IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete, se emplea 6 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y 6 Kg de plástico y Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiedo que la logitud de cable fabricado del tipo B o puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, o puede emplearse más de 5 Kg de plástico i más de 68 Kg de cobre, determie la logitud, e Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la catidad de diero obteida e su veta sea máima. Solució Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete, se emplea 6 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y 6 Kg de plástico y Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiedo que la logitud de cable fabricado del tipo B o puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, o puede emplearse más de 5 Kg de plástico i más de 68 Kg de cobre, determie la logitud, e Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la catidad de diero obteida e su veta sea máima. = Logitud del cable tipo A. y = Logitud del cable tipo B. Fució Objetivo F(,y) = y. (se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete). Restriccioes: 6 Kg de plástico para tipo A, 6 Kg de plástico para tipo B. Total 5 Kg 6 + 6y 5 4 Kg de cobre para tipo A, Kg de cobre para tipo B. Total 68 Kg 4 + y 68 La logitud de cable tipo B o puede ser mayor que el doble de la del tipo A. y. Se fabrica algú metro de cable tipo A y tipo B 0, y 0. Las desigualdades 6 + 6y 5; 4 + y 68; y ; 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, 6 + 6y = 5; 4 + y = 68; y = ; = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -6/6 + 5/6 = -8/3+4; y = -4/ + 68/ = -/3+4; y = ; = 0; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito coveo itado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito coveo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De = 0 e y = 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y = 0 e y = -6/6+5/6, teemos 0 = -6/6+5/6 = 5/6 = 63/4, y el puto de corte es B(63/4,0) De y = -6/6+5/6 e y = -4/+68/, teemos -6/6+5/6 = -/ = = 4, luego = 68/4 = e y = -()/3+4 =0, y el puto de corte es C(,0). De y = e y = -/3+4, teemos = -/3+4 6 = = 4, luego = 6 e y =, y el germa.jss@gmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua puto de corte es D(6,) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(0,0), B(63/4,0), C(,0) y D(6,). Calculemos el máimo de la fució F(,y) = y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(63/4,0), C(,0) y D(6,). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 50(0) + 00(0) = 0; F(63/4,0) = 50(63/4) + 00(0) = 36 5 F(,0) = 50() + 00(0) = 800; F(6,) = 50(6) + 00() = 00. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució F e la regió es 800 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(,0), es decir el máimo igreso es de 800 pts. y se alcaza utilizado Hm de cable A y 0 Hm de cable B. EJERCICIO _A Calcule las fucioes derivadas de las siguietes: L() ( puto) f() = (L() idica logaritmo eperiao de ) ( puto) g() = ( 3 ) cos() c) ( puto) h() = /e Solució Calcule las fucioes derivadas de las siguietes: L() f() = ; g() = ( 3 ) cos(); c) h() = /e Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. / f() f'().g() - f().g'() ( f()+g()) = f ()+g (); ( f() g()) = f () g()+ f() g (); = ; g() (g()) ( (f() k ) = k.f() k-.f (); ( e k ) = k.e k ; ( k ) = k. k- ; (l(f()) = f'() ; (cos()) = -se(); (k) = 0. f() - L() L() f() = ; f () = - L() = ; 4 ( ) g() = ( 3 ) cos(); g () = 3 cos() + ( 3 ) (-se()) = 3 cos() - ( 3 ) se(); c) h() = /e = e - ; h () = - e - = - /e EJERCICIO 3_A Parte I Dos uras A y B, que cotiee bolas de colores, tiee la siguiete composició: A: 5 blacas, 3 egras y rojas. B: 4 blacas y 6 egras. Tambié teemos u dado que tiee 4 caras marcadas co la letra A y las otras dos co la letra B. Tiramos el dado y sacamos ua bola al azar de la ura que idica el dado. (0 75 putos) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blaca? (0 5 putos) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) (0 75 putos) La bola etraída ha resultado ser blaca, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Solució Dos uras A y B, que cotiee bolas de colores, tiee la siguiete composició: A: 5 blacas, 3 egras y rojas. B: 4 blacas y 6 egras. Tambié teemos u dado que tiee 4 caras marcadas co la letra A y las otras dos co la letra B. Tiramos el dado y sacamos ua bola al azar de la ura que idica el dado. germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blaca? Llamamos A, B, B A, N A, R A, B B, y N B, a los sucesos Elegir la ura A, Elegir la ura B, sacar bola blaca de la ura A, sacar bola egra de la ura A, sacar bola roja de la ura A, sacar bola blaca de la ura B y sacar bola egra de la ura B. Del problema teemos p(a) = 4/6 = /3, p(b) = /6 = /3, p(b A ) = 5/0, p(n A ) = 3/0, p(r A ) = /0, p(b B ) = 4/0 y p(n B ) = 6/0.. Todo esto lo vemos mejor e u diagrama de árbol (recordamos que las probabilidades que sale desde u mismo odo suma ) Por el Teorema de la Probabilidad Total p(bola blac = p(a) p(b A ) + p(b) p(b B ) = (/3) (5/0) + (/3) (4/0) = 7/ Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? Observamos que las bolas rojas sólo está e la ura A p(bola roj = p(a) p(r A ) = (/3) (/0) = / c) La bola etraída ha resultado ser blaca, cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Utilizado la Fórmula de Bayes teemos: p( B blaca ) p B) p(b p(b/blac = = p(blac 7/5 ( ) B = (/3) (4/0)/(7/5) = / EJERCICIO 3_A Parte II U estudio realizado sobre 00 usuarios revela que u automóvil recorre aualmete u promedio de 500 Km co ua desviació típica de 50 Km. ( puto) Determie u itervalo de cofiaza, al 99%, para la catidad promedio de kilómetros recorridos. ( puto) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el error cometido o sea superior a 500 Km, co igual cofiaza? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = z α/, + z α/ = (a, germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ Tambié sabemos que la media es = (a + /, el error máimo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b /, z - α/. z - α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. U estudio realizado sobre 00 usuarios revela que u automóvil recorre aualmete u promedio de 500 Km co ua desviació típica de 50 Km. Determie u itervalo de cofiaza, al 99%, para la catidad promedio de kilómetros recorridos. Datos del problema: = 00, = 500, = 50, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = - α, de dode α = 0 0, es decir α/ = 0 0/ = De p(z z -α/ ) = - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad o viee, las más próimas so y que correspode a 57 y 58, por tato z -α/ es la media es decir z -α/ = ( )/ = 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ)= z α/, + z α/ = '575,500 + ' = = (460 65, ). Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el error cometido o sea superior a 500 Km, co igual cofiaza? Datos del problema: = 50, error = E 500, z -α/ = 575. z - α/. ' De E = z α /, teemos = E , teemos que el tamaño míimo es = 35. OPCIÓN B EJERCICIO _B ( puto) Determie los valores de e y que hace cierta la siguiete igualdad: - 3 =. 3 y y ( putos) Determie la matriz X de dimesió tal que: X - = Solució - 3 Determie los valores de e y que hace cierta la siguiete igualdad: =. 3 y y - Multiplicado las matrices teemos -y 3+ =. Igualado miembro a miembro: 3+y 3y- - y = y = y = y = 3y 3 - y = -. (E E) 4 = - 5, de dode = -5/4, e y = -(-5/4)-3 = -7/ Determie la matriz X de dimesió tal que: X - = germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De X - = 5 3 -, teemos X = + =, es decir X A = B, co A = 3 5 y B = - 3. Como A = 5 5 = 5 6 = - 0, eiste su matriz iversa A- = = (/ A ) Adj(A t ). Multiplicado la epresió X A = B por la derecha por A - teemos: X A A - = B A - X I = B A - X = B A - A t = 3 5 ; Adj(At ) = ; A- = (/-) = ; Por tato X B A - = = EJERCICIO _B - si Sea la fució: f() = si < si > 3 ( putos) Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie mootoía y etremos. ( puto) Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Solució - si Sea la fució: f() = si < si > 3 Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie mootoía y etremos. La gráfica de - ( ) es u trozo de parábola, co las ramas hacia abajo ( ), pues el º que multiplica a es egativo, abscisa del vértice e ( - ) = 0 = -, de dode = 0, luego co vértice e V(0,). Los putos de corte so (0,), y de - = 0 teemos = y = -, y el los putos so (-,0) y (-,0). La gráfica de ( < 3) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a es positivo, abscisa del vértice e ( ) = 0 = 6 -, de dode =, luego vértice e V(,-3). Los putos de corte so (0,9), que o está e su domiio, y de = 0 teemos = 3 y = (o está e su domiio), y el puto es (3,0). La gráfica de ( > 3) es u trozo de parábola, co las ramas hacia abajo ( ), pues el º que multiplica a es egativo, abscisa del vértice e ( ) = 0 = -4+6, de dode = 4, luego co vértice e V(4,). Los putos de corte so (0,-30) (o está e su domiio), y de = 0 teemos = 0, de dode = 5 y = 3 (o está e su domiio), y el los putos so (5,0). Teiedo e cueta la aterior u esbozo de la gráfica es: germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Observado la gráfica vemos que f es estrictamete creciete ( ) e (-,0) (,4). f es estrictamete decreciete ( ) e (0,) (4,+ ). Por defiició e = 0 hay u máimo relativo que vale f(0) =. Por defiició e = hay u míimo relativo que vale f() = -3. Por defiició e = 4 hay u máimo relativo que vale f(4) =. Estudie su cotiuidad y derivabilidad. - es cotiua y derivable e R, e particular e < es cotiua y derivable e R, e particular e < < es cotiua y derivable e R, e particular e > 3. Veamos la cotiuidad e = y = 3.. f() es cotiua e = si f() = f() = f() = f() = f() = ( - ) = - = 0; f(). + ( ) = = 0, por tato f() es cotiua e = 0. f() = f() ( ) = = 0; f() es cotiua e = 3 si f(3) = f(3) = f() = 3 f() = ( ) = = 0, por tato f() es cotiua e = 3, es decir f() es cotiua e R. - si f() = si < 3. f () = si > 3 Veamos la derivada e =. f() es derivable e = si f (-) = f (+), es decir la derivad f () = () = ; f () = derivable e =. Veamos la derivada e = 3. f() es derivable e = 3 si f (3-) = f (3+), es decir la derivad f () = (6 - ) = 8 - = 6; si < 6 - si < < si > 3 f () = f (). (Estamos viedo la cotiuidad de (6 - ) = 8 - = 6, como f (-) = f (+) = 6, f() o es f () = 3 f () = f() o es derivable e = 3, es decir f es derivable e R - {,3}. f (). (Estamos viedo la cotiuidad de 3+ (-4 + 6) = = 4, como f (3-) =6 f (3+) = 4, 3 + EJERCICIO 3_B Parte I E el eperimeto aleatorio de lazar ua moeda tres veces se cosidera los siguietes sucesos: A: sacar al meos ua cara y ua cruz. B: sacar a lo sumo ua cara. ( puto) Determie el espacio muestral asociado a ese eperimeto y los sucesos A y B. ( puto) So idepedietes ambos sucesos? Solució E el eperimeto aleatorio de lazar ua moeda tres veces se cosidera los siguietes sucesos: A: sacar al meos ua cara y ua cruz. B: sacar a lo sumo ua cara. ( puto) Determie el espacio muestral asociado a ese eperimeto y los sucesos A y B. ( puto) So idepedietes ambos sucesos? Llamemos C y X, a los sucesos siguietes, sacar cara y sacar cruz, respectivamete. Sabemos que so idepedietes Espacio muestral E = {CCC; CCX; CXC; XCC; CXX; XCX; XXC; XXX} hay 8 sucesos elemetales. germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua A: sacar al meos ua cara y ua cruz = { CCX; CXC; XCC; CXX; XCX; XXC} B: sacar a lo sumo ua cara = {CXX; XCX; XXC; XXX} So idepedietes ambos sucesos? Los sucesos so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b) A B = {CXX; XCX; XXC}. Como p(a B) = 3/8 = p(a) p(b) = (6/8) (4/8) = 3/8, los sucesos so idepedietes. EJERCICIO 3_B Parte II ( putos) La catidad de hemoglobia e sagre del hombre sigue ua ley ormal co desviació típica de g/dl. Calcule el ivel de cofiaza de ua muestra de etraccioes de sagre que idique que la media poblacioal de hemoglobia e sagre está etre 3 y 5 gramos por decilitro. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = z α/, + z α/ = (a, dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ Tambié sabemos que la media es = (a + /, el error máimo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b /, z - α/. z - α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. La catidad de hemoglobia e sagre del hombre sigue ua ley ormal co desviació típica de g/dl. Calcule el ivel de cofiaza de ua muestra de etraccioes de sagre que idique que la media poblacioal de hemoglobia e sagre está etre 3 y 5 gramos por decilitro. Datos del problema: =, =, itervalo de cofiaza (3,5) = z α/, + z α/ = (a,. Sabemos que el ivel de cofiaza es - α. De la fórmula b a = z α /, teemos = z α /, es decir z -α/ = 73. De p(z z -α/ ) = - α/ = p(z 73) = 0 958, es decir = α/, luego α = , y el ivel de cofiaza pedido es - α = = = 9 64% germa.jss@gmail.com 7