PROCESO DE POISSON Rosario Romera Febrero 2009

Transcripción

1 1 PROCESO DE POISSON Rosario Romera Febrero Proceso de Coteo U proceso estocástico fn t g t0 es u proceso de coteo si N t represeta el total de sucesos ocurridos asta el tiempo t. Sea u espacio muestral, P ua probabilidad,! 2 y t 0! N t (!) es el úmero de llegadas e el itervalo [0; t] para la realizació!; t! N t (!) es ua fució escaló. De ició: El Proceso fn t g t0 es Proceso de Coteo 1. N N t 2 N, N t 0 3. s < t! N s N t 4. N t N s es el úmero de llegadas e el itervalo [s; t]. De todos los procesos de este tipo, el más importate es el Proceso de Poisso, que limita los saltos de la fució a saltos iguales. f() De ició: Sea o() el i itésimo de orde, f es o() si!0 0, esto es: 8" > 0 9 > 0 tal que si jj <! f() < " Ejemplos: 1. La fució f(x) x o() 2. La fució cuadrática f(x) x 2 o() 3. La fució f(x) x r co r > 1 es o() 2!0 0!0 r!0!0 r 1 0

2 2 4. Las fucioes f, g so o(), co c, d costates, etoces la fució: cf + dg es o() cf() + dg() 0!0 5. Sea c 1 ; : : : ; c costates, las fucioes f 1 ; : : : ; f so o(), etoces la fució: X c i f i () es o() i1 6. Si X es variable aleatoria co distribució exp() y > 0 etoces X tiee la Propiedad de Markov: como: etoces P [X t + X > t] P [X ] P [X ] 1 e 1 [1 + ()2 + :::] 2! X 1 () 2 ( ) 2 + o()! P [X t + X > t] + o() 2. Proceso de Poisso (de tasa o itesidad > 0) Es u proceso de coteo fn t g t0 que veri ca: 1. Es de icremetos idepedietes y estacioarios 2 2. P [N 1] + o() P [N 2] o() por tato P [N 0] 1 + o() Proposició: Sea Y la variable aleatoria que describe el úmero de llegadas (sucesos) e cualquier itervalo de logitud t e u proceso de Poisso fn t g t0 de tasa, etoces Y es variable aleatoria Poisso de parámetro t. Demostració Sea P (t) P fn t g 8 2 N

3 3 Sea 0!0 P 0 (t + ) P 0 (t + ) (Icremetos Idepedietes) P 0 (t) luego co P f0 llegadas e [0; t] \ 0 llegadas e [t; t + ]g P 0 (t):p (N t+ N t 0) (Icremetos Estacioarios) P 0 (t):p (N 0) P 0 (t):[1 + o()] o() P 0 (t) + P 0 (t):!0 8 < : d P dt 0(t) P 0 (0) P 0 (t) 1 (codicioes iiciales) Solució de la ecuació diferecial de variables separables P 0 0 (t) :P 0 (t) de dode P P 0 (0) 1 0 (t) e t Sea aora > 0, etoces e el itervalo t + ocurre llegadas (sucesos), esto es fn t+ g si: 1. sucede e [0; t] y 0 e [t; t + ], 2. sucede 1 e [0; t] y 1 e [t; t + ], 3. sucede ( k) e [0; t] y k e [t; t + ] co k 2; : : : ;. Acumulado las probabilidades asociadas P (t + ) P (t)[1 + o()] + P 1 (t) + o() etoces P (t + ) P (t) P (t) + P 1 (t) + o() tomado límites! 1 dp (t) P (t) + P 1 (t) dt esto es la ecuació diferecial P 0 (t) P (t) + P 1 (t) P (0) 0 cuya solució es P (t) e t :(t)! Corolario 1: El úmero medio de llegadas e el itervalo [0; t] es t, y el úmero medio de llegadas e el itervalo [0; 1] es. Corolario 2: Estimació de. 2

4 4 Por la Ley de los Grades Números N N 1 + N 2 N 1 + :::N N 1 si! 1 etoces E[N i ] luego N t t!1 t Además por el Teorema Cetral del Límite si t! 1 etoces: N t! N(t; t) Válido para t > 10. Corolario 3: P fn t+s N t kn l ; l tg P fn t+s N t kg Ejemplo P fn 2;5 17; N 3;7 22; N 4;3 36g e u Proceso Poisso de tasa 8: P fn 2;5 17; N 3;7 22; N 4;3 36g P (N 2;5 17):P (N 3;7 N 2;5 5):P (N 4;3 N 3;7 14) P (P oisso(8 2; 5) 17):P [P oisso(8 1; 5) 5]:P (P oisso(8 0; 6) 14) e 20 ;20 17 : e 9;6 ;9; 6 5 : e 4;8 ;4; ! 5! 14! aproximació Poisso (t) N(t; t) Proposició: fn t g t0 Proceso de Poisso de tasa. Sea variable aleatoria tiempo etre llegadas cosecutivas, etoces es ua variable aleatoria co distribució exp() Demostració P ( t) 1 P ( > t) 1 P fn t 0g e t :(t) e t ) exp() 2 0! Observació: E[ tiempo etre llegadas ] 1 Proposició: Sea fn t g t0 Proceso de Poisso de tasa y e [0; t] se a producido ua llegada, sea Y variable aleatoria que describe la ocurrecia de esta llegada de Poisso etoces Y es uiforme [0; t]. Demostració.

5 5 Sea 0 < x < t, por de ició de Y : P [Y x] P [ 1 xn t 1] P [N x 1; N t 1] P [N x 1; N t N x 0] P [N t 1] etoces Y u(0; t): 2 xe x :e te t (t x) Proposició: Superposició de procesos de Poisso Sea fl t g t0 y fm t g t0 Procesos de Poisso idepedietes, de tasas y respectivamete, etoces: N t (!) L t (!) + M t (!) es proceso de Poisso de tasa ( + ). Demostració Sea N B úmero de llegadas e el itervalo [0; B], veamos qué es ua variable aleatoria de Poisso de parámetro ( + ):B. x t P [N B ] X P [L B k; M B k] k0 X e B (B) k : e B :(B) k k! ( k)! k0 e B :e B B k B k X ( + )! k0 e B(+) B :( + ) X :! k ya que + + k0 + e (+)B :(( + ):B)! Poisso ( + ):B 2 1 k k! : + + k!( k k + + k)! Proposició: Descomposició del Proceso de Poisso Sea fn t g t0 Poisso de tasa, se cosidera: fx g 1 Proceso Beroulli (p) idepediete de N t fs g 1 Proceso Sumas de Beroulli (p) tal que: S Nt úmero de éxitos e [0; t] y L t N t S Nt Número de fracasos e [0; t] Etoces los procesos fs Nt g t0 y fl t g t0 so Procesos de Poisso idepedietes de tasas p y (1 p) respectivamete.

6 6 Idea de la prueba. Se demuestra que: P fs Nt+s S Nt m; L t+s L t ks Nu ; L u ; u tg eps (ps) m : eqs (qs) k m! k! 8k; m 0; 1 : : : s; t 0 Ejemplo Los veículos llega a u aparcamieto segú u Proceso de Poisso de tasa 20 por ora. Las probabilidades de que u veículo lleve 1, 2, 3, 4, 5 persoas so 0,3 0,3 0,2 0,1 y 0,1 respectivamete. Calcular el úmero esperado de persoas que llega al aparcamieto e ua ora. Solució. N 1, N 2 ; : : : ; N 5 so el úmero de veículos que llega co 1, 2,... 5 persoas e ua ora sus distribucioes so: N 1 Poisso (20 x 0,3) E[N 1 ] 6 N 2 Poisso (20 x 0,3) E[N 2 ] 6 N 3 Poisso (20 x 0,2) E[N 3 ] 4 N 4 Poisso (20 x 0,1) E[N 4 ] 2 N 5 Poisso (20 x 0,1) E[N 5 ] 2 E[Y : úmero de persoas que llega e 1 ora] E[N 1 + 2N 2 + 3N 3 + 4N 4 + 5N 5 ] 1 E[N 1 ] + 2 E[N 2 ] + 3 E[N 3 ] + 4 E[N 4 ] + 5 E[N 5 ] Probabilidad de que e 3 oras llegue 6 veículos co 5 persoas: P [P 0 (3 20 0;1) 6] P [P 0 (6) 6] 3. Geeralizació del Proceso de Poisso: Proceso de Nacimieto y Muerte Relajado la ipótesis sobre la tasa (itesidad) costate, a ua situació más realista, e la que la tasa de llegadas depede del estado e que se ecuetra el proceso ( ) se tiee el Proceso de Nacimieto Puro que se caracteriza como - Proceso de Coteo. - Proceso de icremetos idepedietes y estacioarios - Veri cado P (X t+ + 1X t ) + o() P (X t+ + 2X t ) o()

7 7 de dode P (X t+ X t ) 1 + o() Admitiedo además la existecia de posibles trasicioes a estados ateriores segú tasa depediete del estado del proceso ( ), se obtiee el Proceso de Nacimieto y Muerte: - Proceso de icremetos idepedietes y estacioarios - Veri cado P (X t+ + 1X t ) + o() de dode P (X t+ 1X t ) + o() P (X t+ mx t ) o() si jm j > 1 P (X t+ X t ) 1 ( + )0() + 0() E forma matricial, e térmios de la matriz Q (geerador i itesimal del proceso) o matriz de tasas : : : Q B : : : : : : A : : : : : : : : : : : : : : : Ecuacioes difereciales del Proceso Nacimieto y Muerte deotado P (t) P (X t ) P (t + ) P (X t ):P (0 llegadas e (t; t + ]X t ) el cociete icremetal p (t + ) +P (X t 1):P (1 llegada e (t; t + ]X t 1) + +P (X t + 1):P (1 abadoo e (t; t + ]X t + 1) + +P ( resto de los casos ) P (t):(1 ( + ) + o() + P 1 (t):( 1 + o()) + + P +1 (t)( + o()) + o() p (t) tomado límites, co! 0 ( + )p (t) + p o() + p 1(t): 1 + p 1 (t) o() + +p +1 (t) +1 + p +1 (t) + p +1 (t) o() + o() p (t + ) p (t) ( +!0 )p (t) + 1 p 1 (t) + p +1 (t) p 0 (t) ( + )p (t) + 1 p +1 (t) + p +1 (t) 1 p 0 0(t) 0 p 0 (t) + 1 p 1 (t)

8 8 La solució de esta ecuació diferecial se establece para las codicioes e las que el sistema está e equilibrio: p (t) p dp (t) 0 dt que proporcioa la solució siguiete sujeta a la codició de ormalizació X p 1 +1 p +1 p p 1 p 1 1 equivalete a 1 p 1 0 p 0 0 p 1 p 1 0 iterado " Q p p 0 j1 ( # j 1 j ) 1 co p P 1 Q i 1 j 1 1 j1 j 3.1. Ejemplos de Procesos de Nacimieto y Muerte Cola tipo M/M/1 Sea X úmero de usuarios e el sistema co, 8 0. La distribució estacioaria se obtiee como 8 >< >: p p 0 : p P 1 Q 1 j1 (1 ) si < 1 p (1 ) i P 1 1 Geométrica i si < 1 Cola tipo M/M/s Sea X úmero de usuarios e el sistema, siedo y si 1 s s si > s Modelo de crecimieto lieal co imigració (reproducció biológica) co 1 + co 0 : tasa de imigració : tasa exp. de reproducció por idividuo. : tasa muerte por idividuo.

9 9 4. Proceso de Poisso Compuesto U proceso de Poisso compuesto (X t ) t0 es u proceso estocástico que puede ser represetado e la siguiete forma: XN t X t Y i ; t 0 i1 dode (N t ) t0 es u proceso de Poisso y fy : 0g es ua familia de variables aleatorias idepedietes e iguaete distribuidas las cuales además so idepedietes de (N t ) t0. Observació 1: Si Y i 1 para todo i etoces X t N t es decir, obteemos el proceso ordiario de Poisso. Observació 2: E la teoría del riesgo el proceso de Poisso compuesto tiee la siguiete iterpretació: La v.a N t represeta el úmero de reclamacioes que se ace a ua compañía e el itervalo de tiempo (0; t], Y i represeta la catidad del i-ésimo reclamo y X t represeta la catidad total reclamada e el itervalo de tiempo (0; t]. Observació 3: E efecto: EX t tey 1 y V arx t (t)ey 2 1 EX t E(E(X t j N t )) como E(X t j N t ) E( X Y i ) EY 1 i1 Etoces E(X t j N t ) N t EY 1 Por otra parte V arx t E(V ar(x t j N t )) + V ar(e(x t j N t )) (recuerde: V ar(x j Y ) : E((X E(X j Y )) 2 j Y ). De aí V arx E(V ar(x j Y )) + V ar(e(x j Y ))) Por cosiguiete: V arx t E(N t V ary 1 ) + V ar(n t EY 1 ) tv ary 1 + (E(Y 1 )) 2 :V arn t tv ary 1 + (E(Y 1 )) 2 :t te(y 2 1 ):