1 x 1 0,1666. sabiendo que 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496.

Transcripción

1 GRADO GESTIÓN AERONÁUTICA: EXAMEN ESTADÍSTICA TEÓRICA 9 de Eero de 015. E-7. Aula La fució de desidad de ua variable aleatoria es: a b 0 f() 0 e el resto sabiedo que 1 P 1 0,1666. Determiar a y b..- El peso (e gramos) de las cajas de cereales de ua determiada marca sigue ua distribució N(, 5). Se ha tomado los pesos de 16 cajas seleccioadas aleatoriamete, y los resultados obteidos ha sido: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 51, 514, 505, 493, 496, 506, 50, 509, 496. a) Obteer el itervalo de cofiaza del 95% para la media poblacioal. b) Determiar cuál sería el tamaño muestral ecesario para coseguir, co u 95% de cofiaza, u itervalo de logitud igual a gramos. c) Supoiedo ahora que es descoocida, calcular el itervalo de cofiaza para la media al 99%. 3.- La probabilidad de que u baco reciba u cheque si fodos es 0.01 a) Si e ua hora recibe 0 cheques, cuál es la probabilidad de que tega algú cheque si fodos? b) El baco dispoe de 1 sucursales e la ciudad, cuál es la probabilidad de que al meos cuatro sucursales reciba algú cheque si fodos? c) La media del valor de los cheques si fodos es de 600 euros. Sabiedo que el baco trabaja 6 horas diarias, qué catidad o se espera pagar? d) Si se computase los 500 primeros cheques, cuál es la probabilidad de recibir etre 3 y 6 (iclusive) cheques si fodos?

2 4.- Co u ivel de sigificació del 4,7%, se desea cotrastar la hipótesis ula de igualdad de medias de dos poblacioes N( 1, 4) y N(, 4,5). Para ello, se ha tomado dos muestras aleatorias simples e idepedietes, respectivamete, obteiédose los siguietes valores: i 0,4 10, 7,3 1,8 13,4 9,4 y 19,8 9,7 14, ,4 j 5.- Ua empresa multiacioal desea coocer si co el 95% de fiabilidad eiste diferecias sigificativas etre sus trabajadores e distitos países e el grado de satisfacció e el trabajo. Para ello se toma muestra aleatorias simples de trabajadores, obteiedo los siguietes resultados: A Satisfacció e el trabajo Muy satisfecho Satisfecho Isatisfecho Muy isatisfecho (4,86) (85, 71) (114, 9) B (34, 86) 150 (15, 38) C 350 (83, 33) (333, 33) a) Si dos sucesos A y B tiee la misma probabilidad igual a 0,3 y so idepedietes, cuáto vale la probabilidad de A codicioada a B?. Y la probabilidad de A B? b) Dada ua variable aleatoria X que se distribuye como ua B(30;0,) y otra variable aleatoria Y que se distribuye como ua B(150;0,3). Si X e Y so idepedietes, se puede afirmar que la variable X Y se distribuye como ua B(180;0,5)?. Justifica tu respuesta. c) Ua variable aleatoria tiee 10 grados de libertad. Hallar la media, la variaza y la probabilidad de que dicha variable aleatoria sea mayor que 9,34

3 1.- La fució de desidad de ua variable aleatoria es: a b 0 f() 0 e el resto sabiedo que 1 P 1 0,1666. Determiar a y b. Solució: Hay que calcular dos parámetros (a y b), por lo que se ecesita dos ecuacioes: Por ser fució de desidad: 3 8a f() d (a b) d a b b 8a 6b , co lo que: 1/ 1/ 1/ 1 P 1 f() d (a b) d a b 0, a a b 7a b a b b 0,1666 7a 1b / e cosecuecia, 8a 6b 3 16a 1b a 0, 6b 3 b 0,0 7a 1b 4 7a 1b El peso (e gramos) de las cajas de cereales de ua determiada marca sigue ua distribució N(, 5). Se ha tomado los pesos de 16 cajas seleccioadas aleatoriamete, y los resultados obteidos ha sido: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 51, 514, 505, 493, 496, 506, 50, 509, 496. a) Obteer el itervalo de cofiaza del 95% para la media poblacioal. b) Determiar cuál sería el tamaño muestral ecesario para coseguir, co u 95% de cofiaza, u itervalo de logitud igual a gramos. c) Supoiedo ahora que es descoocida, calcular el itervalo de cofiaza para la media al 99%. Solució:

4 a) Se trata de costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de variaza coocida 5. El itervalo de cofiaza de ivel 1 viee dado por: Error muestral media z muestral L1 z L logitud o amplitud logitud I 1( ) z Error muestral z 16 i i1 503,75 16 El itervalo de cofiaza solicitado será: 10,95 0,05 0,05 z 1, I 0,95 ( ) 503,75 1,96 503,75 1,96, 503,75 1, ,95 I ( ) 501,30 ; 506,0 P 501,30 506,0 0,95 1 b) La amplitud o logitud vedrá dado por la fórmula: I 1 ( ) z amplitud o z z z z logitud amplitud siedo,.1, cajas de cereales c) Se trata de costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de variaza poblacioal descoocida, co muestras pequeñas ( 30). El itervalo de cofiaza de ivel (1 ), viee dado por: s I 1 ( ) t ( ),1 10,99 0,01 t0,005;15,947 cuasivariaza muestral: 16 i1 ( ) i s 36,037 s 6 15 cuasidesviació típica El itervalo de cofiaza solicitado será:

5 6 6 6 I 0,99 ( ) 503,75, ,75,947, 503,75, ,99 I ( ) 499,33 ; 508,17 P 499,33 508,17 0, La probabilidad de que u baco reciba u cheque si fodos es 0.01 a) Si e ua hora recibe 0 cheques, cuál es la probabilidad de que tega algú cheque si fodos? b) El baco dispoe de 1 sucursales e la ciudad, cuál es la probabilidad de que al meos cuatro sucursales reciba algú cheque si fodos? c) La media del valor de los cheques si fodos es de 600 euros. Sabiedo que el baco trabaja 6 horas diarias, qué catidad o se espera pagar? d) Si se computase los 500 primeros cheques, cuál es la probabilidad de recibir etre 3 y 6 (iclusive) cheques si fodos? Solució: a) X = "úmero de cheques si fodos" sigue ua distribució biomial X B(0, 0,01) PX 11PX 11PX 01.0,01.0,99 10,980 0,18 0 b) Y = "úmero de sucursales que recibe al meos 1 cheque si fodos" Y B(1, 0,18) PY 41PY 41PX0PX1PX PX ,18.0,818.0,18.0,818.0,18.0,818.0,18.0, ,0897 0,3960,930,174 0,16 c) 1hora 6 horas 0 cheques cheques 10 cheques Los cheques si fodos esperados: E(X). p 10.0,01 1, cheques E cosecuecia, se espera o pagar 1, euros

6 d) U = "úmero de cheques si fodos computados" dode U b(500, 0,01), que al ser. p 500.0,01 5 se aproima a ua distribució de Poisso de parámetro P5 P3 U 6 PU 3 PU 4 PU 5 PU 6 3! 4! 5! 6! e 5 0,833 6,04 6,04 1,701.e 5 0, Co u ivel de sigificació del 4,7%, se desea cotrastar la hipótesis ula de igualdad de medias de dos poblacioes N( 1, 4) y N(, 4,5). Para ello, se ha tomado dos muestras aleatorias simples e idepedietes, respectivamete, obteiédose los siguietes valores: i 0,4 10, 7,3 1,8 13,4 9,4 y j 19,8 9,7 14, ,4 Solució: E el cotraste bilateral se establece las hipótesis: H 0 : 10 H: 1 10 Regla de decisió Si y k se rechaza H Si y k se acepta H0 0 Para aalizar el cotraste, se realiza los cálculos muestrales: 6 i 1 5 j 1 y i j 1,5 y 13, La regió crítica de dos colas y k es fució de la diferecia de las medias muestrales. E esta líea, las distribucioes e el muestreo de las medias so: N 1, 1 1, y N,

7 Bajo la hipótesis ula H 0 : 1 0, la diferecia de medias muestrales se distribuye: 1 4 4,5 ( y) N 0, N 0, N0,, Se determia el valor de k mediate el ivel de sigificació : PRechazarH0 H0 cierta P y k/h 0 : 1 0 (y) 0 y y P K P K K,59,59,59 y y P K P K 0,05 por simetría N(0,1),59,59 y y 5,17 La regió crítica es 1, 995 z 0, 036,59 y 5,17 E cosecuecia, la regió de aceptació: 5,17 y 5,17 La evidecia empírica y 1, 5 13,64 1,39, valor que se ecuetra e la regió de aceptació por lo que se acepta la hipótesis ula de igualdad de medias, co u ivel de sigificació del 4,7%. Aálogamete, se podría haber resuelto cosiderado la regió de rechazo de la hipótesis ula H: 0 4 4,5 R y z R 1,5 13,64 (1,995) La regió de rechazo de la hipótesis ula o se cumple, R 1,39 5,17, cocluyedo que eiste igualdad etre las medias poblacioales. Abscisas Áreas 1,98 1,99 1,99 0, 039 0, 036 0, 033 0, 033 1,99 0,01. 0, , ,995

8 5.- Ua empresa multiacioal desea coocer co u 95% de fiabilidad si eiste diferecias sigificativas etre sus trabajadores e distitos países e el grado de satisfacció e el trabajo. Para ello se toma muestra aleatorias simples de trabajadores, obteiedo los siguietes resultados: A Satisfacció e el trabajo Muy satisfecho Satisfecho Isatisfecho Muy isatisfecho (4,86) (85, 71) (114, 9) B (34, 86) 150 (15, 38) C 350 (83, 33) (333, 33) Solució: La hipótesis ula H 0: 'Las proporcioes de los trabajadores co los distitos grados de satisfacció so iguales e los tres países' Se acepta H 0 : ( e ) k m k m ij ij ij (k 1). (m 1) ; (k 1). (m 1) e i 1 j 1 ij e i1 j1 ij Regió de rechazo de la hipótesis ula: R rechazo (k1).(m1) ; (k1).(m1) Se forma la tabla de cotigecia 3 4 dode cada frecuecia observada ( ij) i 1,,k ; j 1,,m tiee ua frecuecia teórica o esperada e ij i j

9 A Satisfacció e el trabajo Muy satisfecho Satisfecho Isatisfecho Muy isatisfecho 00 (e11 4,86) (e1 85, 71) (e13 57, 14) 100 (e , 9) Total 900 (900) B (e1 33, 81) 400 (e 380, 95) 350 (e3 34, 86) 150 (e4 15, 38) 100 (100) C 350 (e31 83, 33) (e3 333, 33) 50 (e33 ) 150 (e34 133, 33) 1050 (1050) Total Estadístico observado: (ij e ij) ij (3 1). (4 1) e e i1 j1 ij i1 j1 ij ,86 85,71 57,14 114,9 33,81 380,95 34,86 15, ,55 83,33 333,33 133,33 Estadístico teórico: 0,05 ; (3 1).(4 1) 0,05 ; 6 1,59 Como 49,55 1,59 se rechaza la hipótesis ula de homogeeidad de las 6 0,05 ; 6 tres muestras. Es decir, la satisfacció e el trabajo de los empleados de los tres países es sigificativamete distita

10 6.- a) Si dos sucesos A y B tiee la misma probabilidad igual a 0,3 y so idepedietes, cuáto vale la probabilidad de A codicioada a B?. Y la probabilidad de A B? b) Dada ua variable aleatoria X que se distribuye como ua B(30;0,) y otra variable aleatoria Y que se distribuye como ua B(150;0,3). Si X e Y so idepedietes, se puede afirmar que la variable X Y se distribuye como ua B(180;0,5)?. Justifica tu respuesta. c) Ua variable aleatoria tiee 10 grados de libertad. Hallar la media, la variaza y la probabilidad de que dicha variable aleatoria sea mayor que 9,34 Solució a) P(A B) P(A).P(B) P(A/ B) P(A) 0,3 P(A B) P(A).P(B) 0,3. 0,3 0,09 P(B) P(B) b) Dadas k variables aleatorias idepedietes (X 1, X,, X k) que se distribuye segú ua biomial B( i, p), la suma de las k variables es tambié ua distribució biomial de parámetros,p, es decir: 1 k k k Y Xi B i, p (propiedad reproductiva) i1 i1 E esta líea, si las variables aleatorias dadas tuviera la misma probabilidad, por ejemplo, X B(30; 0,) e Y B(150; 0,), etoces X Y B(180; 0,). La cuestió que se platea es distita, las variables X e Y tiee distita probabilidad, co lo que se determia que X Y o sigue ua distribució biomial B(180; 0,5) c) La media y variaza de la de Pearso: P 10 9,34 0,5