TEMA 4: CONTRASTE DE HIPOTESIS

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1 ESTADÍSTICA, CURSO TEMA 4: CONTRASTE DE HIPOTESIS HIPOTESIS ESTADISTICAS ENSAYOS DE HIPOTESIS Cocepto de hipótesis estadística Esayos de hipótesis Hipótesis ula (H 0 ) y alterativa (H ) Diferecias sigificativas Estadístico de prueba Regió crítica y regió de aceptació 2 TIPOS DE ERRORES Y SIGNIFICACION Errores de tipo I y tipo II: H 0 verdadera H 0 falsa Se acepta H 0 Decisió correcta Error tipo II Se rechaza H 0 Error tipo I Decisió correcta Nivel de sigificació α (probabilidad de cometer u error de tipo I) Probabilidad de cometer u error de tipo II Potecia de ua prueba Relació co los itervalos de cofiaza 3 CONTRASTES BILATERALES Y UNILATERALES Cotraste bilateral (esayo de dos colas) Cotraste uilateral (esayo de ua cola) Valores críticos para esayos de ua y dos colas y distribució ormal: Nivel de sigificació α z crítico (uilateral) z crítico (bilateral)

2 ESTADÍSTICA, CURSO FASES DE UN CONTRASTE DE HIPOTESIS Establecer las hipótesis ula H 0 y alterativa H 2 Elegir u ivel de sigificació α 3 Especificar el tamaño muestral 4 Seleccioar el estadístico de prueba apropiado 5 Determiar la regió crítica 6 Calcular el valor del estadístico 7 Tomar la decisió estadística apropiada 2 CONTRASTES CLASICOS 2 CONTRASTES PARA UNA POBLACION 2 Cotraste de la media de ua població ormal Variaza σ 2 coocida a) Costraste bilateral H0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 Estadístico (distribució ormal tipificada) : z = σ/ P ( z α/2 < z < z α/2 ) = α Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } σ/ z α/2 ; Se rechaza H 0 si : σ/ > z α/2 H0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } σ/ z α ; Se rechaza H 0 si : σ/ > z α Variaza σ 2 descoocida y > 30 Estadístico (ormal) : z = s/

3 ESTADÍSTICA, CURSO a) Costraste bilateral Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } s/ z α/2 ; Se rechaza H 0 si : s/ > z α/2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } s/ z α ; Se rechaza H 0 si : s/ > z α Variaza σ 2 descoocida y 30 a) Costraste bilateral Estadístico (t Studet) : t = s/ P ( t α/2, < t < t α/2, ) = α Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α/2, } ; C = t : t > t α/2, } s/ t α/2, ; Se rechaza H 0 si : s/ > t α/2, Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α, } ; C = t : t > t α, } s/ t α, ; Se rechaza H 0 si : s/ > t α, 22 Cotraste de ua proporció a) Costraste bilateral H0 : p = p 0 H : p p 0 Estadístico (ormal) : z = p p 0 p( p) P z α/2 < p p 0 p( p) < z α/2 = α Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } p p 0 p( p) z α/2 ; Se rechaza H 0 si : p p 0 p( p) > z α/2

4 ESTADÍSTICA, CURSO H0 : p p 0 H : p > p 0 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } p p 0 p( p) z α ; Se rechaza H 0 si : p p 0 p( p) > z α 23 Cotraste de la variaza de ua població ormal a) Cotraste bilateral H0 : σ 2 = σ 2 0 H : σ 2 σ 2 0 Estadístico (χ 2 ) : χ 2 = ( )s2 σ 2 0 P (χ 2 α/2, < χ2 < χ 2 α/2, ) = α A = χ 2 : χ 2 α/2, χ2 χ 2 α/2, } ; C = χ2 : χ 2 < χ 2 α/2, o χ2 > χ 2 α/2, } ( ) σ 2 0 [χ 2 α/2,, χ2 α/2, ] H0 : σ 2 σ 2 0 H : σ 2 > σ 2 0 Regioes de aceptació y crítica : A = χ 2 : χ 2 χ 2 α, } ; C = χ 2 : χ 2 > χ 2 α, } ( ) σ 2 0 χ 2 α, 22 COMPARACION DE DOS POBLACIONES 22 Cotraste de la igualdad de medias de poblacioes ormales Variazas coocidas

5 ESTADÍSTICA, CURSO a) Cotraste bilateral H0 : µ = µ 2 H : µ µ 2 Estadístico (ormal) : z = x x 2 σ 2 + σ2 2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } x x 2 σ 2 + σ2 2 z α/2 ; Se rechaza H 0 si : x x 2 σ 2 + σ2 2 > z α/2 H0 : µ µ 2 H : µ > µ 2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } x x 2 σ 2 + σ2 2 z α Variazas descoocidas y + > 30 ( ) a) Cotraste bilateral Estadístico (ormal) : z = x x 2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } x x 2 z α/2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } x x 2 z α Variazas descoocidas y σ = σ 2 ( + 30) p = ( ) + ( ) Estadístico (t Studet) : t = x x 2 s p +

6 ESTADÍSTICA, CURSO a) Cotraste bilateral Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α/2,+ 2} ; C = t : t > t α/2,+ 2} x x 2 t α/2,+ 2 s p + Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α,+ 2} ; C = t : t > t α,+ 2} x x 2 t α,+ 2 s p + Variazas descoocidas co σ σ 2 ( + 30) f = ( s 2 ) 2 ( /)2 + + (s2 2 /2)2 + 2 Estadístico (t Studet) : t = x x 2 a) Cotraste bilateral Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α/2,f } ; C = t : t > t α/2,f } x x 2 t α/2,f Regioes de aceptació y crítica : A = t : t t α,f } ; C = t : t > t α,f } x x 2 t α,f 222 Cotraste de la igualdad etre dos proporcioes σ 2 = p ( p ) + p 2( p 2 ) p p 2 Estadístico (ormal) : z = p ( p ) + p2( p2)

7 ESTADÍSTICA, CURSO a) Cotraste bilateral H0 : p = p 2 H : p p 2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α/2 } ; C = z : z > z α/2 } p p 2 z α/2 p ( p ) + p2( p2) H0 : p p 2 H : p > p 2 Regioes de aceptació y crítica : A = z : z z α } ; C = z : z > z α } p p 2 z α p ( p ) + p2( p2) 223 Cotraste de la igualdad de variazas de poblacioes ormales a) Cotraste bilateral H0 : σ 2 = σ 2 2 H : σ 2 σ 2 2 Estadístico (F Fisher) : F = s2 2 P (F α/2,, < F < F α/2,, ) = α Regioes de aceptació y crítica : A = F : F α/2,, 2 F F α/2,, } C = F : F < F α/2,, o F > F α/2,, } 2 [F α/2,,, F α/2,, ] H0 : σ 2 σ 2 2 H : σ 2 > σ 2 2 Regioes de aceptació y crítica : A = F : F F α,, } ; C = F : F > F α,, } 2 F α,,

8 ESTADÍSTICA, CURSO APLICACIONES DE LA DISTRIBUCION χ 2 3 PRUEBA DE LA BONDAD DEL AJUSTE X X X 2 X i X k Frecuecias observadas o o 2 o i o k Frecuecias esperadas e e 2 e k Se acepta H 0 si: Estadístico : χ 2 (o i ) 2 k = i= (o i ) 2 e i= i χ 2 α,k y se rechaza si: (o i ) 2 e i= i > χ 2 α,k Expresió alterativa: i= (o i ) 2 = i= o 2 i 2o i + e 2 i = i= o 2 i 2 o i + i= = i= i= o 2 i 2 + = i= o 2 i E la práctica, se aplica este método para > 30, exigiedo además que 5 para todo i (si o se cumple, se reagrupa tervalos hasta coseguirlo) 32 CONTRASTE DE LA INDEPENDENCIA DE CARACTERES Tabla de cotigecia: x \ y y y 2 y j y m x o (e ) o 2 (e 2 ) o j (e j ) o m (e m ) o x x 2 o 2 (e 2 ) o 22 (e 22 ) o 2j (e 2j ) o 2m (e 2m ) o x2 x i o i ( ) o i2 (2 ) o ij (j ) o im (m ) o xi x k o k (e k ) o k2 (e k2 ) o kj (e kj ) km (e km ) o xk o y o y2 o yj o ym p ij = P (X = x i, Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) = o x i o yj j = p ij = o x i o yj

9 ESTADÍSTICA, CURSO Estadístico : χ 2 ν = m i= j= (o ij j ) 2 j = m i= j= o 2 ij j ν = (k )(m ) Tabla 2 2: χ 2 ν = (o o 22 o 2 o 2 ) 2 o x o x2 o y o y2 Tabla 2 3: χ 2 ν = o x ( ) o 2 + o2 2 + o2 3 + ( ) o o o2 23 o y o y2 o y3 o x2 o y o y2 o y3 Se acepta la hipótesis H 0 ddepedecia si: m (o ij j ) 2 e i= j= ij χ 2 α,(k )(m ) Correcció de cotiuidad de Yates: χ 2 ν = i= j= m ( o ij j 05) 2 j χ 2 ( o o 22 o 2 o 2 ν = 2 o x o x2 o y o y2 ) 2