ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
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- Eugenio Olivares Torregrosa
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1 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. Coceptos ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA E este tema vamos a estudiar como estimar, es decir proosticar, u parámetro de la població, geeralmete la media, la variaza (e cosecuecia la desviació típica) y la proporció, a partir de ua muestra de tamaño. Pero a diferecia de la estimació putual dode tal estimació la efectuábamos dado u valor cocreto, e esta ocasió el plateamieto es otro. Lo que haremos es dar u itervalo dode afirmaremos o proosticaremos que e su iterior se ecotrará el parámetro a estimar, co ua probabilidad de acertar previamete fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es decir próxima a. Para ello vamos a establecer la otació a utilizar: Parámetro E la muestra E la població Media µ Variaza Desviació típica Cuasivariaza - Es importate el uso de la calculadora para hallar estos valores e la muestra. Hemos dicho que vamos a propoer u itervalo dode se ecotrará el parámetro a estimar, co ua probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la represetaremos por -α, y la llamaremos ivel de cofiaza. A mayor valor de - α, más probabilidad de acierto e uestra estimació, por tato eso implica que α tedrá que ser pequeño, próximo a 0. Recordemos que - α represeta siempre ua probabilidad por lo que será u valor etre 0 y, si bie e la mayoría de los euciados de los problemas suele ser euciado e térmios de tato por cieto. Así cuado, por ejemplo, se dice que el ivel de cofiaza es del 90%, sigifica que - α vale 0,9 y por tato α vale 0,. Para iterpretar bie estos coceptos veamos u ejemplo: upogamos que deseamos estimar la media de la estatura de ua població mediate u itervalo de cofiaza al 95% de ivel de cofiaza, co ua muestra de tamaño 50. upogamos que tras los cálculos ecesarios, el itervalo e cuestió es (a,b). Pues bie, esto quiere decir que si elegimos 00 muestras de tamaño 50 y cada vez calculamos el itervalo de cofiaza resultate, acertaremos e uestro proóstico e 95 de las 00 veces que realizaríamos la estimació co cada muestra. U dato importate como es de esperar, es el tamaño de la muestra, que represetaremos por. Es evidete que, a igual ivel de cofiaza, cuato mayor tamaño tega la muestra, el itervalo de cofiaza se reducirá puesto que el valor obteido e la muestra se acercará más al valor real de la població y por tato el marge de error cometido (radio del itervalo) se hará más pequeño. i el tamaño de la muestra permaece costate y variamos - α. el tamaño del itervalo se hará más grade cuato más aumete - α, es decir que el marge de error se hará más grade cuato más precisió exijamos. Por ejemplo, si para dar u itervalo de cofiaza de la media de la estatura de ua població de adultos de u país, es seguro que acertaría al cie por cie si el itervalo que diese fuese (50 cm, 90 cm), pero sería ua estimació absurda ya que o sabría Métodos Estadísticos y uméricos
2 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. apreciar realmete la media. Por tato se trata de dar u itervalo lo más reducido posible. Cálculo de itervalos de cofiaza. Método del pivote El cálculo de itervalos de cofiaza o es u proceso fácil cuado la variable e estudio o sigue uas pautas de ormalidad, por lo que osotros vamos a supoer siempre que la variable co la que vamos a trabajar sigue ua distribució ormal. Dicho esto, el proceso para obteer el itervalo es dar ua variable aleatoria dode itervega el parámetro a estimar y el correspodiete de la muestra. A esta variable se le llama estadístico pivote y debe seguir ua distribució de probabilidad coocida. Por ejemplo para el cálculo de u itervalo de cofiaza de la media se utiliza el siguiete estadístico pivote: µ Pues bie, esa expresió dode iterviee la media muestral, la media poblacioal, la cuasi desviació típica y el tamaño muestral, sigue ua distribució de probabilidad coocida que se ecuetra tabulada, llamada t-tudet co - grados de libertad. e trata pues de dar u itervalo (a, b) de modo que P ( a < g < b, siedo g el estadístico pivote correspodiete. Ua vez establecida esa desigualdad, despejamos el parámetro poblacioal que es el que queremos cetrar e el itervalo. Cálculo del itervalo de cofiaza para la media, coocida la desviació típica de la població e ua variable aleatoria ormal e utiliza es estadístico pivote: µ que sigue ua N(0,) Recordemos que = que es la media muestral, sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica como probaremos a cotiuació: Calculemos la esperaza y la variaza de : E + E + + E µ E = [ ] [ ]... [ ] [ ] = = µ Var[ ] + Var[ ] Var[ ] Var[ ] = = = por tato la desv. tip. es Estamos pues ate la siguiete situació: Métodos Estadísticos y uméricos
3 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 3 -z α/ µ P ( zα / < < zα / P( zα / < µ < + zα / Hemos obteido el itervalo que cotiee a la media poblacioal: ( zα /, + zα / ) A la expresió zα / se le deomia marge de error y e ocasioes se expresa e tato por cieto. Obsérvese que se trata del radio del itervalo. Veamos u ejemplo práctico: e desea estimar la media del tiempo empleado por u adador e ua prueba olímpica, para lo cual se croometra 0 pruebas, obteiédose ua media de 4,5 miutos. abiedo por otras pruebas que la desviació típica de esta variable para este adador es de 0,3 miutos, obteer u itervalo de cofiaza co u 95% de cofiaza. Cuatas pruebas habría que croometrar para que el marge de error e la estimació de la media fuese iferior a tres segudos. (upoemos siempre que la variable que mide el tiempo del adador sigue ua distribució ormal.) Estamos e el caso de u itervalo de cofiaza para la media coociedo la desviació típica de la població. Del euciado del problema se desprede directamete los siguietes datos: = 4,5 seg. = 0,3 seg. = 0 α = 0,95 Teemos que buscar u valor z α/, de modo que e la distribució N(0,) deje ua área de probabilidad a la derecha igual a α/, es decir 0,05. Como la fució de distribució de probabilidad de la tabla N (0,) me da el área de probabilidad acumulada, es decir a la izquierda, tego que ver que valor de z me deja a la izquierda 0,975, que se correspode para u valor de z=,96. Así pues el itervalo buscado es: 0,3 0,3 ( 4,5,96, 4,5 +,96) = ( 4,5-0,859, 4,5+0,859) = (4,34, 4,686) 0 0 z α/ Métodos Estadísticos y uméricos
4 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 4 Tambié se puede expresar así: e estima que la media es 4,5 más meos u marge de error del 8,59%. (Recordemos que el marge de error cometido e la estima es el radio del itervalo, es decir 0,859) E cuato a la seguda parte del problema, os pide el tamaño de la muestra para que e las mismas codicioes el marge de error sea iferior a 3 seg, es decir 0,05 miutos (Debemos pasar todo a las mismas uidades). Que el error sea iferior al 5% es acotar el radio del itervalo de cofiaza co ese valor: 0,3 zα / < 0,05, e uestro caso,96 < 0, 05, de dode resulta >38,9. E cosecuecia, para obteer u error iferior a 0,05 miutos, deberemos tomar ua muestra de al meos 39 pruebas croometradas. Cálculo del itervalo de cofiaza para la media, descoociedo la desviació típica de la població e ua variable aleatoria ormal e utiliza el estadístico pivote: µ que sigue ua distribució llamada t-tudet co - grados de libertad, que preseta ua forma e la curva muy similar a la de la distribució ormal. Estamos pues ate la siguiete situació: µ P( tα / < < tα / P( tα / < µ < + tα / Hemos obteido el itervalo que cotiee a la media poblacioal: -t α/ ( tα /, + t α / ) A la expresió t α / se le deomia marge de error y e ocasioes se expresa e tato por cieto. Obsérvese que se trata del radio del itervalo. t α/ Métodos Estadísticos y uméricos
5 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 5 Veamos u ejemplo práctico: La putuació media de ua muestra de 0 jueces de gimasia rítmica, elegidos al azar, para ua misma prueba, presetó ua media de 9,855 y ua cuasi desviació típica muestral de 0,0965. Calcular u itervalo de cofiaza co u 95% para la ota media. (upoemos que la variable que mide la putuació sigue ua distribució ormal.) Estamos e el caso de u itervalo de cofiaza para la media descoociedo la desviació típica de la població. Del euciado del problema se desprede directamete los siguietes datos: = 9,855. = 0,0965. = 0 α = 0,95 Teemos que buscar u valor t α/, de modo que e la distribució t-tudet co 9 grados de libertad deje ua área de probabilidad a la derecha igual a α/, es decir 0,05. Dicho valor se correspode co u valor de t =,0930. Así pues el itervalo buscado es: 0,0965 0,0965 ( 9,855,0903, 9,855 +,0903) = (9,855 0,045, 9, ,045) = 0 0 ( 9,807,9,897). La media se estima e 9,855 más meos u marge de error de 4,5% Cálculo del itervalo de cofiaza para la variaza de la població e ua variable aleatoria ormal e utiliza el estadístico pivote: ( ) que sigue ua distribució llamada chi-cuadrado co - grados de libertad, que se represeta por, que a diferecia de las ateriores preseta ua curva o simétrica, y las tablas dadas expresa el área de probabilidad a la derecha de la variable. Estamos pues ate la siguiete situació: α/ α/ -α/ α/ ( ) ( ) ( ) P( α / < < α / P( < < α / α / Hemos obteido el itervalo que cotiee a la variaza poblacioal: ( ) ( ), ( α / α / ) Métodos Estadísticos y uméricos
6 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 6 Veamos u ejemplo práctico: La putuació media de ua muestra de 0 jueces de gimasia rítmica, elegidos al azar, para ua misma prueba, presetó ua cuasi desviació típica muestral de 0,0965. Calcular u itervalo de cofiaza co u 95% para la variaza. (upoemos que la variable que mide la putuació sigue ua distribució ormal.) Del euciado del problema se desprede directamete los siguietes datos: = 0, = 0 α 0,95 = Teemos que buscar u valor α /, de modo que e la distribució chi-cuadrado co 9 grados de libertad deje ua área de probabilidad a la derecha igual a -α/, es decir 0,975 y otro valor α / que deje ua área de probabilidad a la derecha igual a α/, es decir 0,05. Ambos valores se correspode respectivamete co 8,9065 y 3,85 Así pues el itervalo buscado para la variaza es: 0, , , 9. = 3,85 8,9065 ( 0,0053, 0,09 ) Itervalo de cofiaza para la proporció Queremos estimar la proporció p de que ocurra u determiado suceso e ua població y tomamos ua muestra de tamaño. Cosideramos la variable aleatoria = p /, dode p es el úmero de observacióes de ese suceso e la muestra. La variable es obviamete ua biomial (, p). Para valores de grade y p próximos a 0,5, podemos aproximarla mediate ua ormal de media p y desviació típica p(, por tato p p( p) Así pues : es ua N(0,). i dividimos por teemos p' p es N(0,)- -z α/ z α/ Métodos Estadísticos y uméricos
7 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 7 p' p P( zα / < < zα / P( p' zα / < p < p' zα / Obteiedo como itervalo de cofiaza para p Pero dado que descoocemos p, deberemos sustituirlo por p. Ua cota para el error es z α / o tambié z α / puesto que -p) 4 alcaza u u máximo e /4. y por tato esta última expresió se podría tomar como radio del itervalo de cofiaza propuesto. Veamos u ejemplo práctico: E ua ecuesta hecha por alumos y alumas de u istituto a u total de 00 votates elegidos al azar e su Muicipio, se obtiee que el 55% volvería a votar al actual alcalde. Calcular u itervalo de cofiaza al 99% para la proporció de votates favorables al actual alcalde. Cuales debería ser los tamaños muestrales, mateiedo el mismo ivel de cofiaza, para teer la certeza que el alcalde actual será reelegido por mayoría absoluta Los datos despredidos del euciado del problema so : p ' = 0,55 = 00 α = 0,99 Teemos que buscar u valor z α/, de modo que e la distribució N(0,) deje ua área de probabilidad a la derecha igual a α/, es decir 0,005. Como la fució de distribució de probabilidad de la tabla N (0,) me da el área de probabilidad acumulada, es decir a la izquierda, tego que ver que valor de z me deja a la izquierda 0,995, que se correspode para u valor de z=,57. Así pues el itervalo buscado es: 0,55.0,45 0,55.0,45 0,55.,57, 0,55.,57 = ( 0,4, 0,6778) ( p' zα /, p' zα / ) ( 0,55 0,78, 0,55 0,78) E la seguda parte del problema, si queremos que tega mayoría absoluta, el marge de error o puede ser iferior a 0,05. La explicació es ésta: Puesto que la mayoría absoluta la obtiee co más de 0,50 de proporció, y la proporció muestral me ha dado 0,55, y como el itervalo de cofiaza está cetrado e 0 55, el radio de dicho itervalo, es decir el marge de cofiaza, o puede ser superior a 0 05, ya que si fuese 0,06 por ejemplo, cabría la posibilidad de que el valor de la proporció poblacioal fuese 0,55-0,06 = 0,49 co lo cual el alcalde o tedría la mayoría absoluta. Asi pues el plateamieto es hacer el marge de error meor que 0,05, es decir: La derivada de -p) es -p que se aula e p=/. u seguda derivada es -, por tato e p=/ preseta u máximo, que al ser sustituido e la fució iicial se obtiee /4. Métodos Estadísticos y uméricos
8 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 8 z α / <0 05 que e uestro caso es: 0,55.0,45.,57 <0 05 de dode se obtiee > 653, 88 E cosecuecia, el úmero míimo del tamaño de la muestra para poder teer certeza de que el alcalde va a teer mayoría absoluta co u 99% de cofiaza es 654 Ejercicios propuestos y resueltos de Estimació por itervalos de cofiaza, puede descargarse e: e la secció Taboleiros / Departametos. Métodos Estadísticos y uméricos
9 Estimació por itervalos de cofiaza. I.E.. A uqueira I pag. 9 TABLA ÁREA BAJO LA DITRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ETÁNDAR, N(0, ) z 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 Métodos Estadísticos y uméricos
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