IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 011 (COMÚN MODELO) OPCIÓN A EJERCICIO Sea las matrices A =, B =, C = a) (1 puto) Calcule A B.C t. b) (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial A.X + B =.C. Solució Dadas A =, B =, C =, la matriz traspuesta de C es C t = A B.C t -5-5 = = 7 - = Resuelva la ecuació matricial A.X + B =.C. De A.X + B =.C teemos A.X =.C - B. Si A tiee iversa podríamos multiplicar por la izquierda la expresió etera por A -1 y os quedaría: A -1.A.X = A -1 (.C B), es decir X = A -1 (.C B). A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresió (I B), dode B = A -1. (I A) = F1-F F1-F F-F F La matriz iversa es A -1 = Tambié se puede calcular la iversa por determiates. A tiee iversa si su determiate A es distito de 0, y la iversa es A -1 1 t =.Adj(A ) A A = =.(-3) (-5)(1) = -1, luego existe A-1 = A = -5 ; A t = 1 ; Adj(A t ) = ; A -1 = -1 1.Adj(A t ) A = X = A -1 (.C B) = = = EJERCICIO -x e a) (1 puto) Calcule la fució derivada de f(x) = (-x +) b) (1 5 putos) Se sabe que la expresió que represeta el úmero medio de clietes N(t) que acude u día a ua cadea de almacees, e fució del úmero de horas t que lleva abiertos, es N(t) = at +bt, 0 t 8, a, b R. Sabiedo que el máximo de clietes que ha acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. Solució Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); g(x) (g(x)) ( e kx ) = k.e kx.; (x k ) = k.x k-1 ; (k) = 0. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que los extremos absolutos de ua fució N(t) se ecuetra etre las solucioes de N(t) = 0, y e los extremos del itervalo (e este caso 0 y 8). Tambié e los úmeros dode o es cotiua o derivable, que o es uestro caso por ser u trozo d ua fució poliómica a) -x e f(x) = (-x +) ; f (x) = ( ) -x -x 3x e.(-x +1) - e..(-x +1).(-x) -.e. x +x - x -x+1 = ((-x +1) ) (-x +1) 4. -(-x +1).( -x +1)(-x) = -(x 4 -x +1) -.(x 3 -x) = -(x 4 + x 3 - x -x +1) EJERCICIO 3 E ua primera bolsa se ha colocado 4 bolas blacas y 3 egras, y e ua seguda bolsa 3 blacas y 5 egras. Se saca ua bola de la primera y, si verla, se itroduce e la seguda. A cotiuació se saca ua bola de la seguda. Halle la probabilidad de que: a) (1 5 putos) La bola extraída de la seguda bolsa sea egra. b) (1 5 putos) La bola extraída de la primera bolsa sea egra, si sabemos que la bola extraída de la seguda ha sido blaca. Solució Ates de extraer las bolas la composició de las bolsas es: 1ª bolsa 4 bolas blacas y 3 egras y ª bolsa 3 blacas y 5 egras Llamemos Bl 1 y Ne 1 a los sucesos "sacar blaca de la 1ª bolsa, sacar egra de la 1ª bolsa. Evidetemete p(bl 1 ) = 4/7 y p(ne 1 ) = 3/7 (úmero de casos favorables partido úmero de casos posibles). Si saco ua bola blaca de la 1ª bolsa y la itroduzco e la ª bolsa la composició de la ª bolsa es 4 blacas y 5 egras, llamado Bl y Ne a los sucesos "sacar blaca de la ª bolsa, sacar egra de la ª bolsa, teemos las siguietes probabilidades p(bl / Bl 1 ) = 4/9 y p(ne / Bl 1 ) = 5/9 (úmero de casos favorables partido úmero de casos posibles). Si saco ua bola egra de la 1ª bolsa y la itroduzco e la ª bolsa la composició de la ª bolsa es 3 blacas y 6 egras, llamado Bl y Ne a los sucesos "sacar blaca de la ª bolsa, sacar egra de la ª bolsa, teemos las siguietes probabilidades p(bl / Ne 1 ) = 3/9 y p(ne / Ne 1 ) = 6/9 (úmero de casos favorables partido úmero de casos posibles). Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída de la seguda bolsa sea egra es: p(ne ) = p(bl 1 ).p(ne / Bl 1 ) + p(ne 1 ).p(ne /Ne 1 ) = (4/7)(5/9) + (3/7)(6/9) = 38/ Teiedo e cueta el apartado y la probabilidad del suceso cotrario teemos: p(bl ) = 1 - p(ne ) = 1 38/63 = 5/ Aplicado el teorema de Bayes, la probabilidad de que la bola extraída de la primera bolsa sea egra, si sabemos que la bola extraída de la seguda ha sido blaca es: p( Ne1 Bl ) p( Ne 1).p(Bl /Ne 1) (3/7)(3/9) p(ne 1 /Bl ) = = = = 9/5 = 0 36 p(bl ) p(bl ) (5/63)

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 4 Ua máquia está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de logitud. Se toma ua muestra de 1000 piezas, comprobádose que la media sus logitudes es de cm. La logitud de las piezas fabricadas por esa máquia sigue ua ley Normal co desviació típica 0 cm. a) (0.5 putos) Platee u cotraste de hipótesis uilateral para comprobar si co los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la logitud de las piezas fabricadas por la máquia es de más de 10 cm. b) (1 puto) Determie la regió de aceptació de la hipótesis ula de ese cotraste para u ivel de sigificació α = c) (1 puto) Co los datos de la muestra y usado el cotraste de hipótesis del primer apartado, qué coclusió se obtedría sobre la logitud media de las piezas fabricadas? Solució, y (c) Como me dice que la máquia está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de logitud, y que platee u cotraste de hipótesis uilateral para ver si es posible afirmar que la media de la logitud de las piezas fabricadas por la máquia es de más de 10 cm, teemos por tato que la hipótesis ula que se desea cotrastar es H 0 : μ 10, frete a la hipótesis alterativa de este cotraste que sería H 1 : μ < 10, que se opoe a hipótesis ula H 0, y me idica la direcció de la regió crítica. X - µ 0 El estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1). σ / E uestro caso: X = cm; µ 0 = 10 cm; desviació típica σ = 0 cm; =1000. Calculo de la regió crítica para el ivel de sigificació α = 0 05 El valor critico correspodiete es z α = - z 1- α Sabemos que p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 975, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α. Vemos e la tabla de la N(0,1) que el valor aparece e la tabla, y que correspode a z 1-α = Por tato z α = - z 1- α = - z Etoces la regió crítica está formada por los úmeros reales situados a la izquierda de los úmeros Cálculo del valor observado del estadístico de cotraste: x - µ 0 10' z 0 = = σ / 0'/ 1000 Resultado del cotraste: Como el valor observado está a la derecha de -1 96, porque < 0 585, se ecuetra e la regió de aceptació correspodiete al ivel 0 05, por lo cual aceptamos la hipótesis ula H 0 : μ 10 a este ivel. E cosecuecia, o se puede afirmar, al ivel 0 05, que los datos la creecia de que las piezas mida meos de 10 cm o más. EJERCICIO 1 OPCION B 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sea el recito determiado por las siguietes iecuacioes: x + y 0, 3x + 5y 70, x 0, y 0. a) (0.5 putos) Razoe si el puto de coordeadas (4 1,11 7) perteece al recito. b) (1.5 putos) Represete dicho recito y calcule sus vértices. c) (0.75 putos) Dóde alcazará la fució F(x,y) = 0 6x + y sus valores extremos y cuáles será éstos? Solució Razoe si el puto de coordeadas (4 1,11 7) perteece al recito. Teemos que ver si verifica todas las desigualdades. Las dos últimas las verifica x 0 e y 0. Veamos las otras: x + y 0, e uestro caso , es decir lo cual es cierto. 3x + 5y 70, e uestro caso 3(4 1) + 5(11 7) 70, es decir lo cual es falso. Por tato el puto (4 1,11 7) o perteece al recito. Las desigualdades x + y 0, 3x + 5y 70, x 0, y 0, las trasformamos las desigualdades e igualdades, y ya so rectas, x+y = 0; 3x +5y = 70 ; y = 0; x = 0, Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete) despejamos las y y teemos y = 0 - x; y = -(3/5)x + 70/5 = -0 6x + 14 ; y = 0; x = 0, Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y=0 e y=0-x, Teemos 0 = 0-x, de dode x = 0 e y = 0, y el puto de corte es D(0,0) De y=0 y x=0, obteemos el puto A(0,0) De y=0-x e y= -0 6x+14, Teemos 0-x= -0 6x+14, de dode 6 = 0 4x, luego x = 6/0 4 = 15 e y = 5, y el puto de corte es C(15,5) De y=0-x y x=0, Teemos y = 0, y el puto de corte es E(0,0) De y=-0 6x+14 y x=0, Teemos y = 14, y el puto de corte es B(0,14) Fijádoos de uevo e las desigualdades de las iecuacioes los vértices so sólo A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(0,0). El recito es: 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (c) Cosideremos la fució F(x,y) = 0 6x + y. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza máximo (y míimo) absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(0,0): F(0,0)= =0, F(0,14)= =14, F(15,5) = =14, F(0,0)= =1. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 14 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los putos (0,14) y (15,5), por tato todo el segmeto BC es dode se alcaza el máximo. El míimo es 0 y se alcaza e el puto (0,0) EJERCICIO Las fucioes I(t) = -t + 51t y G(t) = t - 3t + 96 co 0 t 18 represeta, respectivamete, los igresos y gastos de ua empresa, e miles de euros, e fució de los años, t, trascurridos desde su iicio y e los últimos 18 años. a) (0 5 putos) Para qué valores de t, desde su etrada e fucioamieto, los igresos coicidiero co los gastos? b) (1 puto) Determie la fució que refleje los beeficios (igresos meos gastos) e fució de t y represétela gráficamete. c) (1 puto) Al cabo de cuátos años, desde su etrada e fucioamieto, los beeficios fuera máximos? Calcule el valor de ese beeficio. Solució I(t) = -t + 51t y G(t) = t - 3t + 96 co 0 t 18 Lo que os pide es que resolvamos la ecuació I(t) = G(t) e el itervalo [0,18]. De -t + 51t = t - 3t + 96, teemos 0 = 3t -54t + 96 (at + bt + c = 0) Resolvemos 3t -(-54)± (-54) -4(3)(96) 54± ±4-54t + 96 = 0; t = = =, dode teemos dos (3) solucioes t 1 = (54+4)/ = 48 y t = (54-4)/ = 6. La solució válida es t = 6. Beeficios = B(t) = I(t) G(t) = -t + 51t (t - 3t + 96) = -3t + 54t 96. Nos pide dibujar la parábola B(t) = -3t + 54t 96 (a = -3, b = 54, c = -96) etre 0 y 18. Como a = -3 < 0, las parábola tiee las ramas hacia abajo ) ( Su vértice tiee la abscisa e t = -b/a = -54/-6 = 9, que sabemos es u máximo. El vértice es V(9,B(9)) = V(9,147). B(9) = -3(9) + 54(9) 96 = 147 Para t = 0, B(0) = -96. Para t = 18, B(18) = -3(18) + 54(18) 96 = -96. La gráfica de la parábola es: 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (c) Al cabo de cuátos años, desde su etrada e fucioamieto, los beeficios fuera máximos? Calcule el valor de ese beeficio. Sabemos que los extremos absolutos se ecuetra etre los valores que aula la primera derivada, y lo extremos del itervalo t = 0 y t = 18 De B(t) = -3t + 54t 96, teemos B (t) = -6t Resolviedo -6t = 0, teemos t = 54/6 = 9. Como B(9) = 147; B(0) = -96; B(18) = -96, resulta que los beeficios fuero máximos al cabo de 9 años y fuero de euros (el problema lo ha dado e miles de euros). EJERCICIO 3 U libro tiee cuatro capítulos. El primer capítulo tiee 140 págias, el segudo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las págias del primer capítulo, el 4% del segudo y el % del tercera tiee algú error. Las págias del cuarto capítulo o tiee errores. a) (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que, al elegir ua págia al azar, tega algú error? b) (1 5 putos) Supogamos que elegimos ua págia al azar y observamos que o tiee igú error, cuál es la probabilidad de que sea del segudo capítulo? Solució Llamemos I,II,III,IV y Er, a los sucesos "págias del capítulo I, II, III, IV, págias del capítulo co error. Podremos idistitamete Er C o Er, y recordaremos que p(er C ) = 1 - p(er) y que p(er C /II ) = 1 - p(er/ii) Número de págias del libro = = 440 Como el primer capítulo tiee 140 págias teemos p(i) = 140/440 = 7/. Como el segudo capítulo tiee 100 págias teemos p(ii) = 100/440 = 5/. Como el tercer capítulo tiee 150 págias teemos p(iii) = 150/440 = 15/44. Como el primer capítulo tiee 50 págias teemos p(iv) = 50/440 = 5/44. Como el 5% de las págias del primer capítulo tiee algú error, p(er/i) = 5% = Como el 4% de las págias del segudo capítulo tiee algú error, p(er/ii) = 4% = Como el 4% de las págias del segudo capítulo tiee algú error, p(er/iii) = % = 0 0. Como las págias del cuarto capítulo o tiee errores, p(er/iv) = 0% = 0. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol. Recordamos que las sumas de las ramas de cada odo e u diagrama de árbol suma 1. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Cuál es la probabilidad de que, al elegir ua págia al azar, tega algú error? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que llegue tarde a clase (R) es: p(er) = p(i).p(er/i) + p(ii).p(er/ii) + p(iii).p(er/iii) + p(iv).p(er/iv) = = (7/) (5/) (15/44) (5/44).0 = 7/ b) Supogamos que elegimos ua págia al azar y observamos que o tiee igú error, cuál es la probabilidad de que sea del segudo capítulo? Aplicado el ( teorema de Bayes, la probabilidad de pedida es: C ) ( C p II Er p II).p(Er /II ) P(II/Er C (5/)(1-0'04) ) = = = 0 53 = 53% C C p(er ) p(er ) 1-0'0318 EJERCICIO 4 a) (1 puto) Ua població de tamaño 1000 se ha dividido e 4 estratos de tamaño 150, 400, 50 y 00. Utilizado muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal se ha seleccioado 10 idividuos del tercer estrato, cuál es el tamaño de la muestra? b) (1.5 putos) El peso de los idividuos de ua població se distribuye segú ua ley Normal de desviació típica 6 kg. Calcule el tamaño míimo de la muestra para estimar, co u ivel de cofiaza del 95%, el peso medio e la població co u error o superior a 1 kg. Solució Ua població de tamaño 1000 se ha dividido e 4 estratos de tamaño 150, 400, 50 y 00. Utilizado muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal se ha seleccioado 10 idividuos del tercer estrato, cuál es el tamaño de la muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N,..., N k, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N,..., N k, es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N E uestro caso = 400 = = 4 00 = De 50 = , teemos = = 40, luego el tamaño de la muestra es = Sabemos que si teemos ua població co distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de σ tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Tambié sabemos que cuado la població o sigue ua distribució ormal, podemos aplicar el teorema cetral del límite que dice: Si se toma muestras de tamaño > 30 de ua població, co ua distribució cualquiera, media µ y ua σ desviació típica σ, la distribució muestral de medias X se aproxima a ua distribució ormal N(µ, ). Sabemos que u parámetro es u valor umérico que describe ua característica de la població (µ, p, σ, etc. Es decir la media, la proporció, la variaza,.). 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 011 (Geeral Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua σ Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y σ σ geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C= x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. z 1- α/. σ De esta fórmula despejado (tamaño de la muestra) teemos = E. E uestro caso de los datos del problema teemos E = 1; σ = 6, ivel de cofiaza 1 α = 95% = α = = 0 05, de dode α/ = 0 05/ = 0 05 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z 1-α/ = z = z 1- α/. σ E uestro caso = E = 1' = , por tato el tamaño míimo de la muestra es =