IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Modelo nº 2 Sept. Sobrantes de Soluciones

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua Istruccioes: Modelo º Sept. Sobrates de Solucioes Duració: 1 hora y 30 miutos. Elija ua de las dos opcioes propuestas y coteste los ejercicios de la opció elegida. c) E cada ejercicio, parte o apartado se idica la putuació máxima que le correspode. d) Puede usar ua calculadora o programable y o gráfica. e) Si obtiee resultados directamete co la calculadora, explique co detalle los pasos ecesarios para su obteció si su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1+3x 3 5 (1 5 putos) Platee y resuelva el sistema de ecuacioes dado por:. = x -1 y (1 5 putos) Calcule la matriz iversa de x 3 5 Platee y resuelva el sistema de ecuacioes dado por:. = x -1 y 4 1+3x 3 5. =, operado queda 9x+y+3 5 =. Igualado teemos: x -1 y 4 3x-y 4 9x+y+3 = 5 3x-y = 4, de dode y = 3x-4, y etrado e la 1ª ecuació teemos: 9x+(3x-4)+3 = 5 15x 5 = 5 15x = 10 x = 10/15 = /3, de dode y = 3(/3)-4 = -. La solució del sistema es (x,y) = (/3, -) Calcule la matriz iversa de Sabemos que si mediate trasformacioes elemetales podemos pasar de (A I 3 ) a (I 3 B), la matriz B es la matriz iversa de A F 3+F 1(-1) F 3+F (-) F 3(-1) F 1+F 3(-1) Luego A -1 = EJERCICIO (A) (1 5 putos) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) = 3/x e el puto de abscisa x = - 1 (1 5 putos) Halle los valores de a y b para que la fució g(x) = ax + b/x tega u extremo relativo e el puto (1,). Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) = 3/x e el puto de abscisa x = - 1 La recta tagete e x = -1 es y f(-1) = f (-1)(x + 1) f(x) = 3/x f(-1) = 3/-1 = -3. f (x) = -3/x f(-1) = -3/(-1) = -3. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua La recta tagete e x = -1 es y + 3 = -3.(x + 1) Halle los valores de a y b para que la fució g(x) = ax + b/x tega u extremo relativo e el puto (1,). Si g(x) tiee u extremo relativo e el puto (1,), teemos f (1) = 0 (por extremo) y f(1) = (por puto) g(x) = ax + b/x; g (x) = a - b/x De f(1) =, teemos = a + b De f (1) = 0, teemos 0 = a b, de dode a = b, luego = a y por tato a = 1 = b. EJERCICIO 3 (A) Parte I El exame de Matemáticas de u alumo costa de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30%, la de que resuelva ambos es del 10%, y la de que o resuelva iguo es del 35%. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (1 puto) Que el alumo resuelva el segudo ejercicio. (1 puto) Que resuelva el segudo ejercicio, sabiedo que o ha resuelto el primero. Llamemos A y B a los sucesos "apruebe el 1º y apruebe el º, respectivamete De, resuelva el primero es del 30%, teemos p(a) = De, la de que resuelva ambos es del 10%, teemos p(a B) = De, de que o resuelva iguo es del 35%, teemos p(oa y ob) = p(a C B C ) = Utilizado las leyes de Morga, p(a C B C ) = p( (A B) C ) = 0 35 Del cotrario tego ( (A B) C ) = 0 35 = 1 - p(a B), de dode p(a B) = = Que el alumo resuelva el segudo ejercicio. Me está pidiedo p(b) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) p(a B), es decir 0 65 = p(b) 0 10, de dode p(b) = Que resuelva el segudo ejercicio, sabiedo ( que o ha resuelto el primero. C pb A ) Me está pidiedo p(b/oa) = p(b/a C ) = = p( B) - p(a B ) = ( )/(1-0 30) = 0 5. C p(a ) 1 - p(a) EJERCICIO 3 (A) Parte II La logitud de los cables de los auriculares que fabrica ua empresa es ua variable aleatoria que sigue ua ley Normal co desviació típica 4 5 cm. Para estimar la logitud media se ha medido los cables de ua muestra aleatoria de 9 auriculares y se ha obteido las siguietes logitudes, e cm: 05, 198, 0, 04, 197, 195, 196, 01, 0. (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la logitud media de los cables. (1 puto) Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra de estos auriculares para que el error de estimació de la logitud media sea iferior a 1 cm, co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y σ σ geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Sabemos que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/.

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo es E. Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la logitud media de los cables. Datos σ = 4 5; = 9; 1 α = 97% = 0 97; x = ( )/9 = 00. De 1 α = 0 97, teemos α = = 0 03, de dode α/ = 0 03/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 985, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z 1-α/ = z = 17, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C= x z 1 α/,x + z1 α/ = 4'5 4'5 00 '17,00 + '17 = ( ; 03 55) 9 9 Determie el tamaño míimo que debe teer ua muestra de estos auriculares para que el error de estimació de la logitud media sea iferior a 1 cm, co el mismo ivel de cofiaza del apartado aterior. Datos E = 1, 1 α = 0 97 de dode z 1-α/ = 17; σ = 4 5 z 1- α/. σ '17.4'5 El tamaño míimo es E = , luego el tamaño míimo es = 96. OPCIÓN B EJERCICIO 1 (B) (3 putos) U utricioista iforma a u idividuo que, e cualquier tratamieto que siga, o debe igerir diariamete más de 40 mg de hierro i más de 00 mg de vitamia B. Para ello está dispoibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P cotiee 40 mg de hierro y 10 mg de vitamia B, y cuesta 6 cétimos de euro; cada píldora de la marca Q cotiee 10 mg de hierro y 0 mg de vitamia B, y cuesta 8 cétimos de euro. Etre los distitos tratamietos, cuál sería el de máximo coste diario? Leyedo despacio el problema podemos obteer la siguiete tabla. Primero os fijamos a que llamamos x e y, después poemos la fució objetivo y por último idicamos las restriccioes. Pildora P Pildora Q Restriccioes Nº de pildoras x y x 0; y 0 Hierro 40x 10y 40x+10y 40 Vitamia B 0x 0y 10x+0y 00 Coste F(x,y)=0 06x+0 08y Maximizar Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes (restriccioes): 40x+10y 40; 10x+0y 00; x 0; y 0. Simplificado 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua 4x+y 4; x+y 0; x 0; y 0 La fució beeficio es F(x,y) = 0 06x y Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y, para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes : 4x+y 4; x+y 0; x 0; y 0 Rectas: y = -4x + 4; y = -x/ + 10; x = 0 (eje OY), y = 0 (eje OX) Dibujamos las rectas Si os fijamos e las desigualdades y -4x + 4; y -x/ + 10; x 0, y 0, vemos que el recito factible, y los vértices A, C, C y D de dicha regió so: De x= 0 e y=0, teemos el puto de corte A(0,0) De y= 0 e y=-4x+4, teemos el puto de corte B(6,0) De y= -x/+10 e y = -4x+4, teemos -x+0 = -8x+48, de dode 7x = 8, luego x = 4 e y = 8, el puto de corte es C(4,8). De x= 0 e y=-x/ + 10, teemos el puto de corte D(0,10) El recito tiee por vértices A(0,0), B(6,0), C(4,8) y D(0,10). Cosideremos la fució beeficio F(x,y) = 0 06x y. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua F(x,y) = 0 06(0) (0) = 0, F(x,y) = 0 06(6) (0) = 0 36; F(x,y) = 0 06(4) (8) = 0 88, F(x,y) = 0 06(0) (10) = 0 8. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 0 88 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (4,8). El mayor beeficio es 0 88 y se obtiee elaborado 4 píldoras del tipo P y 8 píldoras del tipo Q. EJERCICIO Dada la fució f(x) = 4 3x + x 3, determie: (1 5 putos) La mootoía y la curvatura de f. (0 5 putos) Los putos dode la fució alcaza sus extremos relativos. c) (1 puto) La ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = - 1 Dada la fució f(x) = 4 3x + x 3, determie: y La mootoía es el estudio de la 1ª derivada (os saldrá los extremos relativos), y la curvatura es el estudio de la 3 derivada (os saldrá los putos de iflexió). Estudio de f (x). Mootoía f(x) = 4 3x + x 3 f (x) = -6x + 3x = x(-6 + 3x). De f (x) = 0 x(-6 + 3x) = 0, de dode x = 0 y x = (posibles extremos) Como f (-1) = -1(-3) = 3 > 0, f es estrictamete creciete e (-,0) Como f (1) = 1(-3) = -3 < 0, f es estrictamete decreciete e (0,3) Como f (3) = 3(3) = 9 > 0, f es estrictamete creciete e (3, ) Por defiició, x = 0 es u máximo relativo y vale f(0) = 4 Por defiició, x = es u míimo relativo y vale f() = = 0 Estudio de f (x). Curvatura f(x) = 4 3x + x 3 f (x) = -6x + 3x. f (x) = x. De f (x) = x = 0, de dode x = 1 (posible puto de iflexió) Como f (0) = -6 < 0, f es cócava ( ) e (-,1) Como f () = = 6 > 0, f es covexa ( ) e (1, ) Por defiició, x = 1 es puto de iflexió y vale f(1) = c) La ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = - 1 La recta tagete e x = -1 es y f(-1) = f (-1)(x + 1) De f(x) = 4 3x + x 3 f(-1) = 4 3(-1) + (-1) 3 = 0. De f (x) = -6x + 3x f (-1) = 6 + 3(-1) = 9. La recta tagete pedida es y 0 = 9(x + 1) EJERCICIO 3 (B) Parte I Se cosidera los sucesos A y B. (0 75 putos) Exprese, utilizado las operacioes co sucesos, los siguietes sucesos: 1. Que o ocurra iguo de los dos.. Que ocurra al meos uo de los dos. 3. Que ocurra B, pero que o ocurra A. (1 5 putos) Sabiedo que p(a) = 0 5, p(b) = 0 5 y p(a/b) = 0 3, halle p(aub) 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua Se cosidera los sucesos A y B. Exprese, utilizado las operacioes co sucesos, los siguietes sucesos: 1. Que o ocurra iguo de los dos. Me está pidiedo (oa y ob) = (A C B C ). Que ocurra al meos uo de los dos. Me está pidiedo (A ó B) = (A B) 3. Que ocurra B, pero que o ocurra A. Me está pidiedo (B y oa) = (B A C ) Sabiedo que p(a) = 0 5, p(b) = 0 5 y p(a/b) = 0 3, halle p(aub) Me está pidiedo p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = p(a B). ( B ) p A De p(a/b) = 0 3, tego 0 3 = p(b) p(a B) = = 0 85 = ( B ) p A 0'5, de dode p(a B) = = 0 15, por tato: EJERCICIO 3 (B) Parte II ( putos) Se ha aplicado u medicameto a ua muestra de 00 efermos y se ha observado ua respuesta positiva e 140 de ellos. Estímese, mediate u itervalo de cofiaza del 99%, la proporció de efermos que respodería positivamete si este medicameto se aplicase a la població de la que se ha extraído la muestra. Calcule u itervalo de cofiaza, al 99%, para estimar la proporció de efermos que respodería positivamete a este medicameto Para costruir el itervalo: - Se elige u estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ, y p para p), e uestro caso es de proporció luego es p = = 0 7, luego 1 - p = Se elige u ivel de cofiaza 1 α co el que se desea costruir el itervalo, que os lo da y es del 99%, es decir 1 α = 99% = 0 99, de dode α = 0 01 = 1% como ivel de sigificació. - El itervalo cetrado e el estadístico p obteido e la muestra que sería: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C. = I( p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. para estimar p Dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(-z 1-α/ Z z 1-α/ )= = 1 - α. De esa igualdad, p(-z 1-α/ Z z 1-α/ ) = 1 - α, se deduce que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = / = 0 995, mirado e la tabla de la N(0,1). Vemos que el valor más próximo a es la mitad etre y , que correspode a z 1-α/ = ( )/ = 575. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C. = I(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = ( ; ) = ( ; ) 0'7.0'3 0'7.0'3 0'7 - '575.,0'7 + '