OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Sea las matrices A= y B = (1 1) Eplique qué dimesió debe teer la matriz X para que tega setido la ecuació matricial X A + 2B = (1 0). Resuelva dicha ecuació. (1 puto) Platee, si resolver, el sistema de ecuacioes que permita ecotrar la solució del siguiete problema: E u eame de Matemáticas que costaba de tres problemas, u alumo obtuvo ua calificació total de 7 2. La putuació del primer problema fue u 40% más que la del segudo, y la del tercero fue el doble de la suma de las putuacioes del primero y el segudo. Cuál fue la putuació de cada problema? Solució Sea las matrices A= y B = (1 1) Eplique qué dimesió debe teer la matriz X para que tega setido la ecuació matricial X A + 2B = (1 0). Resuelva dicha ecuació. Dada la matriz A, si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de (A I) a (I D), la matriz D es la iversa de A, es decir D = A -1. Tambié podemos calcularla co la fórmula A -1 1 t = Adj(A ). A F Cambio F F F 2 (-1) F 1 por F (A I) = = (I A -1 ), F 2 - F luego A = = (1) 5 1 Veámoslo por la fórmula: A = -5-4 = -8 (-10) = 2; 2-5 At = ; Adj(A t -4-2 ) =, luego A -1 1 t -4-2 = Adj(A ) = (1) = 2-4 A -2-1 =, que como vemos sale lo mismo. 5 1 Multiplicamos por la derecha la epresió X A + 2B = (1 0), por A -1 quedádoos: X A A B A -1 = (1 0) A -1 X I + 2B A -1 = (1 0) A -1, de dode X = - 2B A -1 + (1 0) A -1. Calculamos ya X = - 2B A -1 + (1 0) A = (-2) (1 1) (1) + (1 0) (1) = = (-1) (-9-4) + (1) (-4-2) = (9 4) + (-2-1) = (7 3). Platee, si resolver, el sistema de ecuacioes que permita ecotrar la solució del siguiete problema: E u eame de Matemáticas que costaba de tres problemas, u alumo obtuvo ua calificació total de 7 2. La putuació del primer problema fue u 40% más que la del segudo, y la del tercero fue el doble de la suma de las putuacioes del primero y el segudo. Cuál fue la putuació de cada problema? = putuació del primer problema. y = putuació del segudo problema. z = putuació del tercer problema. De, tiee ua calificació total de 7 2, teemos: + y + z = 7 2. De, putuació del primer problema fue u 40% más que la del segudo, teemos: = y + 0 4y. De, la del tercero fue el doble de la suma de las putuacioes del primero y el segudo, teemos: z = 2( + y). El sistema pedido es: + y + z = gjrubio@hotmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua = y + 0 4y z = 2( + y). EJERCICIO 2_A (2 putos) Dada la fució f() = a( 1) 2 + b, calcule a y b para que la gráfica de esta fució pase por el puto de coordeadas (1,2) y tega u etremo relativo e el puto de abscisa = 2. 1 (1 puto) Calcule g (2) siedo g() = -. Solució Dada la fució f() = a( 1) 2 + b, calcule a y b para que la gráfica de esta fució pase por el puto de coordeadas (1,2) y tega u etremo relativo e el puto de abscisa = 2. Como pasa por (1,2) teemos f(1) = 2. Sabemos que los etremos relativos aula la 1ª derivada, luego f (2) = 0. f() = a( 1) 2 + b; f () = 2a( 1) + b. De f (2) = 0 2a(1) + b = 0 a = -b. De f(1) = 2 a (0) 2 + b(1) = 2 b = 2. Por tato a = -(2) = -1. Los valores pedidos so a = -1 y b = 2. 1 Calcule g (2) siedo g() = -. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. / f() f'().g() - f().g'() ( f()+g() ) = f ()+g (); =. 2 g() (g()) g() = ; g () = (-1) 2-1 ; g = 4 = 2 2 = 4. Luego g (2) = 2(2) = EJERCICIO 3_A Parte I E u espacio muestral se tiee dos sucesos idepedietes, A y B. Se sabe que p(a B) = 0 18 y p(a/b) = (1 puto) Calcule las probabilidades de A y de B. (1 puto) Calcule la probabilidad de que o ocurra iguo de esos dos sucesos. Solució E u espacio muestral se tiee dos sucesos idepedietes, A y B. Se sabe que p(a B) = 0 18 y p(a/b) = Calcule las probabilidades de A y de B. Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); ( ) p(a/b) = p A B ; p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(b) p(a C ) = 1 - p(a). Del problema teemos: p(a B) = 0 18; p(a/b) = 0 3. Me pide p(a) y p(b). De p(a/b) = 0 3, teemos p(a/b) = p( A B ) p(b), es decir 0 3 = 0 18/p(B), luego p(b) = 0 18/0 3 = 0 6. Como A y B so idepedietes p(a B) = p(a) p(b), es decir 0 18 = p(a) 0 6, luego p(a) = 0 18/0 6 = 0 3. Calcule la probabilidad de que o ocurra iguo de esos dos sucesos. De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), teemos p(a B) = = Me pide p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = = gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte II De ua població Normal, co media descoocida y variaza 36, se etrae ua muestra aleatoria que resulta teer ua media muestral de 173. (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza del 97% para la media poblacioal, si el tamaño de la muestra es 64. (1 puto) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra, si se desea que el error cometido al estimar la media poblacioal sea iferior a 1 2, para u ivel de cofiaza del 95%?. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = z 1 α, + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es = (a +, el error máimo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. De ua població Normal, co media descoocida y variaza 36, se etrae ua muestra aleatoria que resulta teer ua media muestral de 173. (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza del 97% para la media poblacioal, si el tamaño de la muestra es 64. Datos del problema: 2 = 36, = 6, = 173, = 64, ivel de cofiaza = 97% = 0 97 = 1 - α, de dode α = 0 03, es decir α = 0 03 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = 2 17, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C. (µ) = z 1 α, + z1 α = '17, ' = = ( , ) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra, si se desea que el error cometido al estimar la media poblacioal sea iferior a 1 2, para u ivel de cofiaza del 95%?. Datos del problema: = 6, E 1 2, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = z 1- α. 1' 96 6 De = E 1'2 = 9 8, teemos que el tamaño míimo es = gjrubio@hotmail.com

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Se cosidera el recito defiido por las iecuacioes y 4; y 4; + y 12; 0; y 0. (2 putos) Represete el recito y calcule sus vértices. 2 4 (1 puto) Dada la fució objetivo F(,y ) = - y, determie los valores máimo y míimo de F y los 3 5 putos del recito dode se alcaza. ( y ( Fució Objetivo F(,y) = 2/3-4y/5. Restriccioes: Solució Que so las desigualdades y 4; y 4; + y 12; 0; y 0; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, y = 4; y = 4; + y = 12; = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = + 4; y = - 4; y = ; = 0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De = 0 e y = 0. El puto de corte es A(0,0). De y = 0 e y = 4, teemos 0 = 4, luego = 4. El puto de corte es B(4,0). De = - 4 e y = , teemos - 4 = , luego 2 = 16, por tato = 8 e y = 4. El puto de corte es C(8,4). De y = e y = + 4; teemos = + 4, es decir 8 = 2, luego = 4 e y = 8, y el puto de corte es D(4,8) De = 0 e y = + 4, teemos y = 4, y el puto de corte es E(0,4) Vemos que los vértices del recito so: A(0;0), B(4,0), C(8;4), D(4,8) y E (0;4). Calculemos el máimo de la fució F(,y) = 2/3-4y/5 e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0;0), B(4,0), C(8;4), D(4,8) y E (0;4). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 2(0)/3-4(0)/5 = 0; F(4,0) = 2(4)/3-4(0)/5 = 8/3 2 67; F(8,4) = 2(8)/3-4(4)/5 = 32/ ; F(4,8) = 2(4)/3-4(8)/5 = -56/ ; F(0,4) = 2(0)/3-4(4)/5 = gjrubio@hotmail.com

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució F e la regió es 8/ (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(4,0) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es -56/ (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice D(4,8). EJERCICIO 2_B (1 5 putos) De ua fució f se sabe que la gráfica de su fució derivada, f, es la recta de ecuació y = Estudie razoadamete la mootoía de la fució f, a la vista de la gráfica de la derivada. 4-4 (1 5 putos) Dada la fució g() =, calcule la ecuació de la recta tagete a su gráfica e el + 4 puto de abscisa = 0. Solució De ua fució f se sabe que la gráfica de su fució derivada, f, es la recta de ecuació y = Estudie razoadamete la mootoía de la fució f, a la vista de la gráfica de la derivada. La gráfica de f, es la de la recta y = , y co dos putos (0,4) y (2,0) es suficiete para ello, y es parecida a: Sabemos que la mootoía se obtiee del estudio de la primera derivada f () = La igualamos a cero: f () = = 0, de dode = 2 que será el posible etremo de f. Como f (0) = 4 > 0, vemos que f () > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (-,2), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-,2). Como f (3) = -2 < 0, vemos que f () < 0 (debajo del eje OX) e el itervalo (2,+ ), es decir f estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (2,+ ). Por defiició = 2 es u máimo relativo de f. 4-4 Dada la fució g() =, calcule la ecuació de la recta tagete a su gráfica e el puto de abscisa + 4 =0. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. / f() f'().g() - f().g'() ( f()+g() ) = f ()+g (); = ; ( k ) = k. k-1 ; (k) = 0. La ecuació de la recta 2 g() (g()) tagete (R.T.) a la gráfica de g e = a es y g( = g ( (. E uestro caso la recta tagete e = 0 es y g(0) = g (0) ( 0) ( + 4) - 1.(4-4) 8 g() = ; g'() = =. Luego g(0) = -4/4 = -1 y g (0) = 8/4 2 = 1, y la recta + 4 ( + 4) ( + 4) tagete pedida es y ( 1) = (1) ( 0), es decir y = 1. EJERCICIO 3_B Parte I E ua empresa, el 65% de la platilla so hombres; de ellos, el 80% usa el ordeador. Se sabe que el 83 5% de la platilla de la empresa usa el ordeador. (1 puto) Calcule la probabilidad de que ua persoa de esa empresa, elegida al azar, sea u hombre que o utiliza el ordeador. (1 puto) Seleccioada ua mujer de esa empresa, al azar, calcule la probabilidad de que utilice el ordeador. Solució E ua empresa, el 65% de la platilla so hombres; de ellos, el 80% usa el ordeador. Se sabe que el 5 gjrubio@hotmail.com

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua 83 5% de la platilla de la empresa usa el ordeador. (1 puto) Calcule la probabilidad de que ua persoa de esa empresa, elegida al azar, sea u hombre que o utiliza el ordeador. Llamemos H, M, O y O C, a los sucesos siguietes, ser hombre, ser mujer, "usar el ordeador", y "o usar el ordeador", respectivamete. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada. La suma de los totales coicide), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Tambié se podría hacer por u diagrama de árbol. Pasaremos primero el % e probabilidades (el total de los totales es 1). 65% = 0 65; 80% = 0 8; 83 5% = El 80% de los hombres usa ordeador = = 0 52 Usar ordeador = O No usar ordeador = O C Totales Ser hombre = H Ser mujer = M Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. ( Usar ordeador = O No usar ordeador = O C Totales Ser hombre = H Ser mujer = M Totales p(ser hombre y o utiliza ordeador) = p(h O C Total hombres que o usa ordeador ) = = 0 13/1 = Total persoas = Seleccioada ua mujer de esa empresa, al azar, calcule la probabilidad de que utilice el ordeador. p(use el ordeador/ser mujer) = p(o/m) = = 0 9. p(o M) p(m) = Total mujeres usa ordeador Total mujeres = 0 315/35 = EJERCICIO 3_B Parte II Las calificacioes obteidas por los estudiates de Matemáticas sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica Para ua muestra de esa població se obtiee que (6 801, 6 899) es u itervalo de cofiaza, al 92%, para la media poblacioal. (0 5 putos) Determie la media muestral. (1 5 putos) Determie el tamaño de la muestra. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = z 1 α, + z1 α = (a, 6 gjrubio@hotmail.com

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es = (a +, el error máimo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Las calificacioes obteidas por los estudiates de Matemáticas sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica Para ua muestra de esa població se obtiee que (6 801, 6 899) es u itervalo de cofiaza, al 92%, para la media poblacioal. Determie la media muestral. Datos del problema: = 1 19, a = 6 801, b = 6 899, ivel de cofiaza = 92% = 0 92 = 1 - α, de dode α=0 08, por tato α = 0 08 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 96 o viee, y la más próima es que correspode a z 1-α = 1 75 (iterpolado z 1-α = ). Hemos visto que la media era = (a + = ( ) = Determie el tamaño de la muestra. De 2 z 1- α. 2 z 1- α. 2 1'75 1'19 E = = b - a 6'899-6'801 = , es decir el tamaño míimo es = gjrubio@hotmail.com