República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Abierta Vicerrectorado Académico Área de Matemática

Transcripción

1 República Bolivariaa de Veezuela Uiversidad Nacioal Abierta Vicerrectorado Académico Área de Matemática Fórmulas y Tablas Cursos: 738, 745, 746 y 748 Prof. Gilberto Noguera

2 Lista de Formulas N 1) µ = x 1 + x x N N = i=1 N x i Media poblacioal 2) x = x 1 + x x = i=1 3) Posició de la mediaa = x i Media muestral Determia la posició de mediaade datos ordeados o agrupados 4) x w = xw w Media poderada 5) MG = x 1 x 2 x Media geométrica 6) m = L m + ( + 1)/2 (F + 1) f m (c) Mediaa para datos agrupados 7) Mo = L mo + D 1 D 1 + D 2 (c) Moda para datos agrupados 8a) σ 2 = 8b) σ 2 = (xi µ) 2 N (fẋ 2 ) µ 2 N Variaza poblacioal Variaza poblacioal para datos agrupados 9) σ = σ 2 Desviació estádar poblacioal 10) s 2 = (xi x) 2 1 Variaza muestral 11) s = s 2 Desviació estádar muestral 12) x = fẋ Media para datos agrupados, el puto medio del itervalo de clase se represeta por ẋ 13) s 2 = fẋ 2 x 2 1 Variaza muestral para datos agrupados 14) L p = ( + 1) P 100 Ubicació de u percetil 15) CV = s (100) Coeficiete de variació x 16) P (E) = Número de veces e que el eveto ha ocurrido Número total de observacioes Frecuecia relativa 2

3 Lista de Formulas 17a) P (E) = Número de formas e que ocurre u eveto Número total de posibles resultados Modelo clásico 17b) P (A) + P (A c ) = 1 Teorema de probabilidad 18) P (A B) = P (A) + P (B) Evetos mutuamete excluyetes 19) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Evetos que o so mutuamete excluyetes 20) P (AB) = P (A B) = P (A)P (B) Probabilidad de evetos idepedietes 21) P (AB) = P (A)P (B A) Probabilidad de evetos depedietes(probabilidad codicioal) 22) P (B) = P (A 1 B) + + P (A B) Probabilidad total 23) P (B) = P (B A i )P (A i ) i=1 Probabilidad total 24) P (A k B) = P (B A k)p (A k ), k = 1,, Teorema de Bayes P (B A i )P (A i ) i=1 25) P r = 26) C r =! ( r)!! r!( r)! Permutacioes Combiacioes 27) µ = E(X) = [(x i P (x i )] Valor esperado de ua distribució 28) V ar = σ 2 = [ (x i µ) 2 P (x i ) ] Variaza de ua distribució de probabilidad 29) P (x) = ( rc x ) ( N r C x ) NC ( r ) 30) E(X) = N ( r 31) V arx = N ) ( N r N ) ( ) N N 1 Distribució hipergeométrica Distribució hipergeométrica Distribució hipergeométrica 32) P (X = x) = C x p x q x Distribució biomial, dode q = 1 p 33) E(X) = p Distribució biomial 34) V ar(x) = pq Distribució biomial 3

4 Lista de Formulas 35) P (X = x) = (x 1) C (r 1) p r q x r Distribució biomial egativa 36) E(X) = r p 37) V ar(x) = r p ( ) 1 p 1 Distribució biomial egativa Distribució biomial egativa 38) P (X = x) = pq x 1 Distribució geométrica 39) E(X) = 1 p Distribució geométrica 40) V ar(x) = q p 2 Distribució geométrica 41) P (X = x) λx e λ x! Distribució de Poisso 42) E(X) = λ Distribució de Poisso 43) V ar(x) = λ Distribució de Poisso 44) P (a X b) = 45) P (X x) = F (x) = 46) µ = E(X) = b a x f(x)dx f(x)dx xf(x)dx Probabilidad de ua variable aleatoria X, co fució de desidad f(x) Fució de distribució de ua variable aleatoria X, co fució de desidad f(x) Media o valor esperado de ua desidad de probabilidad 47) σ 2 = V ar(x) = (x µ) 2 f(x)dx Variaza de ua desidad de probabilidad Teorema(De Límite Cetral) Si x es la media de ua muestra de tamaño extraída de ua població co la media µ y la variaza fiita σ 2,etoces Z = x µ σ/ es ua variable aleatoria cuya fució de distribució se aproxima a la de la distribució ormal estádar cuado. Teorema(De Chebyshev) Si µ y σ so, respectivamete la media y la desviació estádar de ua variable aleatoria X, etoces para ua costate positiva k cualquiera, la probabilidad de que X tome u valor coteido e k desviacioes estádar es cuado meos 1 1, es decir k2 P ( X µ < kσ) 1 1 k 2 4

5 Lista de Formulas 48) f(x) = { 1/(b a) si a x b 0 otro caso 0 si x a 49) F (x) = P (X x) = (x a)/(b a) si a x < b 0 otro caso Fució de desidad uiforme Fució de distribució. Distribució uiforme 50) µ = 1 (a + b) Valor esperado o media. Distribució uiforme 2 51) σ 2 = 1 12 (b a)2 Variaza. Distribució uiforme 1 52) f(x) = β e x/β para x > 0, β > 0 0 otro caso Distribució expoecial 53) µ = β Distribució expoecial 54) σ 2 = β 2 Distribució expoecial 55) P (X x) = 1 e x/β Distribució expoecial 56) f(x) = a π(x 2 + a 2, a > 0, < x < ) x α 1 e x/β 57) f(x) = β α para x > 0 Γ(α) 0 otro caso (α, β > 0) Distribució de Cauchy Distribució gamma 58) µ = αβ Distribució gamma 59) σ 2 = αβ 2 Distribució gamma Γ(α + β) 60) f(x) = Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 si 0 < x < 1 0 otro caso (α, β > 0) Distribució beta 61) µ = α α + β 62) σ 2 = αβ (α + β) 2 (α + β + 1) Distribució beta Distribució beta 1 63) f(x) = 1 σ 2π e 2 64) Z = X µ σ! x µ 2 σ Distribució ormal Variable ormalizada correspodiete X 5

6 Lista de Formulas 1 65) f(x) = 2 ν/2 Γ(ν/2) x(µ/2) 1 e x/2 si x > 0 0 otro caso Distribució χ 2, chi-cuadrado 66) µ = ν Distribució χ 2 67) σ 2 = 2ν Distribució χ 2 68) E(X) = x = xi = µ Media de las medias muestrales ( 69) σ 2 = xi x ) 2 (xi µ) 2 S2 = = X 70) σ X = S = σ 2 X Variaza de la distribució de medias muestrales Desviació o error estádar de la distribució 71) σ 2 X = σ2 Variaza de la distribució coocida σ 72) σ X = σ Error estádar de la distribució coocida σ 73) V ar(x) = N σ 2 N 1 74) σ X = N σ N 1 75) Ŝ 2 = 1 (xi x) 2 1 Variaza de la distribució coocida σ, para poblacioes fiitas si reemplazamieto Error estádar coocida σ, para poblacioes fiitas si reemplazamieto Variaza muestral corregida o cuasi variaza 76) Ŝ = Ŝ2 Desviació típica corregida 77) 78) N N 1 N Factor de correcció població fiita (fcpf), si fcpf > 0,95 la població se cosidera ifiita Fracció de muestreo (fm), si fm < 0, 05 etoces població ifiita ( Zα/2 σ 79) = E ( Zα/2 pq 80) = E ) 2 Tamaño de la muestra para estimar media ) 2 Tamaño de la muestra para estimar proporció 6

7 81) = NZ 2 α/2 σ2 NE 2 + Z 2 α/2 σ2 Lista de Formulas Tamaño de la muestra para media e uiversos pequeños 82) = NZ 2 α/2 pq (N 1)E 2 + Z 2 α/2 pq Tamaño de la muestra para proporció e uiversos pequeños 83) Z = X µ σ X Desviació ormal para medias 84) E ( p) = pi = p Valor esperado para proporció 85) σ bp = 86) σ bp = pq N pq N 1 87) Z = p p σ bp Error estádar para proporció Error estádar para proporció co fcpf Desviació ormal para proporció 88) x Z α/2 σ X < µ < x + Z α/2 σ X Itervalo de cofiaza (IC) para µ, coocida σ 89) x Z α/2 S X < µ < x + Z α/2 S X Itervalo de cofiaza para µ, o coocida σ 90) σ = 1 3 Variaza para la distribució t 91) x t α/2, 1 S < µ < x + t α/2, 1 S Itervalo de cofiaza para µ; muestras pequeñas 92) S bp = pq Estimado del error estádar, distribució de proporcioes muestrales 93) p Z α/2 S bp < p < p + Z α/2 S bp Itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal 94) ( 1)S 2 < σ 2 ( 1)S2 < Itervalo de cofiaza para σ χ α/2, 1 χ 2 1 α/2, 1 95) S 2 1 S F α/2,1 1, 2 1 < σ2 1 σ 2 2 < S2 1 S 2 2 F α/2,2 1, 1 1 Itervalo de cofiaza para σ2 1 σ ) Z = X µ 0 σ/ Z para probar hipótesis coocida σ 97) Z = X µ 0 S/ Z para probar hipótesis descoocida σ 7

8 Lista de Formulas 98) t = X µ 0 S/ Z para probar hipótesis, muestras pequeñas 99) Z = p p 0 σ bp 100) σ x1 x 2 = 101) S x1 x 2 = σ σ2 2 2 S S2 2 2 Z para probar hipótesis sobre p Error estádar para diferecia etre medias muestrales Estimació del error estádar para diferecia etre medias muestrales 102) (x 1 x 2 ) ± Z α/2 σ x1 x 2 IC para diferecia etre medias muestrales 103) (x 1 x 2 ) ± Z α/2 S x1 x 2 IC para diferecia etre medias muestrales, descoocidas σ 1 y σ 2 104) S 2 P = S2 1 ( 1 1) + S 2 2 ( 2 1) Estimado poderado para variaza comú descoocida 105) (x 1 x 2 ) ± t α/2, S p IC para diferecia de medias cuado σ 1 = σ 2 descoocidas 106) ν = ( S 2 1 / 1 + S 2 2 / 2) 2 ( ) S / 1 /(1 1) + ( S2 2/ ) 2 2 /(2 1) Grados de libertad cuado σ 1 σ 2 descoocidas 107) (x 1 x 2 ) ± t α/2,ν S S2 2 2 IC para diferecia de medias cuado σ 1 σ 2 descoocidas 108) d = di Media de las diferecias para observacioes pareadas 109) S d = d 2 i d ) d t α/2, 1 S d < µ 1 µ 2 < d + t α/2, 1 S d Desviació estádar para observacioes pareadas IC para diferecia de medias; observacioes pareadas 111) S bp1 bp 2 = p1 q p 2 q 2 2 Error estádar para diferecia etre proporcioes 112) ( p 1 p 2 ) ± Z α/2 S bp1 bp 2 IC para diferecia etre proporcioes poblacioales ( σ σ2) 2 113) = Z2 α/2 E 2 Tamaño de la muestra para diferecia etre medias poblacioales 8

9 Lista de Formulas 114) = Z2 α/2 (p 1q 1 + p 2 q 2 ) E 2 Tamaño de la muestra para diferecia etre proporcioes poblacioales 115) Z = ( X1 X 2 ) (µ1 µ 2 ) S x1 x 2 Z para probar hipótesis sobre diferecia etre medias 116) t = ( X1 X 2 ) (µ1 µ 2 ) S p Estadístico para probar hipótesis, diferecia etre medias para σ 1 = σ 2 descoocidas 117) t = ( ) X1 X 2 (µ1 µ 2 ) S1 2 + S Estadístico para probar hipótesis, diferecia etre medias para σ 1 σ 2 descoocidas 118) t = d (µ 1 µ 2 ) S d / 119) Z = ( p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) S bp1 bp 2 Estadístico para probar hipótesis, diferecia etre medias.observacioes pareadas Estadístico para probar hipótesis, diferecia etre proporcioes 120) F = S2 1 S 2 2 Estadístico F para comparar dos variazas poblacioales 121) χ 2 = k (O i E i ) 2 E i=1 i Prueba χ 2, para ajuste 122) E i = p i Frecuecias esperadas 123) χ 2 = fc i=1 (O i E i ) 2 E i Prueba χ 2, para tablas de cotigecia 124) Ŷ = b 0 + b 1 X Recta de regresió lieal 125) SCx = X 2 ( X) 2 126) SCy = Y 2 ( Y ) 2 127) SCxy = XY ( X) ( Y ) 128) b 1 = SCxy SCx Suma de cuadrados para X Suma de cuadrados para Y Suma de productos cruzados Pediete de la recta de regresió 9

10 Lista de Formulas 129) b 0 = Y b 1 X Itercepto de la recta de regresió 130) e i = Y i Ŷi Error, diferecia etre valores observados y valores estimados por el modelo 131) d = (ei e i 1 ) 2 e 2 i Estadístico de Durbi - Wstso ( Y i Ŷi 132) Se = 2 ) 2 133) SCE = SCy (SCxy)2 SCx 134) CME = SCE 2 Error estádar de estimació Suma de cuadrados del error Cuadrado medio del error 135) Se = CME Error estádar de estimació 136) SCT = ( Y i Y ) 2 137) r 2 = SCR SCT 138) r 2 = (SCxy)2 (SCx) (SCy) Suma de cuadrados total Coeficiete de determiació Coeficiete de determiació 139) r = r 2 Coeficiete de correlació 140) t = b 1 β 1 S b1 141) S b1 = Se SCx Prueba t para β 1 coeficiete de regresió Error estádar del coeficiete de regresió 142) b 1 t α/2; 2 S b1 < β 1 < b 1 + t α/2; 2 S b1 IC para el coeficiete de regresió 143) t = r ρ S r 1 r 2 144) S r = 2 ( 1 145) S Y = Se + Xi X ) 2 SCx Prueba t para coeficiete de correlació Error estádar del coeficiete de correlació Error estádar de la media codicioada 146) Ŷ i ts Y < µ y x < Ŷi + ts Y IC para de la media codicioada 10

11 147) S Yi = Se ( + Xi X ) 2 SCx Lista de Formulas Error estádar del proóstico 148) Ŷ i ts Yi < Y i < Ŷi ts Yi IC para el itervalo de predicció 149) SCR = (SCxy)2 SCx 150) IP R = P R P B 100 % 151) IP R = PR PB 100 % Suma de cuadrados de regresió Ídice de precios simple Ídice de precios agregado 152) L = (PR Q R ) (PB Q B ) 100 % Ídice de precios agregado (ídice de Laspeyres) 153) P = (PR Q R ) (PB Q R ) 100 % Ídice de precios agregado (ídice de Paasche) 154) F t+1 = S t Modelo de proóstico usado suavizado de promedios móviles; F t+1 proóstico para el tiempo t ) S t = X t + X t X t N+1 N Suavizado de promedios móviles; X i valor actual e el tiempo i i periodo de tiempo; N úmero de valores icluidos 156) F t+1 = αx i + (1 α)f t Modelo de proóstico usado suavizado expoecial; α costate de suavizamieto F t proyecció previa para el periodo corriete 11

12 Tablas Estadísticas

13 TABLA 1: DISTRIBUCIÓN NORMAL Áreas bajo la curva ormal Ejemplo: Z X P V P [Z > 1] = P [Z > 1.96] = Desv. ormal x

14 TABLA 2: DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT Putos de porcetaje de la distribució t Ejemplo Para = 10 grados de libertad: P[ t > 1.812] = 0.05 P[ t < ] = 0.05 r D 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0, ,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63, , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, ,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, ,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290 3

15 TABLA 3: DISTRIBUCIÓN F 2 Putos de porcetaje de la distribució 2 Ejemplo: Para = 10 grados de libertad P [ 2 > 15.99] = 0.10 π π E E E E E E E E E Z Z Para > 100 tómese = Z I. Z es la desviació ormal estadarizada correspodiete al ivel de sigificacia y se muestra e la parte superior de la tabla. 4

16 TABLA 4: DISTRIBUCIÓN F DE FISHER Putos de Porcetaje de la distribució F Ejemplo: Para 1 = 9, 2 = 12 grados de libertad: P[ F > 2.80 ] = 0.05 P [ F > 4.39 ] = % (ormal) y 1 % (egritas) putos para la distribució de F 1 grados delibertad (para el mayor cuadrado medio)

17 5 % (ormal) y 1 % (egritas) putos para la distribució de F 1 grados delibertad (para el mayor cuadrado medio)

18 2 5 % (ormal) y 1 % (egritas) putos para la distribució de F 1 grados delibertad (para el mayor cuadrado medio)

19 TABLA 5: PROBABILIDADES BINOMIALES p k

20 TABLA 5 (CONTINUACIÓN) p k

22 p k