aleatorias idepedietes, co media igual E[g(X)], y por lo tato: co probabilidad 1. lím g(x 1 ) + g(x ) + + g(x ), Notemos que el lado izquierdo de la igualdad es u úmero, mietras que lo que está a la derecha es ua variable aleatoria. Por ello es importate la aclaració co probabilidad 1, porque idica que la probabilidad del eveto dode ese límite es igual a θ es 1. Es importate aclarar: la Ley de los Grades Números o determia que existe ua cota para el error para cualquier realizació de las X i : θ g(x 1) + g(x ) + + g(x ) X 1 = x 1, X = x, X 3 = x 3,... X = x, y u suficietemete grade; sio que establece que para casi todas las realizacioes ocurre que g(x 1 ) + g(x ) + + g(x ) lím = µ. x Dicho de ua maera más coloquial, es prácticamete improbable que ua realizació de las X i s o cumpla que el límite de sus promedios se aproxime a θ a medida que tiede a ifiito. x 1 + x + + x. Estimació de itegrales defiidas.1. Itegració sobre (, 1) Ua de las aplicacioes del método de Mote Carlo es facilitar el cálculo de itegrales defiidas. E realidad o se determia el valor exacto, sio que se estima el valor de la itegral.

3 .1 Itegració sobre (, 1) Modelos y Simulació - 17 Veamos primero el caso e que se desee calcular ua itegral de la forma g(x) dx. Recordamos que la aplicació del método de Mote Carlo tiee setido cuado o es posible o es muy complicado determiar la itegral de forma aalítica. Deotamos co θ a este valor descoocido: g(x) dx. Si ahora cosideramos ua variable aleatoria uiforme U, U U(, 1), etoces la fució de desidad de U es y por lo tato se cumple que: 1 < x < 1 f(x) = I (,1 )(x) =, c.c g(x) f(x) dx = E[g(U)]. Por lo tato, si U 1, U,... so v.a. uiformes e (, 1), idepedietes, por la Ley Fuerte de los grades úmeros se tiee que: co probabilidad 1. lím N 1 N g(u i ) = θ Cosideramos etoces ua muestra de tamaño N de U 1, U,... U,..., y estimamos el valor de θ co u promedio simple de esta muestra. Por ejemplo, podemos estimar el valor de la itegral (1 x ) 3/ dx 1 N (1 u i ) 3/, dode u 1, u,..., u es ua realizació de las v.a. U 1, U,... U N. El valor exacto de esta itegral es 3 π 16, aproximadamete (Ver Figura 1 y Cuadro 1). # Simulacioes Valor estimado Cuadro 1: Estimacioes de (1 x ) 3/ dx 3

4 . Itegració sobre u itervalo (a, b) Modelos y Simulació Figura 1: N = 3, Valor estimado= Itegració sobre u itervalo (a, b) Para estimar el valor de ua itegral defiida, sobre u itervalo (a, b), co a y b reales, se aplica u cambio de variables para trasformarla e ua itegral etre y 1. Esto es, si co a < b, etoces defiimos la variable y: y así el valor de θ puede calcularse como: b a g(x) dx, y = x a b a, dy = 1 b a dx dode b a g(x) dx = g(a + (b a)y)(b a) dy = h(y) = g(a + (b a)y)(b a), y (, 1). h(y) dy. Ejemplo.1. Para estimar el valor de la itegral realizamos u cambio de variable: e x+x dx, y = x + 1, dy = 1 dx. Luego e x+x dx = e (y)+(y) dy =. 4

5 .3 Itegració sobre (, ) Modelos y Simulació y=(b-a)*g(a+(b-a)*x) y=g(x) Figura : Estimacioes de la itegral y gráfico de g(x) = e x+x dx Ua estimació co N simulacioes estará dada por el valor de ua expresió: N e (u i)+(u i ), dode u 1, u,..., u es ua realizació de las v.a. U 1, U,... U N, todas uiformes e (, 1) e idepedietes etre sí. Notar que si U U(, 1), etoces U 1 U(, 1). # simulacioes valor estimado Itegració sobre (, ) E el caso de la estimació de ua itegral e el itervalo (, ): g(x) dx, tambié se aplica u cambio de variables, trasformado biyectivamete el itervalo (, ) e (, 1). El cambio de variables es el siguiete: 5

6 Modelos y Simulació - 17 Luego se tiee que: y = 1 x + 1, dy = 1 (x + 1) dx = y dx. co g( 1 y g(x) dx = 1) g( 1 y 1 y dy = 1) y dy = h(y) = 1 y g(1 y 1). h(y) dy, Ejemplo.. Para estimar la siguiete itegral: cos(x) e x dx se aplica el método de Mote Carlo para la estimació de cos( 1 x 1) e ( 1 x ) dx. x θ 1 N cos( 1 u i 1) e ( 1 ) u i. u i 3. Estimació de itegrales múltiples El método de Mote Carlo para el cálculo de itegrales e ua variable o es muy eficiete, comparado co otros métodos uméricos que coverge más rápidamete al valor de la itegral. Si embargo, para la estimació de itegrales múltiples este método cobra mayor importacia ya que computacioalmete es meos costoso. Nuevamete, ua itegral múltiple de ua fució e varias variables defiida e u hipercubo de lado 1 puede estimarse co el método de Mote Carlo. Para calcular la catidad utilizamos el hecho que g(x 1,..., x l ) dx 1... dx l E[g(U 1,..., U l )] co U 1,..., U l idepedietes y uiformes e (, 1). Esto es así porque su distribució cojuta está dada por: f(x 1, x,..., x l ) = I (,1) (,1) (,1) (x 1, x,..., x l ), 6

7 3.1 Estimació del valor de π Modelos y Simulació - 17 y etoces g(x 1,..., x l ) f(x 1,..., x l ) dx 1... dx l. Si se tiee N muestras idepedietes de estas l variables, U 1 1,..., U 1 l U1,..., Ul. U1 N,..., Ul N podemos estimar el valor de θ como θ 1 N g(u1, i..., Ul i ) 3.1. Estimació del valor de π Ua aplicació de Mote Carlo e su uso para la estimació de itegrales múltiples, es el cálculo estimado del valor de π. Recordemos que el área de u círculo de radio r es π r. Si tomamos r = 1, etoces π está dado por el valor de ua itegral: π = I {x +y <1}(x, y)dxdy. Si X e Y so v.a. idedietes, uiformes e (, 1), ambas co desidad f X (x) = f Y (x) = 1 I (,1)(x), etoces su desidad cojuta es igual al producto de sus desidades: f(x, y) = f X (x) f Y (y) = 1 4 I (,1) (,1)(x, y). E particular, (X, Y ) resulta u vector aleatorio co distribució uiforme e (, 1) (, 1), y teemos que Etoces π = I {x +y <1}(x, y) dx dy = π 4 = E[g(X, Y )], 4 I {x +y <1}(x, y) f(x, y) dx dy. 7

8 3.1 Estimació del valor de π Modelos y Simulació - 17 dode g(x, y) = I {x +y <1}(x, y). Así, para estimar π podemos geerar secuecias de pares (X i, Y i ), i 1, dode X i e Y i so variables aleatorias uiformes e (, 1), y luego estimar el valor de π como: 4 1 N I x +y 1(x i, y i ). j=1 E otras palabras, π será estimado por la proporció de pares (X, Y ) que caiga detro del círculo de radio 1, multiplicado por 4. Notemos que si U 1, U U(, 1), etoces verifica X, Y U(, 1). X = U 1 1 Y = U 1 def valorpi(nsim): ecirculo= for i i rage(nsim): u=*radom()-1 v=*radom()-1 if u**+v**<=1: ecirculo+=1 retur 4*eCirculo/Nsim valorpi(nsim) # Simulacioes Valor estimado Cuadro : Estimacioes de π 8