IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

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1 SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece a R. (1 5 putos) Dada I fució objetivo F(x,y) = x - 3y, calcule sus valores extremos e R. (0 5) putos) Razoe si hay algú puto de R dode la fució F valga 3 5. Y 7 5? Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. ( y ( Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece a R. Dada Ia fució objetivo F(x,y) = x 3y, calcule sus valores extremos e R. El puto (4 5,1 55) perteece a la regió factible R, si verifica a la vez las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. Como (4 5) 3(1 55) , lo cual es FALSO, por tato el puto (4 5,1 55) o perteece a R. Fució Objetivo F(x,y) = x - 3y. Restriccioes: x 3y, x 5, y 1 El puto (4 5,1 55) perteece a R Las desigualdades x 3y, x 5, y 1, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 3y, x = 5, y = 1 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/3, x = 5, y = 1 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 1 e y = x/3, teemos 1 = x/3, luego 3 = x, de dode y = 1. Puto de corte A(3,1). De y = 1 y x = 5. Puto de corte B(5,1). De x = 5 e y = x/3, teemos y = 5/3, de dode el puto de corte es C(5,5/3). Vemos que la regió factible es el polígoo limitado por los vértices del recito so: A(3,1), B(5,1) y C(5,5/3). Calculemos los extremos de la fució F(x,y) = x - 3y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(3,1), B(5,1) y C(5,5/3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(3,1) = (3) - 3(1) = 3; F(5,1) = (5) - 3(1) = 7; F(5,5/3) = (5) - 3(5/3) = 5. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 7 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(5,1) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 3 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(3,1). Razoe si hay algú puto de R dode la fució F valga 3 5. Y 7 5? Cómo el míimo absoluto vale 3 y el máximo absoluto vale 7, el valor 3 5 se alcaza e R, porque está etre 3 y 7, pero el valor 7 5 o se alcaza e R pues mayor que el máximo absoluto de F. gjrubio@hotmail.com 1

2 EJERCICIO (A) E ua empresa el úmero de motajes diarios realizados por u trabajador depede de los días trabajados segú la fució M(t) =, t 1, dode t es el úmero de días trabajados. t + 1 (0 5 putos) Cuátos motajes realiza el primer día? Cuátos días ecesitará para realizar cico motajes diarios? (0 75 putos) Qué ocurrirá co el úmero de motajes diarios si trabajara idefiidamete? (0 75 putos) El dueño de la empresa cree que el úmero de motajes aumeta co los días de trabajo. Estudiado la fució, justifique si es cierta dicha creecia. d) (0 5 putos) Dibuje la grafica de la fució. E ua empresa el úmero de motajes diarios realizados por u trabajador depede de los días trabajados segú la fució M(t) =, t 1, dode t es el úmero de días trabajados. t + 1 Cuátos motajes realiza el primer día? Cuátos días ecesitará para realizar cico motajes diarios? 11(1) + 17 Los motajes realizados el primer día so M(1) = = 8/14 =. (1) + 1 Para ver cuatos días se ecesita par realizar 5 motajes diarios hay que resolver la ecuació: 5 =, es decir 5(t + 1) = 10t + 60 =, de dode 44 = t. Hay esperar 44 días t + 1 para que se realice 5 motajes diarios. Qué ocurrirá co el úmero de motajes diarios si trabajara idefiidamete? Nos está pidiedo el comportamieto e +, es decir lim M(t) = lim t t t + 1 = lim 11t = 11 = 5 5. Si se t t trabajará idefiidamete se obtedría 5 5 motajes diarios. El dueño de la empresa cree que el úmero de motajes aumeta co los días de trabajo. Estudiado la fució, justifique si es cierta dicha creecia. Vamos a estudiar la mootoía (estudio de M (t) ) para t 1. 11t (t+1)- (11t+17) +98 M(t) = M (t) = = t + 1 (t+1) (t+) Como M (t) > 0, para cual valor de t > 1, la fució M(t) siempre es estrictamete creciete por tato el dueño de la empresa lleva razó. d) Dibuje la grafica de la fució. La gráfica es u trozo de hipérbola. Ya sabemos que es estrictamete creciete. La recta y = 5 5 es ua asítota horizotal e +, porque lim M(t) = 5 5. t + La recta t = -6 (o está e el domiio) es ua asítota vertical. Teemos el puto (1,), por tato u esbozo de la gráfica es: EJERCICIO 3 (A) Se cree que hay ua vuelta hacia estilos de bailes más populares, por Io que se realiza ua ecuesta a gjrubio@hotmail.com

3 estudiates de bachillerato, resultado que al 40% les gusta la salsa, al 30% le gusta el meregue y al 10% les gusta tato la salsa como el meregue. (0 75 putos) Cual es la probabilidad de que a u estudiate le guste el meregue si le gusta la salsa? (0 75 putos) Y la de que a u estudiate le guste el meregue si o le gusta la salsa? (1 puto) So idepedietes Ios sucesos "gustar la salsa" y "gustar el meregue"? So compatibles? Se cree que hay ua vuelta hacia estilos de bailes más populares, por Io que se realiza ua ecuesta a estudiates de bachillerato, resultado que al 40% les gusta la salsa, al 30% le gusta el meregue y al 10% les gusta tato la salsa como el meregue. Cuál es la probabilidad de que a u estudiate le guste el meregue si le gusta la salsa? Llamemos A y B, a los sucesos siguietes, les gusta la salsa y les gusta el meregue ", respectivamete. Del problema teemos: p(a) = 40% = 0 4, p(b) = 30% = 0 3 y p(a y B) = p(a B) = 10% = 0 1. p A B Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a y ob) = p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a/b) = ( ) p(b) A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); A y B so compatibles si p(a B) 0; p(a C ) = 1 - p(a). p( A B ) Me pide p(b/a) = = 0 1/0 4 = 1/4. p(a) Y la de que a u estudiate le guste el meregue si o le gusta la salsa? C p( B A ) Me pide p(b/a C p(b) - p(a B) 0'3-0'1 ) = = = = 0 /0 6 = 1/3. C p(a ) 1 - p(a) 1-0'4 So idepedietes Ios sucesos "gustar la salsa" y "gustar el meregue"? So compatibles? ; Como p(a B) = 0 1 0, los sucesos A y B so compatibles. Como p(a B) = = p(a) p(b), los sucesos A y B so depedietes. EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) E ua bodega utiliza ua maquia que debe evasar el vio e botellas co u coteido de 750 ml. Para comprobar si esa máquia fucioa correctamete, se toma ua muestra de 36 botellas y se observa que el coteido medio de las mismas es de 748 ml. Supoiedo que la variable "coteido" sigue ua distribució Normal co variaza 5, aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral (H o : µ = 750) si se puede aceptar, co u ivel de sigificació de 0 05, que la maquia evasadora fucioa correctamete. Sabemos que si teemos ua població que sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: σ N(µ, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestra y es parecido a los itervalos de cofiaza. E ua bodega utiliza ua maquia que debe evasar el vio e botellas co u coteido de 750 ml. Para comprobar si esa máquia fucioa correctamete, se toma ua muestra de 36 botellas y se observa que el coteido medio de las mismas es de 748 ml. Supoiedo que la variable "coteido" sigue ua distribució Normal co variaza 5, aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral (H o : µ = 750) si se puede aceptar, co u ivel de sigificació de 0 05, que la maquia evasadora fucioa correctamete. Este problema os platea u cotraste bilateral. Datos dados: µ 0 = 750; = 36; variaza = σ = 5, desviació típica = σ = 5; x = 748; ivel de sigificació = α = El problema la dividimos e cico etapas: gjrubio@hotmail.com 3

4 Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : µ 0 = 750 ml y H 1 : µ ml. Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. La prueba es bilateral y co u ivel de sigificació α = 0 05, co lo cual α = 0,05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1) obteemos z 1-α = 1 96, co lo cual le correspode por valores críticos z 1-α = 1 96 y z α = - z 1-α = -1 96, que separa las zoas de aceptació y de rechazo. Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada N(0,1), y el valor σ / x - µ observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = σ / 5/ 36 = - 4, Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = - 4 es meor que el valor crítico z α = = -1 96, vemos que os ecotramos e la zoa de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la aceptar hipótesis ula H 0 : µ 0 = 750 ml, a este ivel de sigificació. E cosecuecia, podemos rechazar la hipótesis ula H 0 y aceptar la hipótesis alterativa H 1 : µ ml. Es decir máquia evasadora o fucioa correctamete, pues al estar e la zoa de rechazo evasa meos de 750 ml al ivel de sigificació 0 05, pudiedo haber cometido u error del tipo I. OPCION B EJERCICIO 1 (B) Sea las matrices A = -/5 3/5, B = 3/ y C = 4/5 4/ (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial (A + B) X = 3A B. (1 puto) Determie e cada caso las dimesioes de la matriz D para que se pueda realizar las siguietes operacioes: C D + A, C t D C, D C t, C D C t. Sea las matrices A = -/5 3/5, B = 3/ y C = 4/5 4/ Resuelva la ecuació matricial (A + B) X = 3A t B. 3A - B = 3 -/5 3/5-3/5-1 4/5 4/5 = 3/5 0-6/5 9/5-3/5-1 4/5 4/5 = = E A + B = -/5 3/5 + 3/5-1 4/5 4/5 = /5 0-4/5 6/5 + 3/5-1 4/5 4/5 = = F. La matriz F tiee iversa si, mediate trasformacioes elemetales, podemos pasar de la matriz (F I ) a la matriz (I F -1 ) F1 + F (F I ) = F = (I F -1 ), por tato F = 0 1. Tambié podemos calcular F -1 por la fórmula F -1 = (1/ F ) Adj(F t ). F = = - 0 = 0; 1 0 Ft = -1 ; 1 Adj(Ft ) = 0 1 ; F-1 = (1/ F ) Adj(F t 1 ) = (1) 0 1 = Como vemos sale lo mismo. De (A + B) X = 3A B, es decir F X = E, multiplicado por la izquierda por la iversa de F, F -1, teemos: F -1 F X = F -1 E I X = F -1 E X = F -1 E gjrubio@hotmail.com 4

5 La matriz pedida es X = F -1 E 1 = (1) = (1) = Determie e cada caso las dimesioes de la matriz D para que se pueda realizar las siguietes operacioes: C D + A, C t D C, D C t, C D C t. Para que tega setido el producto de matrices, el úmero de columas de la matriz de la izquierda tiee que coicidir co el úmero de filas de la matriz de la derecha, y el producto tie porfilas la de la 1ª matriz y columas la de la ª matriz. Para que tega setido la suma tiee que teer la misma dimesió. C x3 D + A x, luego la operació tiee setido si D 3x. C t 3x D C x3, luego la operació tiee setido si D x. D C t 3x, luego la operació tiee setido si D x3. Siedo cualquier º atural. C x3 D C t 3x, luego la operació tiee setido si D 3x3. EJERCICIO (B) Sea la fució f(x) = x - bx + 1 si x x + a si x > (1 5 putos) Determie los valores de a y b para que dicha fució sea cotiua e x = y, además, tega u míimo e x = 1. (1 puto) Para a = y b = 6, determie Ia ecuació de la recta tagete a la grafica de la fució e el puto de abscisa x = -. Sea la fució f(x) = x - bx + 1 si x x + a si x > Determie los valores de a y b para que dicha fució sea cotiua e x = y, además, tega u míimo e x = 1. Veamos la cotiuidad e x = f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x lim f(x). x + f(x) = lim f(x) = lim (x bx + 1) = 5 - b; lim lim x x x + x + e x =, ambas expresioes so iguales, es decir 5 b = 4 + a. ( x + = 4 + a, por tato como f(x) es cotiua Como tiee u míimo e x = 1, sabemos que f (1) = 0. Vemos que x = 1 está e la rama x, por tato f(x) = x bx + 1 f (x) = x b. De f (1) = 0, teemos (1) b = 0, luego b =. Etrado e 5 b = 4 + a co b =, teemos 1 = 4 + a, de dode a = -3. Para a = y b = 6, determie Ia ecuació de la recta tagete a la grafica de la fució e el puto de abscisa x = -. x - 6x + 1 si x Para a = y b = 6, la fució es f(x) = x + si x > Vemos que x = - está e la rama x, por tato f(x) = x 6x + 1 f (x) = x 6. La recta tagete e x = - es y f(-) = f (-)(x (-)) Teemos f(-) = (-) 6(-) + 1 = 17; f (-) = (-) 6 = -10. La recta tagete pedida es y - 17 = (-10)(x + ), o bie y = -10x - 3. EJERCICIO 3 (B) El 50% de los préstamos que cocede u baco so para vivieda, el 30% para idustria y el 0% para cosumo. No se paga el 0% de los préstamos para vivieda, el 15% de los préstamos para idustria y el 70% de los préstamos para cosumo. (1 puto) Si se elige al azar u préstamo, calcule la probabilidad de que se pague. gjrubio@hotmail.com 5

6 (0 75 putos) Se elige u préstamo al azar que resulta impagado, cuál es la probabilidad de que sea u préstamo para cosumo? (0 75 putos) Ate u préstamo impagado el director del baco afirma que es más probable que sea para vivieda que para cosumo, lleva razó el director? El 50% de los préstamos que cocede u baco so para vivieda, el 30% para idustria y el 0% para cosumo. No se paga el 0% de los préstamos para vivieda, el 15% de los préstamos para idustria y el 70% de los préstamos para cosumo. Llamemos V, I, C, N y S, a los sucesos siguietes, préstamo para vivieda, préstamo para idustria, " préstamo para cosumo ", o se paga el préstamo y " si se paga el préstamo ", respectivamete. Además teemos p(v) = 50% = 0 5, p(i) = 30% = 0 3, p(c) = 0% = 0, p(n/v) = 0% = 0, p(n/i) = 15% = = 0 15 y p(n/c) = 70% = 0 7. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Si se elige al azar u préstamo, calcule la probabilidad de que se pague. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que se pague el préstamo es: p(s) = p(v).p(s/v) + p(i).p(s/i) + p(c).p(s/c) = (0 5) (0 8) + (0 3) (0 85) + (0 ) (0 3) = Se elige u préstamo al azar que resulta impagado, cuál es la probabilidad de que sea u préstamo para cosumo? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( C N ) p( C) p(n/c ) (0') (0'7) p(c/n) = = = = 8/ p(n) 1 - p(s) 1-0'715 Ate u préstamo impagado el director del baco afirma que es más probable que sea para vivieda que para cosumo, lleva razó el director? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( V N ) p( V) p(n/v ) (0'5) (0') p(v/n) = = = = 0/ p(n) 1 - p(s) 1-0'715 Comparado el apartado ( y el apartado ( vemos que la probabilidad de préstamo impagado es mayor para el cosumo, luego el director o lleva rezó. EJERCICIO 4 (B) El gasto mesual de las familias de u muicipio se distribuye segú ua variable Normal co desviació típica igual a 180 euros. Seleccioadas 30 familias al azar, ha teido u gasto medio mesual de 900 euros. (1 5 putos). Calcule u itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual de las familias de ese muicipio co u ivel de cofiaza del 98%. (1 5 putos) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el medio mesual de las familias gjrubio@hotmail.com 6

7 co u error o superior a 60 euros, co el mismo ivel de cofiaza. σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media, de z 1- α. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. El gasto mesual de las familias de u muicipio se distribuye segú ua variable Normal co desviació típica igual a 180 euros. Seleccioadas 30 familias al azar, ha teido u gasto medio mesual de 900 euros. Calcule u itervalo de cofiaza para el gasto medio mesual de las familias de ese muicipio co u ivel de cofiaza del 98%. Datos del problema: σ = 180; = 30; x = 900; ivel de cofiaza = 98% = 0 98 = 1 - α, de dode α=0 0, co la cual α = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0 99 vemos que o viee, la probabilidad más próxima que viee es y correspode a z 1-α = 33 (Iterpolado z 1-α = 3667), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = ' 33,900 ' (83 48,976 57) Calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el medio mesual de las familias co u error o superior a 60 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Datos del problema: σ = 180; Error = E < 60; igual ivel de cofiaza, luego z 1-α = 33. z 1- α. σ ' De > = E , es decir el tamaño míimo es = 49 familias. gjrubio@hotmail.com 7