Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices.

Transcripción

1 Capítulo 8 Cojuto de ídices Defiició 8.1 (Cojuto de ídices) Sea I u cojuto, tal que para cada i I se tiee u cojuto A i U. El cojuto I se deomia cojuto de ídices y cada i I es u ídice. (a) Los ídices so úmeros (b) Los ídices so letras Figura 8.1: Ejemplos de cojutos de ídices. Ejemplo 8.1 E la Figura 8.1a se tiee que los elemetos del cojutos de ídices so eteros, mietras que para la Figura 8.1b el cojuto de ídices está formado por letras. Cuado I = {2, 3, 4} se tiee que: Para i = 2, A 2 = A. Para i = 3, A 3 = C. Para i = 4, A 4 = B. Cuado I = {a, b, c} se tiee que : Para i = a, A a = W. Para i = b, A b = X. Para i = c, A c = Z. A pesar que o existe igua restricció para que los elemetos de I sea úmeros eteros, para facilitar la discusió acerca de los cojutos de ídices asumiremos que I Z. Ahora estamos e capacidad de exteder los coceptos de uió e itersecció para más de dos cojutos. 163

2 164 CAPÍTULO 8. CONJUNTO DE ÍNDICES Defiició 8.2 (Uió de cojutos mediate ídices) Sea I = {i Z : 1 i } = {1, 2, } u cojuto de ídices y sea los cojutos A i U defiidos por I. El cojuto A 1 A 2 A, deotado por A i, se defie como: de dode se desprede que A i = {x : x A i para algú i I}, (8.1) x A i i I : x A i. Note que x A i es ua proposició. La egació de esta proposició, (x A i), se deota por x / A i. Además, (8.2) x A i [ i I : x A i i I : x A i i I : x A i. Ejemplo 8.2 Sea I = {3, 4, 5, 6, 7} y para cada i I se defie los siguietes cojutos A i = {x Z : 1 x i} = {1, 2,, i}. Determie 7 i=3 A i. A i = A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 i=3 Note que: = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = A i=3 A i, pues existe al meos u i I, tal que 5 A i. Específicamete para i = 5, 6, 7, se tiee que 5 A 5, 5 A 6 y 5 A 7. 8 / 7 i=3 A i, pues NO existe u i I tal que 8 A i. Defiició 8.3 (Itersecció de cojutos mediate ídices) Sea I = {i Z : 1 i } = {1, 2, } u cojuto de ídices y sea los cojutos A i U defiidos por I. El cojuto A 1 A 2 A, deotado por A i se defie como: A i = {x : x A i para todo i I},

3 165 de dode se desprede que (8.3) x A i i I : x A i. Note que x A i es ua proposició. La egació de esta proposició, (x A i), se deota por x / A i. Además, (8.4) x A i [ i I : x A i i I : x A i i I : x A i. Ejemplo 8.3 Sea I = {3, 4, 5, 6, 7} y para cada i I se defie los siguietes cojutos A i = {x Z : 1 x i} = {1, 2,, i}. Determie 7 i=3 A i. A i = A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 i=3 Note que: = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3} = A i=3 A i, pues para todo i I, se tiee que 2 A i. 5 / 7 i=3 A i, pues existe al meos u i I tal que 5 / A i. Específicamete para i = 3, 4, se tiee que 5 / A 3 y 5 / A 4. Tato i=i A i como i=i A i SON CONJUNTOS, por lo tato todas las leyes de la Teoría de cojuto (Tabla 7.1) puede ser usadas co estos uevos cojutos. Por ejemplo, cosidere A = i=i A i y B = i=i A i. Por la Ley comutativa de la se tiee que [ [ [ [ A i A i = A B = B A = A i A i. i=i i=i i=i i=i Ejemplo 8.4 Demuestre las leyes de De Morga geeralizadas: Ley de De Morga geeralizada de la uió: A i = A i.

4 166 CAPÍTULO 8. CONJUNTO DE ÍNDICES Ley de De Morga geeralizada de la itersecció: A i = A i. Ley de De Morga geeralizada de la uió Usado (7.4) se tiee que A i = [ A i x U : x A i x A i, Por lo tato, debe demostrarse la veracidad de x U : [x A i x A i. Para ello, cosidere u x cualquiera de U tal que Paso Justificació 1) x A i Premisa Codicioal 2) x A i Def. de complemeto 3) i I : x A i Def. de x A i (Ver 8.2) 4) x A i Def. de x A i (Ver 8.3) 5) x A i x A i Prueba codicioal [ 6) x U : x A i x A i Regla de GU De forma aáloga se demuestra la Ley de De Morga geeralizada de la itersecció. Ejemplo 8.5 Demuestre las leyes distributivas geeralizadas: Ley distributiva geeralizada de la uió: [ A B i = (A B i ). Ley distributiva geeralizada de la itersecció: [ A B i = (A B i ). Ley distributiva geeralizada de la itersecció

5 167 Para esta demostració se requiere la siguiete equivalecia lógica: dode U = {y 1, y 2,, y }. Desmostració P (x) y U : Q(y) P (x) y U : Q(y) y U : [P (x) Q(y), Justificació P (x) [Q(y 1 ) Q(y 2 )... Q(y ) Def. de [P (x) Q(y 1 ) [P (x) Q(y 2 )... [P (x) Q(y ) Ley distributiva para y : [P (x) Q(y) Def. de Usado (7.4) se tiee que [ [ [ A B i = (A B i ) x U : x A B i x (A B i ), Por lo tato, debe demostrarse la veracidad de x U : [x A [ B i x (A B i). Para ello, cosidere u x cualquiera de U tal que Paso Justificació 1) x A [ B i Premisa Codicioal 2) x A x B i Def. de itersecció 3) x A i I : x B i Def. de x A i (Ver 8.1) 4) i I : [x A x B i P (x) y : Q(y) y : [P (x) Q(y) 5) i I : [x A B i Def. de itersecció 6) x (A B i) Def. de x A i (Ver 8.1) 5) x [A [ B i x (A B i) Prueba codicioal 6) x U : [x [A [ B i x (A B i) Regla de GU De forma aáloga se demuestra la ley distributiva geeralizada de la uió. Defiició 8.4 (Familia de cojutos) U cojuto cuyos elemetos so a su vez cojutos se deomia Familia de cojutos. Ejemplo 8.6 Determie cuáles de los siguietes cojutos so familias de cojutos C = {{a, b}, {b, c}, {a, b, c}} es ua familia de cojutos. D = {{1}, 2, {1, 2}} o es ua familia de cojutos, pues D posee u elemeto que o es u cojuto: el úmero 2 Dado A U. cojutos. El cojuto de las partes de A, es decir, P(A) es ua familia de

6 168 CAPÍTULO 8. CONJUNTO DE ÍNDICES Sea A U u cojuto o vacío. Sea I = {i Z : 1 i } = {1, 2, } u cojuto de ídices y sea los cojutos A i U defiidos por I. El cojuto F = {A i } i I es ua familia de cojutos. Defiició 8.5 (Partició) Sea A u cojuto o vacío. Sea I u cojuto de ídices I y sea A i A y A i. La familia de cojutos {A i } i I es ua partició de A si satisface A = i I A i. A i A j =, i, j co i j. Ejemplo 8.7 Supoga S = {1, 2, 3, 4}. Determie cuáles de los siguietes cojutos so particioes de S. A = {{1, 2}, {3}}. Este cojuto o es partició de S pues {1, 2} {3} S. B = {{1, 2}, {3, 4, 1}}. Este cojuto o es partició de S pues si bie es cierto que {1, 2} {3, 4, 1} = S, tambié es cierto que la itersecció de dos elemetos distitos de B o es vacía: {1, 2} {3, 4, 1} = {1}. C = {{1, 2}, {3, 4}}. Este cojuto se puede reescribir como C = {A 1, A 2 } dode A 1 = {1, 2}, A 2 = {3, 4}. Observe que A 1 A 2 = S y además A 1 A 2 =, por lo tato C es ua partició de S. 8.1 Ejercicios 1. Sea A = {x Z : x [, } y B = {x Z : x [, 2} los cojutos que se obtiee co N, ecuetre y exprese los siguietes cojutos: (a) 5 A i 50 A i (c) 7 B i i=3 15 B i (b) (d) 2. Sea S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y sea A 1 = {1, 2, 3, 4}, A 2 = {5, 6, 7}, A 3 = {4, 5, 7, 9}, A 4 = {4, 8, 10}, A 5 = {8, 9, 10} y A 6 = {1, 2, 3, 6, 8, 10}. Diga cuáles de los siguietes cojutos so ua partició de S. (a) {A 1, A 2, A 5 } (b) {A 1, A 3, A 5 } (c) {A 3, A 6 } (d) {A 4, A 2, A 3 } 3. Si A 1 es el cojuto de todos los eteros positivos y A 2 es el cojuto de todos los eteros egativos, es {A 1, A 2 } ua partició del cojuto de los eteros.? 4. Liste todas las particioes de los cojutos S = {1, 2, 3} y T = {a, b, c, d}.