IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 4 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO _A OPCIÓN A - ( putos) Sea las matrices A=, B=. Calcule A - (B A t ) x ( putos) Resuelva y clasifique el sistema. y =. 0 - z Solució - Sea las matrices A=, B=. Calcule A - (B A t ) Dada la matriz A, si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de (A I) a (I D), la matriz D es la iversa de A, es decir D = A -. Tambié podemos calcularla co la fórmula A - t = Adj(A ). A 0 F Cambio + F F :(-) 0 0 -/ (A I) = F por F 0 0 = (I A - ), luego A - 0 -/ = Veámoslo por la fórmula: A = - 0 = 0 (-) = ; - At = ; Adj(A t 0 - ) =, luego A - t = Adj(A ) = (/) 0-0 A = 0 -/ =, que como vemos sale lo mismo. Calculamos ya A - (B A t ) = (/) = (/) 0 - = / - = (/) = Resuelva y clasifique el sistema 3 0 x. y =. 0 - z Efectuamos el producto 3 0 x x+3y y =, de dode x+y+z =. Igualado miembro a miembro 0 - z y-z x + 3y = x + 3y = x + 3y = x + y + z = (F F ) -y + z = - -y + z = - y - z = y - z = (F 3 + F ) 0 = 0. Como teemos dos ecuacioes co tres icógitas teemos u sistema compatible e idetermiado. Tomado y = λ R, resulta z = - + λ y x = - 3λ, por tato la solució del sistema es la tera (x,y,z) = ( - 3λ, λ, - + λ) co λ R. EJERCICIO _A x - si x Cosideremos la fució f(x) =. x - si x > ( puto) Estudie su cotiuidad y derivabilidad. ( puto) Determie la mootoía de f. c) ( puto) Represete gráficamete esta fució. gjrubio@hotmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua x - si x Cosideremos la fució f(x) =. x - si x > Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Solució Sabemos que si ua fució es derivable, la fució es cotiua. Tambié sabemos que tato x - como x so fucioes poliómicas por tato so cotiuas y derivables e todo R, e particular e el itervalo dode está defiidas, es decir x - e x < y x e x >. Sólo os falta ver la cotiuidad y derivabilidad de f e x = Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e x = f es cotiua e x =, si f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = (x - ) = () - = 0. lim lim f(x) = f(x) = lim lim es cotiua e R. Teemos f(x) = (x - ) = = 0. Como ambas expresioes so iguales, f es cotiua e x =, luego f f(x) = x - si x x si x <, de dode f (x) =. x - si x > si x > Sabemos que f es derivable e x =, si f (+) = f (-), es decir lim f (x) = lim x cotiuidad de la derivada (es más secillo). lim f (x) = lim (x) = () =. lim f(x) = lim () =. Como, f es derivable e R {}. Determie la mootoía de f. lim f (x) Sabemos que la mootoía se reduce al estudio de la ª derivada. f (x). Estamos viedo la lim f(x), luego la fució f o es derivable e x =, luego Para x <, f(x) = x y f (x) = x. De f (x) = 0, teemos x = 0, es decir x = 0 que puede ser u extremos relativo. Como f (-) = (-) = - < 0, teemos f (x) < 0 e el itervalo (-,0), es decir f estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-,0). Como f (0 ) = (0 ) = > 0, teemos f (x) > 0 e el itervalo (0,+), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (0,+). Por defiició x = 0 es u míimo relativo, que vale f(0) = (0) = -. Para x >, f(x) = x y f (x) =. De f (x) = 0, teemos = 0, lo cual es absurdo por tato la fució o tiee extremos y es siempre estrictamete creciete o decreciete. Como f () = > 0, teemos f (x) > 0 e el itervalo (0,+ ), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (0,+ ). c) Represete gráficamete esta fució. Para x <, f(x) = x Su gráfica es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ), porque el º que multiplica a x es positivo (+), luego es covexa (e Adalucí. Ya hemos visto e el apartado ( que su vértice V es el míimo V(0,-). Los putos de corte so: Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,-). Para f(x) = 0, teemos x = 0, de dode x =, es decir x = ±. Putos (,0) y (-,0). gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Para x >, f(x) = x. Su gráfica es ua recta, e este caso ua semirrecta. Co dos putos es suficiete el ( +,0) y el (,). U esbozo de la gráfica de f es: EJERCICIO 3_A Parte I Ua efermedad afecta a u % de la població. Se aplica ua prueba diagóstica para detectar dicha efermedad, obteiédose el siguiete resultado: Aplicada a persoas que padece la efermedad se obtiee u 96% de resultados positivos, y aplicada a persoas que o la padece se obtiee u % de resultados positivos. Elegida ua persoa, al azar, y aplicada la prueba: ( puto) Cuál es la probabilidad de que se obtega u resultado positivo? ( puto) Si se obtiee u resultado positivo, cuál es la probabilidad de que esta persoa o padezca la efermedad? Solució Ua efermedad afecta a u % de la població. Se aplica ua prueba diagóstica para detectar dicha efermedad, obteiédose el siguiete resultado: Aplicada a persoas que padece la efermedad se obtiee u 96% de resultados positivos, y aplicada a persoas que o la padece se obtiee u % de resultados positivos. Elegida ua persoa, al azar, y aplicada la prueba: Llamemos E, E C, Po y Po C, a los sucesos siguietes, persoa eferma, persoa o eferma, "da positivo co la prueba" y " o da positivo co la prueba ", respectivamete. Además teemos p(e) = % = 0 0, p(po/e) = 96% = 0 96 y p(po/e C ) = % = 0 0. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). Cuál es la probabilidad de que se obtega u resultado positivo? gjrubio@hotmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de dar positivo al aplicar la prueba es: p(po) = p(e).p(po/e) + p(e C ).p(po/ E C ) = (0 0) (0 96) + (0 9) (0 0) = Si se obtiee u resultado positivo, cuál es la probabilidad de que esta persoa o padezca la efermedad? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( E C Po ) p( E C ).p(po/e C ) p(e C (0'9) (0'0) /Po) = = = p(po) p(po) 0'06 EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) Sea la població {,, }. Escriba todas las muestras de tamaño, mediate muestreo aleatorio simple, y calcule la variaza de las medias muestrales. (0 putos) De ua població de 300 hombres y 00 mujeres se desea seleccioar, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, ua muestra de tamaño 30 distribuida e los dos estratos, cuál será la composició de la muestra? Solució Sea la població {,, }. Escriba todas las muestras de tamaño, mediate muestreo aleatorio simple, y calcule la variaza de las medias muestrales. Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so 9. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) N= La media de la distribució muestral de medias (media de las medias muestrales) es: k x i i i= µ = x = = 39 N 9 = 3/3 La variaza de la distribució muestral de medias es: σ i i = (x ) - x N = = De ua població de 300 hombres y 00 mujeres se desea seleccioar, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, ua muestra de tamaño 30 distribuida e los dos estratos, cuál será la composició de la muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N, N,..., N k, y si,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = +, k y se calcula eligiedo los úmeros,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N, N,..., N k, es decir gjrubio@hotmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua = =... = k = N N Nk N E uestro caso 300 = 00 = = = 3 0. De 300 = 3 0, teemos = 900 = 8 hombres e el primer estrato. 0 De 00 = 3 0, teemos = 600 = mujeres e el segudo estrato. Tambié se podría haber calculado 0 resta al total de la muestra 30 el úmero de hombres 8, y os quedaría mujeres. OPCIÓN B EJERCICIO _B (3 putos) U laboratorio farmacéutico vede dos preparados, A y B, a razó de 40 y 0 euros el kg, respectivamete. Su producció máxima es de 000 kg de cada preparado. Si su producció total o puede superar los 00 kg, cuál es la producció que maximiza sus igresos? Calcule dichos igresos máximos. Solució x = º de preparados del tipo A. y = º de preparados del tipo B. Fució Objetivo F(x,y) = 40x + 0y. (Vede preparados, A y B, a razó de 40 y 0 ) Restriccioes: Su producció máxima es de 000 kg de cada preparado x 000. Su producció máxima es de 000 kg de cada preparado y 000. Su producció total o puede superar los 00 kg. x + y 00 Vede algú preparado, A o B. x 0 e y 0 Las desigualdades x 000; y 000; x + y 000; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 000, y = 000, x + y = 00; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos x = 000, y = 000, y = -x + 00; x = 0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0. El puto de corte es A(0,0) De y = 0 y x = 000. El puto de corte es B(000,0) De x = 000 e y = -x + 00; teemos y = 00. El puto de corte es C(000,00) De y = -x + 00 e y = 000; teemos -x + 00 = 000, es decir x = 00. Puto de corte es D(00,000) De x = 0 e y = 000. Teemos el puto de corte es E(0,000) gjrubio@hotmail.com

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Vemos que los vértices del recito so: A(0;0), B(000,0), C(000;00), D(00,000) y E (0;000). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 40x + 0y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0;0), B(000,0), C(000;00), D(00,000) y E (0;000). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 40 (0)+0(0) = 0; F(000,0) = 40 (000)+0(0) = 40000; F(000,00) = 40 (000)+0(00) = = 4000; F(00,000) = 40 (00)+0(000) = 48000; F(0,000) =40 (0)+0(000) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 4000 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(000,00), es decir el úmero beeficio máximo es de 4000 y se alcaza vediedo 000 preparados del tipo A y 00 preparados del tipo B. EJERCICIO _B 3x - ( putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de g(x) = e el puto de abscisa x + x =. ( putos) Se cosidera la fució f(x) = ax bx + 4. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tega u extremo relativo e el puto (,0). Solució 3x - Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de g(x) = e el puto de abscisa x =. x + Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; (x k ) = k.x k- ; (k) = 0. La ecuació de la recta g(x) (g(x)) tagete (R.T.) a la gráfica de g e x = a es y g( = g ( (x. E uestro caso la recta tagete e x = es y g() = g () (x ). 3x - 3(x + ) -.(3x - ) 3 g(x) = ; g'(x) = =. Luego g(0) = -/ = - y g () = 3/ = 3/4, y la recta x + (x + ) (x + ) tagete pedida es y ( ) = (3/4) (x ), es decir y = 3x/4 /4. Se cosidera la fució f(x) = ax bx + 4. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tega u extremo relativo e el puto (,0). Como pasa por (,0) teemos f() = 0. Sabemos que los extremos relativos aula la ª derivada, luego f () = 0. f(x) = ax bx + 4; f (x) = ax b. De f () = 0 a() - b = 0 b = a. De f() = 0 a () b() + 4 = 0 a b = 6. Etrado co b = a e a b = 6, teemos a ª = 6, de dode a = -6 y b = (-6) = -. EJERCICIO 3_B Parte I Ua ura A cotiee diez bolas umeradas del al 0, y otra ura B cotiee ocho bolas umeradas del al 8. Se escoge ua ura al azar y se saca ua bola. ( puto) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tega el úmero? ( puto) Si el úmero de la bola extraída es impar, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B. Solució Ua ura A cotiee diez bolas umeradas del al 0, y otra ura B cotiee ocho bolas umeradas del al 8. Se escoge ua ura al azar y se saca ua bola. gjrubio@hotmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Lo vamos a realizar mediate dos diagramas de árbol y tambié utilizaremos la Regla de Laplace (º de casos favorables etre º de casos posibles). Llamemos A, B, i A, i A C, imp A, imp A C, i B, i B C, imp B y imp B C a los sucesos siguietes, sacar bola de la ura A, sacar bola de la ura B, "sacar el º i de la ura A", "o sacar el º i de la ura A", "sacar el º impar de la ura A", "o sacar el º impar de la ura A", "sacar el º i de la ura B", "o sacar el º i de la ura B", "sacar el º impar de la ura B" y "o sacar el º impar de la ura B", respectivamete. Además teemos p(a) = / = 0, p(b) = / = 0, p( A ) = /0 = 0, p( A C ) = 9/0 = 0 9, p( B )=/8 = 0, p( B C ) = /8 = 0 8, p(im A ) = /0 = 0, p(im A C ) = /0 = 0, p(im B ) = 4/8 = 0 y, p(im B C ) = 4/8 = 0. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tega el úmero? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída tega el úmero es: p(sacar u ) = p(a).p( A /A) + p(b).p( B /B) = (0 ) (0 ) + (0 ) (0 ) = 0. Si el úmero de la bola extraída es impar, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). Aplicado el teorema de Bayes y el teorema de la probabilidad total, teemos: p( B impar ) p(b) p(im B /B) (0') (0') p(b/impar) = = = = p(impar) p(a) p(im /A) + p(b) p(im /B) (0') (0') + (0') (0') A B = 0. EJERCICIO 3_B Parte II Se ha tomado las tallas de 6 bebés, elegidos al azar, de etre los acidos e u cierto hospital, y se ha obteido los siguietes resultados, e cetímetros: gjrubio@hotmail.com

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 4 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua, 0, 3, 48, 49, 0,, 48, 0,, 0, 4,,, 49,. La talla de los bebés sigue ua ley Normal de desviació típica cetímetros y media descoocida. (0 putos) Cuál es la distribució de las medias de las muestras de tamaño 6? ( putos) Determie u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media poblacioal. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z α/,x + z α/ = (a, dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño z - α/. σ míimo de la muestra es = E. Se ha tomado las tallas de 6 bebés, elegidos al azar, de etre los acidos e u cierto hospital, y se ha obteido los siguietes resultados, e cetímetros:, 0, 3, 48, 49, 0,, 48, 0,, 0, 4,,, 49,. La talla de los bebés sigue ua ley Normal de desviació típica cetímetros y media descoocida. Cuál es la distribució de las medias de las muestras de tamaño 6? σ σ Segú hemos visto la distribució muestral de medias es X, sigue ua N(μ, ) o N( x, ) Datos del problema: σ =, =6, x = ( )/6 = 0. Luego la distribució muestral de medias pedida es la ormal N(0, ) = N(0,/4) = N(0,0 ). Determie u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media poblacioal. Datos del problema: σ =, =6, x = 0, ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = - α, de dode α = De α = 0 9, teemos α = = 0 03, de dode α/ = 0 03/ = 0 0 De p(z z -α/ ) = - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 98 viee, y correspode a z -α/ =, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z α/,x + z α/ = (0 0, ) = (48 9, 08) 6 gjrubio@hotmail.com 8