IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora dos tipos de aillos a base de oro y plata. Cada aillo del primer tipo precisa g de oro y de plata, mietras que cada uo del segudo ecesita 3 g de oro y de plata. Sabiedo que dispoe de 8 g de oro y 0 de plata y que los precios de veta de cada tipo de aillo so 50 euros el primero y 00 euros el segudo, cuátos aillos de cada tipo tedría que producir para obteer los igresos máximos? A cuáto ascedería estos igresos? Solució U fabricate elabora dos tipos de aillos a base de oro y plata. Cada aillo del primer tipo precisa g de oro y de plata, mietras que cada uo del segudo ecesita 3 g de oro y de plata. Sabiedo que dispoe de 8 g de oro y 0 de plata y que los precios de veta de cada tipo de aillo so 50 euros el primero y 00 euros el segudo, cuátos aillos de cada tipo tedría que producir para obteer los igresos máximos? A cuáto ascedería estos igresos? x = Número de aillos primer tipo. y = Número de aillos segudo tipo. Fució Objetivo F(x,y) = 50x + 00y. (los precios de veta de cada tipo de aillo so 50 el primero y 00 el segudo) Restriccioes: De dispoe de 8 g de oro, el primer tipo precisa g de oro, el segudo ecesita 3 g de oro, teemos x + 3y 8 De dispoe de 0 g de plata, el primer tipo precisa g de plata, el segudo ecesita g de plata, teemos x + y 0 Se fabrica algú aillo x 0, y 0 Resumiedo teemos las desigualdades: x + 3y 8, x + y 0, x 0, y 0 Las desigualdades x + 3y 8, x + y 0, x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + 3y = 8, x + y = 0, x = 0, y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y, y teemos: y = -x/3 + 6, y = -x + 0, x = 0, y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas, que es la regió factible que sabemos es u polígoo covexo. Resolveremos las ecuacioes de las recta y obtedremos los vértices de dicho polígoo covexo. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, luego el vértice A es el puto A(0,0) De y = 0 e y = -x + 0, teemos 0 = -x + 0, luego x = 0. El vértice B es el puto B(0,0). De y = -x+0 e y = -x/3+6, teemos -x+0 = -x/3+6, es decir -6x+60 = -x+8, luego = x por tato x = 6 e y = 8. El vértice C es el puto C(6,8). De x = 0 e y = -x/3 + 6, teemos y = 6. El vértice D es el puto D(0,6). Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(0,0), C(6,8) y D(0,6). La regió factible es el polígoo covexo dibujado ateriormete co sus bordes y co vértices e los putos

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua A(0,0), B(0,0), C(6,8) y D(0,6). Calculemos el míimo de la fució F(x,y) = 50x + 00y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(0,0), C(6,8) y D(0,6). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 50(0) + 00(0) = 0; F(0,0) = 50(0) + 00(0) = 500; F(6,8) = 50(6) + 00(8) = 00; F(0,6) = 50(0) + 00(6) = 600 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 00 (el meor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(6,8), es decir los igresos máximos so de 00 y se alcaza al producir 6 aillos del primer tipo y 8 del segudo tipo. EJERCICIO (A) Cosideremos la fució f(x) = -x + 6x - 5 si x -x + si < x 5 ( puto) Estudie la derivabilidad de la fució f(x) e el puto de abscisa x =. ( 5 putos) Represete gráficamete la fució f(x) e idique dóde alcaza su máximo y su míimo absolutos. Cuál es el valor del máximo? Y del míimo? Solució -x + 6x - 5 si x Cosideremos la fució f(x) = -x + si < x 5 Estudie la derivabilidad de la fució f(x) e el puto de abscisa x =. Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x =. La fució e x es ua fució expoecial y es cotiua y derivable e R, e particular e x < 0. f(x) es cotiua e x = si f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = lim f(x) = lim (-x + 6x - 5 ) = -() + 6() - 5 = 3; x x f(x) es cotiua e x =. lim f(x) = x + lim x + (-x + ) = -() + = 3, por tato f(x) = -x + 6x - 5 si x ; f (x) = -x + si < x 5 -x+ 6 si < x < - si < x < 5 f(x) es derivable e x = si lim f (x) = x lim x lim f (x) = x 0 (-x + 6) = -() + 6 = -; lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 0+ lim f (x) = (-) = -. Como los resultados so iguales, f(x) x + es derivable e x =. Represete gráficamete la fució f(x) e idique dóde alcaza su máximo y su míimo absolutos. Cuál es el valor del máximo? Y del míimo? -x + 6x - 5 si x f(x) = -x + si < x 5 Si x, f(x) = - x + 6x - 5, cuya gráfica es u trozo parábola, que tiee las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a x es egativo, co f() = -() + 6() - 5 = 3, f() = -() + 6() - 5 = 3, y co vértice e la abscisa e x = -6/- = 3, que sabemos es u máximo. El vértice es V(3,f(3)) = V(,). La gráfica de la parábola, ete y, es: lim x +

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Si < x 5, f(x) = -x +, tiee por gráfica u segmeto co f( + ) = 3 y f(5) = Su gráfica es Jutado ambas gráficas teemos que la gráfica de f(x) es: Observado la gráfica vemos que el máximo absoluto coicide co el vértice de la rama parabólica V(3,), es decir se alcaza e x = 3 y vale f(3) = y el míimo absoluto se alcaza e x = 5 y vale f(5) =. EJERCICIO 3 (A) E u experimeto aleatorio, la probabilidad de que ocurra u suceso A es 0 68, la de que ocurra otro suceso B es 0, y la de que o ocurra iguo de los dos es 0. Halle la probabilidad de que: ( puto) Ocurra los dos a la vez. (0 5 putos) Ocurra B pero o A. c) (0 5 putos) Ocurra B, sabiedo que o ha ocurrido A. Solució E u experimeto aleatorio, la probabilidad de que ocurra u suceso A es 0 68, la de que ocurra otro suceso B es 0, y la de que o ocurra iguo de los dos es 0. Halle la probabilidad de que: Ocurra los dos a la vez. Del problema teemos: p(a) = 0 68, p(b) = 0 y p(iguo) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = 0. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a/b) = p A B p(b) p(b) = - p(b C ); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = - p(a B). ; Me pide p(los dos a la vez) = p(a y B) = p(a B). De p(a C B C ) = 0 = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = - p(a B), teemos p(a B) = = - 0 = 0 3. Teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), es decir 0 3 = p(a B), luego p(a B) = 0 5. Ocurra B pero o A. Me pide p(b pero o A) = p(b y oa) = p(b A C ) = p(b) - p(a B) = = c) Ocurra B, sabiedo que o ha ocurrido A. ( C p B A ) Me pide p(b, sabiedo que o ha ocurrido A) = p(b/a C p(b)-p(a B) 0'05 ) = = = = C p(a ) -p(a) 0'3 EJERCICIO (A) Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que accede a iteret a través de teléfoo móvil. Para ello hacemos ua ecuesta a ua muestra aleatoria de 00 persoas de esa població, y obteemos que 0 de ellas accede a iteret a través del móvil. ( 5 putos) Determie u itervalo de cofiaza, al 98 5%, para la proporció de persoas de esa població que accede a iteret a través del teléfoo móvil. (0 5 putos) Razoe el efecto que tedría sobre la amplitud del itervalo de cofiaza el aumeto o dismiució del tamaño de la muestra, supoiedo que se matuviera la misma proporció muestral y el mismo ivel de cofiaza. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ sigue ua ormal N( ɵ pɵ qɵ p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode ɵ q = - ɵ p, y geeralmete escribimos p N( ɵ pɵ qɵ p, ) o p N( ɵ pɵ qɵ p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ α /.,p + z α /. = (b- dode z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/)=-α/. p( ˆ p) ˆ El error cometido es E < z α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆ ˆ. (z -α/ ).p.q E Queremos estudiar la proporció de persoas de ua població que accede a iteret a través de teléfoo móvil. Para ello hacemos ua ecuesta a ua muestra aleatoria de 00 persoas de esa població, y obteemos que 0 de ellas accede a iteret a través del móvil. Determie u itervalo de cofiaza, al 98 5%, para la proporció de persoas de esa població que accede a iteret a través del teléfoo móvil.

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Datos del problema: p ɵ = 0/00 = 0 6, q ɵ = = 0, = 00, ivel de cofiaza α = 98 5% = = 0 985, de dode α = 0 05 = 5% como ivel de sigificació. De α = 0 05 teemos α/ = De la igualdad p(z z-α/ ) = - α/ = = 0 995, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,), y os dará el correspodiete valor crítico z - α/. Mirado e la tabla de la N(0,) vemos que el valor viee e la tabla y que correspode a z-α/ = 3. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ 0'6 0' 0'6 0' I.C.(p) = p ˆ - z ˆ α /.,p + z α /. = 0'6 - '3,0'6 + ' (0 50; ) Razoe el efecto que tedría sobre la amplitud del itervalo de cofiaza el aumeto o dismiució del tamaño de la muestra, supoiedo que se matuviera la misma proporció muestral y el mismo ivel de cofiaza. Observamos que e la fórmula del itervalo de cofiaza, el tamaño se ecuetra e el deomiador de ua raíz cuadrada. El cociete p q ˆ ˆ es u º etre 0 y. Cuato más grade sea, más pequeño será el cociete p q ˆ ˆ, por tato el itervalo tedrá u radio meor y será más pequeño. Al cotrario cuato más pequeño sea, mas grade será el cociete p q ˆ ˆ, por tato el itervalo tedrá u radio mayor, y será más grade. Veámoslo aumetado y dismiuyedo. 0'6 0' 0'6 0' Para = 00 teíamos 0'6 - '3,0'6 + '3 (0 50; ) Para = 000 tedríamos Para = 00 tedríamos 0'6 0' 0'6 0' 0'6 - '3,0'6 + '3 ( ; ) (meor) '6 0' 0'6 0' 0'6 - '3,0'6 + '3 ( ; 0 905) (mayor) OPCIÓN B EJERCICIO (B) ( puto) E u problema de programació lieal, la regió factible es la regió acotada cuyos vértices so A(,-), B(-,), C(,) y D(5,0). La fució objetivo es la fució f(x,y) = x + 3y + k, cuyo valor máximo, e dicha regió, es igual a 9. Calcule el valor de k e idique dóde se alcaza el máximo y dóde el míimo. 0 - ( 5 putos) Sea las matrices A = ( - 3), B = -, C = -. 3 Resuelva, si es posible, la ecuació matricial B A + X = C. Solució E u problema de programació lieal, la regió factible es la regió acotada cuyos vértices so A(,-), B(-,), C(,) y D(5,0). La fució objetivo es la fució f(x,y) = x + 3y + k, cuyo valor máximo, e dicha regió, es igual a 9. Calcule el valor de k e idique dóde se alcaza el máximo y dóde el míimo. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(,-), B(-,), C(,) y D(5,0). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. f(,-) = () + 3(-) + k = + k; f(-,) = (-) + 3() + k = + k; f(,) = () + 3() + k = + k; f(5,0) = (5) + 3(0) + k = 0 + k. Si igualásemos las cuatro expresioes al máximo 9, observaríamos que k siempre es u úmero positivo. Por tato el máximo se alcaza e el vértice (,) que tiee el valor mas alto de todos + k que es positivo, 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua sea cual sea el º k, co lo cual f(,) = () + 3() + k = + k = 9, de dode k = 5. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució f e la regió es 9 (el mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(,) y el míimo absoluto de la fució f e la regió es 5 (el meor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(,-). 0 - Sea las matrices A = ( - 3), B = -, C = -. 3 Resuelva, si es posible, la ecuació matricial B A + X = C. 0 - De B A + X = C, teemos X = C B A = - - ( - 3) = / = -. La solució es X = (/) ( C B A) = (/) - = -/ / -/ = 3-3 EJERCICIO (B) Sea la fució f(x) = x 3 /3 + x / - x + 3. ( puto) Determie sus máximos y míimos relativos. ( puto) Cosideremos la fució g(x) = f (x). Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x), e el puto de abscisa x =. c) (0 5 putos) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tagete calculada e. Solució Sea la fució f(x) = x 3 /3 + x / - x + 3. Determie sus máximos y míimos relativos. Recordamos que los extremos relativos aula la primera derivada, f (x). Si f ( = 0 y f ( > 0, x = a es u míimo relativo y vale f(. Si f ( = 0 y f ( < 0, x = a es u máximo relativo y vale f(. Calculamos f (x) y resolvemos la ecuació f (x) = 0. f (x) = x + x. De f (x) = 0 x + x = 0, cuyas so9lucioes so x = - y x =, que será los posibles extremos relativos. f (x) = x + x ; f (x) = x + Como f (-) = 0 y f (-) = (-) + = -3 < 0, x = - es u máximo relativo y vale f(-) = 9/3. Como f () = 0 y f () = () + = 3 > 0, x = es u míimo relativo y vale f() = /6. Cosideremos la fució g(x) = f (x). Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x), e el puto de abscisa x =. Teemos que g(x) = f (x) = x + x - La recta tagete a la gráfica de g e x = es y g() = g ()(x ). g(x) = f (x) = x + x, luego g() = g (x) = f (x) = x +, luego g () = 5 La recta tagete pedida es y = 5 (x ). c) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tagete calculada e. La gráfica de g(x) = x + x, es u parábola, que tiee las ramas hacia arriba ( ), porque el º que multiplica a x es positivo, co vértice e la abscisa e x = -/, que sabemos es u míimo. El vértice es el puto V(-/,f(-/)) = V(-/,-9/) = V(-0 5,- 5). Corta al eje de ordeadas OY e el puto (0,-) y al eje de abscisas e los putos (-,0) y (,0), puesto que x = - y x = era las solucioes de x + x = 0. Como la recta y = 5 (x ) es la recta tagete e el puto (,g()) = (,), la dibujamos sabiedo que es la recta tagete. (Tambié podríamos darle otro valor, pues co dos putos podemos dibujar ua rect. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua U es bozo de las gráficas de g y de la recta tagete e x = es: EJERCICIO 3 (B) Ua ecuesta realizada e u baco idica que el 60% de sus clietes tiee u préstamo hipotecario, el 50% tiee u préstamo persoal y u 0% tiee u préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, u cliete de ese baco: ( 5 putos) Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos préstamos. ( 5 putos) Calcule la probabilidad de que tega u préstamo hipotecario sabiedo que o tiee préstamo persoal. Solució Ua ecuesta realizada e u baco idica que el 60% de sus clietes tiee u préstamo hipotecario, el 50% tiee u préstamo persoal y u 0% tiee u préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, u cliete de ese baco: Calcule la probabilidad de que o tega iguo de los dos préstamos. Llamamos A y B a los sucesos cliete co u préstamo hipotecario y cliete co u préstamo persoal. Del problema teemos: p(a) = 60% = 0 6, p(b) = 50% = 0 5 y p(ambos) = p(a B) = 0% = 0. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o tega iguo)= p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario}= = - p(a B). Calculamos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 9, por tato: p(o tega iguo) = p(a C B C ) = - p(a B) = 0 9 = 0. Calcule la probabilidad de que tega u préstamo hipotecario sabiedo que o tiee préstamo persoal. Me pide p(u préstamo hipotecario sabiedo que o tiee préstamo persoal) = p(a/b C ( ) = C p A B ) p(a) - p(a B) 0'6-0' = = = = 0 /0 5 = 0 8. C p(b ) 0'5-0'5 EJERCICIO (B) ( 5 putos) Ua població de 6000 persoas se ha dividido e 3 estratos, uo co 000 persoas, otro co 3500 y otro co 500. E esa població se ha realizado u muestreo estratificado co afijació proporcioal, e el que se ha elegido al azar 5 persoas del tercer estrato. Determie el tamaño de la muestra total obteida co este muestreo y su composició. ( 5 putos) Dada la població {,,}, costruya todas las muestras posibles de tamaño que pueda formarse mediate muestreo aleatorio simple, y halle la variaza de las medias muestrales de todas esas muestras. Solució Ua població de 6000 persoas se ha dividido e 3 estratos, uo co 000 persoas, otro co 3500 y otro co 500. E esa població se ha realizado u muestreo estratificado co afijació proporcioal, e el que se ha elegido al azar 5 persoas del tercer estrato. Determie el tamaño de la muestra total

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua obteida co este muestreo y su composició. Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N, N,..., Nk, y si,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = +, k y se calcula eligiedo los úmeros,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N, N,..., Nk, es decir = =... = k = N N Nk N E uestro caso 000 = 3500 = = 6000 De = = De, teemos = , teemos = , teemos = = 60, luego el tamaño de la muestra es = 60 persoas. = 0, luego hay = 0 persoas del primer estrato. De 3500 = 5 = 35, luego hay = 35 persoas del segudo estrato El problema me había dicho que había 5 persoas del tercer estrato. Dada la població {,,}, costruya todas las muestras posibles de tamaño que pueda formarse mediate muestreo aleatorio simple, y halle la variaza de las medias muestrales de todas esas muestras. Supogo que el muestreo es co reemplazamieto. Hay 9 muestra co reemplazamieto de tamaño. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: Elemetos Media de la muestra x i MUESTRAS La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. xi i i xi i (xi) N =9 36 La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: µ = x = k i= x N i i = 36 9 =. La desviació típica de la distribució muestral de medias es: σ X = (x ) i i = N - x - () 9 = = σ, siedo el tamaño de la muestra ( = ). 8

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