TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ETADÍTICA 6.. Itroducció 6.. Coceptos básicos 6.3. Muestreo aleatorio simple 6.4. Distribucioes asociadas al muestreo Distribució Chi-Cuadrado Distribució t de tudet Distribució F de edecor 6.5. Distribució de estadísticos muestrales Cocepto de estadístico y distribució muestral Distribució de la media muestral de ua població Normal Distribució de la variaza muestral de ua població Normal Distribució de la diferecia de medias muestrales de dos poblacioes Normales idepedietes Distribució del cociete de variazas muestrales de dos poblacioes Normales idepedietes Distribució de la proporció muestral Distribució de la diferecia de proporcioes muestrales 45

2 6.. Itroducció Aálisis Descriptivo Iferecia Estadística Cálculo de robabilidades Estimació Cotraste de Hipótesis oblació Describir arámetros Características oblacioales Muestra e extrae Estimació Cotraste Estadísticos Geera Datos uméricos Utilizados para obteer 46

3 6. Coceptos básicos oblació: Cojuto de elemetos e los que se observa algua característica comú Observacioes: Valores que toma la característica observada e cada elemeto de la població arámetro: Característica umérica que describe ua variable observada e la població Muestra: Cojuto de uidades represetativas de ua població Estadístico: Fució de los valores de la muestra 47

4 La iferecia estadística esta basada e el estudio de las muestras La muestra debe ser represetativa de la població para extraer coclusioes validas sobre esta població La muestra debe ser aleatoria 48

5 6.3 Muestreo aleatorio simple Cada elemeto de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido para formar parte de la muestra y cada muestra del mismo tamaño tiee la misma probabilidad de ser seleccioada Muestra aleatoria simple de tamaño : ea ua població dode observamos la variable aleatoria. Ua muestra aleatoria simple, m.a.s., de tamaño, es u cojuto de variables aleatorias,,...,, que verifica:,,, K Idepedietes etre sí Cada i co idéticas características que 49

6 Muestreo aleatorio simple El muestreo aleatorio simple e poblacioes fiitas se realiza co reemplazamieto, es decir: e seleccioa u elemeto de la població al azar, se observa el valor de la variable aleatoria, se devuelve a la població y se vuelve a seleccioar otro elemeto. Así hasta obteer los elemetos. Este procedimieto garatiza la idepedecia de las observacioes La selecció aleatoria de los elemetos se realiza co ua tabla de úmeros aleatorios, o co algú procedimieto iformático 50

7 asos de u muestreo oblació e la que se observa la variable oblació e decide extraer ua muestra aleatoria simple de tamaño, compuesta por las variables aleatorias,,..., e seleccioa elemetos de la població Muestra Los elemetos seleccioados geera úmeros x, x,...,x, valores observados de las variables aleatorias,,..., 5

8 Ejemplo e poblacioes fiitas E u istituto se quiere realizar u estudio sobre el ivel de colesterol de los alumos. ara ello, se decide extraer ua muestra aleatoria simple de tamaño 0 oblació Alumos del istituto Variable aleatoria, Nivel de colesterol Muestra aleatoria simple, de tamaño 0 Variables aleatorias,,..., 0 i, ivel de colesterol del i-ésimo alumo seleccioado e seleccioa 0 alumos y sus iveles de colesterol so: 9, 70, 35, 40, 5, 63, 3, 03, 87, 49 Valores observados de las variables aleatorias,,..., 0 x x 6 9; 63; x x 7 70; 3; x x ; 03; x x ; 87; x x 5 0 5; 49. 5

9 Ejemplo e poblacioes ifiitas e aaliza muestras de agua de u río para estudiar el ídice de diversidad de especies. Este ídice se utiliza para medir el efecto de ua perturbació, como la cotamiació del agua, e seres vivos. uede determiarse la diversidad de la població ates y después de la perturbació. i el ídice tras la perturbació es mucho mas pequeño idica que la perturbació ha teido efectos egativos. ara esto, se decide extraer ua muestra aleatoria simple de tamaño 8 oblació osibles aálisis del agua Variable aleatoria, Ídice de diversidad Muestra aleatoria simple Variables aleatorias,,..., 8 i : Ídice de diversidad del i-ésimo aálisis realizado e realiza 8 aálisis y sus ídices de diversidad so:.9;.87;.35;.48;.3;.85;.07;.98 Valores observados de las variables aleatorias,,..., 8 x,9; x,87; x,35; x, 48; 3 4 x,3; x,85, x,07; x,

10 6.4 Distribucioes asociadas al muestreo 6.4. Distribució Chi-Cuadrado ea variables aleatorias,,,..., que verifica: Idepedietes etre sí i N ( 0; ) Defiimos la variable aleatoria como: La variable aleatoria sigue ua distribució Chi- Cuadrado co grados de libertad χ 0. Distribució Chi-Cuadrado G. Libertad 0 f(x) x 54

11 Esperaza matemática Variaza E χ Var χ ara valores grades de, la distribució Chi- Cuadrado se aproxima a la distribució Normal. La aproximació se cosidera aceptable para > 30 f(x) Distribució Chi-Cuadrado G. Libertad

12 6.4. Distribució t de tudet ea las variables aleatorias, y Z, que verifica: Z N( 0; ) χ Idepedietes Defiimos la variable aleatoria como: Z La variable aleatoria sigue ua distribució t de tudet co grados de libertad t Cotraste Distribucioes 0.4 Normal t-tudet f(x)

13 Esperaza matemática E t 0 Variaza Var t ara valores grades de, la distribució t de tudet se aproxima a la distribució Normal. La aproximació se cosidera aceptable para > 30 f(x) Distribució t-tudet G. Libertad

14 6.4.3 Distribució F de edecor ea las variables aleatorias, y W, que verifica: χ Idepedietes W χ m Defiimos la variable aleatoria como: W m La variable aleatoria sigue ua distribució F de edecor co y m grados de libertad F, m f(x) Distribució F de edecor G. Libertad 0,

15 ara valores grades de y m, la distribució F de edecor se aproxima a la distribució Normal. f(x) Distribució F de edecor G. Libertad 5,0 0,0 30,

16 6.5 Distribució de estadísticos muestrales 6.5. Cocepto de estadístico y distribució muestral Estadístico: Ua fució de los valores de la muestra. Es ua variable aleatoria, cuyos valores depede de la muestra seleccioada. u distribució de probabilidad, se cooce como Distribució muestral del estadístico ea ua població dode se observa la variable aleatoria. Esta variable, tedrá ua distribució de probabilidad, que puede ser coocida o descoocida, y ciertas características o parámetros poblacioales Estadísticos muestrales Iferecia arámetros poblacioales 60

17 ea ua població dode se observa la variable aleatoria E [ ] µ ; Var[ ] Cosideramos ua muestra aleatoria simple, m.a.s., de tamaño, formada por las v.a.,,...,, K, Idepedie tes E µ [ ] [ ] Var etre sí Defiimos los siguietes estadísticos muestrales: Media muestral: Variaza muestral: ˆ i ( ) 0 i Cuasi-Variaza muestral: i ( i ) 6

18 Cosideramos todas las posibles muestras de tamaño Muestra Muestra Muestra j j j... j i i i... j x x K j x K La variable aleatoria toma los valores: u distribució de probabilidad x, x,.., x j.. Distribució de la media muestral Esperaza matemática: E µ Variaza: Var 6

19 Los estadísticos muestrales, media, variaza y cuasivariaza verifica las siguietes propiedades: Media muestral: Var E µ µ Variaza muestral: E [ ] ˆ Cuasivariaza muestral: E Estas propiedades se verifica siempre, cualquiera que sea la distribució de la variable 63

20 Ejemplo e poblacioes ifiitas ea ua v.a. co valores:, 3, 5. Cosideramos ua m.a.s. de tamaño. Obteer:.- Media y variaza de la v.a..- Media y variaza de la v.a ( ) / 3 / 3 / 3 [ ] 3 µ E µ E [ ] E E [ ]

21 .- x x x ( ) /9 /9 3/9 /9 / E 3 µ Var E µ Var [ ] E E

22 6.5.. Distribució de la media muestral de ua població Normal ea ua població dode se observa la variable aleatoria. upogamos que N ( µ, ) Cosideramos ua muestra aleatoria simple, m.a.s., de tamaño, formada por las v.a.,,...,,,...,, Idepedietes etre si i N ( µ, ) Distribució de la media muestral Caso A. Variaza poblacioal,, coocida Caso B. Variaza poblacioal,, descoocida Caso C. Variaza poblacioal,, descoocida. Muestras grades 66

23 Distribució de la media muestral Caso A. Variaza poblacioal,, coocida La variable aleatoria media muestral: i i Tiee distribució Normal N µ, or lo tato Z µ N ( 0;) 67

24 Caso B. Variaza poblacioal,, descoocida El estadístico T, defiido como: T µ tiee ua distribució t de tudet co g. l. T µ t Caso C. Variaza poblacioal,, descoocida. Muestras grades, > 30 El estadístico T, defiido como: T µ tiee ua distribució Normal, T N(0; ) 68

25 Teorema Cetral del Limite,,..., ea, ua m.a.s., de tamaño de ua població co distribució de probabilidad o especificada, co media µ y desviació típica La variable aleatoria Z, defiida como: Z µ tiee ua distribució, aproximadamete, N ( 0, ) La aproximació es aceptable para > 30 69

26 Ejemplo: Distribució de la media muestral Variaza poblacioal coocida e está estudiado el tiempo trascurrido etre la poliizació y la fertilizació,, e ua especie de coíferas. upogamos que la variable está ormalmete distribuida co ua media de 6 meses y ua desviació típica de meses. Cosideramos ua m.a.s. de tamaño 5. Obteer la probabilidad de que el tiempo medio trascurrido e la muestra etre la poliizació y la fertilizació sea como máximo de 6,3 meses ( µ ; ) ( 6 ) :" Tiempo trascurrido" N N ; Z µ N ( 0; ) ( 6.3) ( Z 0.75) ( Z 0.75)

27 Ejemplo: Distribució de la media muestral Variaza poblacioal descoocida e está realizado u estudio sobre la calidad del aire e ua zoa. Uo de los idicadores de la calidad del aire es el úmero medio de microgramos de partículas e suspesió por metro cúbico. upogamos que la variable : Número de microgramos de partículas, está ormalmete distribuida. e hace 6 medicioes, e las que se obtiee ua cuasidesviació típica de uidades. Obteer la probabilidad de que la media muestral o difiera de la media poblacioal e más de 8 uidades. T µ µ µ t t 5 ( µ 8) ( 8 µ 8) 8 8 µ (.947 t. 947) (.947) t5 7

28 . e hace 36 medicioes e las que se obtiee ua cuasidesviació típica de uidades. Obteer la probabilidad de que la media muestral o difiera de la media poblacioal e más de 5 uidades. T µ µ µ t 35 N 36 ( 0;) ( µ 5) ( 5 µ 5) Z (.5.5)

29 Ejemplo: Teorema cetral del límite upogamos que el º de barriles de petróleo que produce u pozo al día es ua v.a. co distribució o especificada. i se observa la producció e 64 días y se sabe que la desviació típica del º de barriles por día es 6, obteer la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de 4 barriles del verdadero valor de la producció media diaria :" Nº de barriles el día " :" Nº de barriles el día " M i :" Nº de barriles el día i" M 64 :" Nº de barriles el día 64" i 6 > i N µ ; 6 N µ ; N µ 64 ( ; ) 73

30 6 Nµ ; Nµ ; N µ ; 64 ( ) Z µ µ N(0; ) ( µ 4) ( 4 µ 4) 4 µ 4 ( Z ) ( Z )

31 Distribució de la variaza muestral de ua població Normal ea ua població dode se observa la variable aleatoria. upogamos que N ( µ, ) Cosideramos ua muestra aleatoria simple, m.a.s., de tamaño, formada por las v.a.,,...,,,...,, Idepedietes etre si i N ( µ, ) Distribució de la variaza muestral Caso A. Media poblacioal, µ, coocida (*) Caso B. Variaza poblacioal, µ, descoocida (*) Este caso o se icluye e los coteidos del curso 75

32 Distribució de la variaza muestral Media poblacioal, µ, descoocida El estadístico χ, defiido como: χ ( ) ˆ tiee ua distribució Chi-Cuadrado co grados de libertad χ ˆ ( ) χ 76

33 Ejemplo: Distribució de la variaza muestral e cosidera ua medició física realizada co u istrumeto de precisió, dode el iterés se cetra e la variabilidad de la lectura. e sabe que la medició es ua v.a. co distribució Normal y desviació típica 4 uidades. e toma ua m.a.s. de tamaño 5. Obteer la probabilidad de que el valor de la variaza muestral sea mayor de.6 uidades cuadradas. ( ; 4) i :"Medició" N µ 5 ˆ χ ( ) χ ( ) ˆ.6 ˆ χ 6 ( ) χ

34 Distribució de la diferecia de medias muestrales de dos poblacioes Normales idepedietes ea las variables aleatorias e tales que Cosideramos: N ( µ, ),,..., N ( µ, ) x Idepedietes m.a.s. de tamaño de, m.a.s. de tamaño de,,...,, i i i ( ) i i i i ( ) i 78

35 Distribució de la diferecia de medias Caso A. Variazas poblacioales coocidas Caso B. Variazas poblacioales descoocidas, pero iguales Caso C. Variazas poblacioales descoocidas, distitas o o, co, > 30 79

36 Distribució de la diferecia de medias Caso A. Variazas poblacioales coocidas La variable aleatoria,, tiee distribució Normal N ( ), µ µ + or lo tato Z ( ) ( µ µ ) N (0;) + 80

37 Caso B. Variazas poblacioales descoocidas, pero iguales El estadístico T, defiido como: T ( ) ( µ µ ) p + dode: p ( ) + ( ) + tiee ua distribució t de tudet co grados de libertad + ( ) ( ) µ µ T t + p + 8

38 Caso C. Variazas poblacioales descoocidas distitas o o, co, > 30 El estadístico Z, defiido como: Z ( ) ( µ µ ) + tiee distribució Normal Z ( ) ( µ µ ) + N ( 0;) 8

39 Ejemplo: Distribució de la diferecia de medias Variazas poblacioales coocidas Los iveles de radiació latete e dos regioes A y B sigue distribucioes Normales idepedietes de medias 0.48 y y variazas 0. y 0.0 rem por año, respectivamete. e realiza 5 medicioes e la regió A y 00 e la B. Obteer la probabilidad de que la media de la muestra A sea como máximo 0. rem superior a la media de la muestra B. :"Nivel radiació latete e A" :"Nivel radiació latete e B" N N ( 0.48; 0.) ; 5 ( ; 0.0 ); 00 Z ( µ µ ) + N ( 0;) 83

40 84 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z Z µ µ µ µ ( ) ( ) 0; N Z + µ µ

41 Ejemplo: Distribució de la diferecia de medias. Variazas poblacioales descoocidas, pero iguales e está realizado u estudio sobre la calidad del aire e dos zoas A y B. U idicador de la calidad es el úmero de microgr. de partículas e suspesió por m 3 de aire, que supoemos sigue distribucioes Normales idepedietes de media 6.37 e A, 6.0 e B y variazas iguales. E la zoa A se realiza medicioes, obteiédose ua cuasi-variaza de 8.44 microgr y e la B 5 medicioes, co ua cuasi-variaza de 9.44 microgr. Obteer la probabilidad de que la media muestral de A sea como míimo tres uidades superior a la media muestral de B. :"Calidad del aire e A"; :"Calidad del aire e B"; N N ( 6.37; ) ( 6.0; ) ; 5; s s

42 86 ( ) ( ) 6.0; aire e B"; :"Calidad del 6.37; aire e A"; :"Calidad del N N ; 8.44 ; s s ( ) ( ) ( ) ( ) t t p p µ µ µ µ ( ) ( ) ( ) p

43 Ejemplo: Distribució de la diferecia de medias Variazas poblacioales descoocidas. Muestras grades e estudia el efecto de u vertido tóxico e u río, comparado el ídice de biodiversidad I.B-D. ates y después del vertido. upogamos que los I.B-D. sigue distribucioes Normales. Ates del vertido se había realizado 35 pruebas y se obtuvo ua media de.9 y ua cuasidesviació típica de 0.4. Después del vertido se realiza 40 pruebas y se obtiee ua media de.7 y ua cuasidesviació típica de 0.7. Obteer la probabilidad de que la media poblacioal ates del vertido sea como máximo 0.5 uidades iferior a la media poblacioal después del vertido. :"I.B- D ates del vertido" N :"I.B- D después del vertido" Z 35; 40 ( ) ( µ ) µ +. 9;. 7; ( µ ; ) N( µ ; ) N ( 0;) 87

44 88 ( ) ( ) N N µ µ ; ; vertido" :"I.B- D después del vertido" :"I.B- D ates del ;.. ;. ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z Z µ µ µ µ

45 Distribució del cociete de variazas muestrales de dos poblacioes Normales idepedietes ea las variables aleatorias e tales que Cosideramos: N ( µ, ),,..., N ( µ, ) x Idepedietes m.a.s. de tamaño de, m.a.s. de tamaño de,,...,, i i i i ( ) j j j j ( ) 89

46 Distribució del cociete de variazas muestrales El estadístico F, defiido como: F tiee ua distribució F de edecor co,, grados de libertad F F, 90

47 9 e está comparado la variabilidad de los I.B-D de dos ríos A y B, que supoemos sigue distribucioes Normales. e realiza 6 medicioes e el río A y se obtiee ua cuasi-variaza de 9.5, y 8 medicioes e el río B y se obtiee ua cuasivariaza de 7. Obteer la probabilidad de que la variaza e el río B sea como míimo el doble de la variaza e el río A. Ejemplo: Distribució del cociete de variazas muestrales, F F ( ) ( ) N N µ µ ; ; río B" :"I.B- D e el río A" :"I.B- D e el ( ) ( ) ,, F F

48 Distribució de la proporció muestral Cosideramos ua variable aleatoria B(; p), dode p es la proporció de éxitos e la població ara tamaños grades de, > 30, la distribució Biomial se aproxima a ua distribució Normal : N ( p; pq) Defiimos el estadístico proporció muestral como: p ˆ 9

49 Distribució de la proporció muestral El estadístico proporció muestral : p ˆ Verifica que: p ˆ N p; pq or lo tato: Z pˆ p pq N ( 0;) 93

50 Ejemplo: Distribució de la proporció muestral e quiere probar ua terapia de grupo para dejar de fumar. ara ello se toma ua m.a.s. de 50 fumadores. e sabe que las persoas que lleva al meos 0 años fumado tiee más dificultades para dejar de fumar, y que el 38% de los fumadores lleva al meos 0 años fumado. or ello, se decide separar uos de otros si etre los fumadores elegidos más de u 9% lleva más de 0 años fumado. Obteer la probabilidad de que se decida separarlos. p :"roporció de fumadores co pˆ :"roporció de fumadores co 0 años, e la 0 años, e la població muestra pq p ˆ N p; N0. 38; N. 50 pˆ p Z pq pˆ pˆ N ( ) ( Z ) ( 0; ) ( 0. 38; 0 068) ( p 0. 9) ( Z. 769) ˆ Z

51 Distribució de la diferecia de proporcioes muestrales ea las variables aleatorias e tales que B B ( ; p ) ( ; p ) Idepedietes ara y grades, se verifica: ( ; ) N p p q ( ) N p ; pq Defiimos las proporcioes muestrales como: pˆ pˆ 95

52 96 Defiimos el estadístico diferecia de proporcioes muestrales: e verifica que: Distribució de la diferecia de proporcioes muestrales ; ˆ ˆ p p p p p p ˆ ˆ ˆ ˆ : dode ; - ( ) ( ) ( ) 0; ˆ ˆ N q p q p p p p p Z +

53 Ejemplo: Distribució de la diferecia de proporcioes muestrales e sabe que e ua població el 8% de las mujeres y el 5% de los hombres so fumadores. e extrae muestras de 4 mujeres y 40 hombres. Determiar la probabilidad de que las mujeres fumadoras supere a los hombres fumadores e al meos el 4%. p : roporció de mujeres fumadoras e la població p : roporció de mujeres fumadoras e la població pˆ : roporció de mujeres fumadoras e la muestra pˆ : roporció de mujeres fumadoras e la muestra ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ Z pq p q ( p p ) ˆ ˆ N ( 0; ) ( p p ) ( p p 0. 04) ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p ) ˆ ˆ Z ( Z )