Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 1. Funciones de R en R n (Funciones Vectoriales)
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- Tomás Cabrera Henríquez
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1 Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 1 Fucioes de R e R (Fucioes Vectoriales Llamaremos fució vectorial de variable real o simplemete fució vectorial, a aquellas co domiio e u subcojuto de R y cotradomiio e u espacio vectorial R. De esta maera ua fució vectorial f asocia a cada elemeto t de u cojuto A de úmeros reales, u úico vector f(t. Puesto que f(t es u puto e el espacio R, éste tiee coordeadas, las cuales so e geeral, fucioes de la variable t. Así podemos escribir f(t = (x 1 (t, x (t,..., x (t R Nota:Observemos que cada ua de las compoetes x i (t de ua fució vectorial es ua fució real (de variable real y que las llamadas ecuacioes paremétricas se obtiee precisamete al expresar cada ua de las compoetes e fució del parámetro. Así pues, las ecuacioes paramétricas defie ua fució vectorial y viceversa. Ua ecuació e dos varaibles defie u lugar geométrico que por lo geeral, y para uestros propósitos, será ua curva plaa. Cuado este lugar geométrico se defie mediate ecuacioes paramétricas y pesado que u puto se mueve sobre la curva coforme el parámetro recorre el domiio, tedremos que las ecuacioes paramétricas defiira, ademas el lugar geométrico, el setido e que la curva es recorrida, el puto de partida, la rapidez co la que se hace el recorrido, qué porció de la curva se cosidera (variado el domiio y si la curva es cerrada, cuatas veces se recorre E los cursos de Geometría Aalítica, ya ha sido cosideradas fucioes de este tipo, por ejemplo, la ecuació vectorial de ua recta L, e el espacio, que pasa por u puto P 0 y que es paralela a u vector a, que puede darse e la fució L = {P ɛ R 3 P = P 0 + t a, t ɛ R} e dode, si cosideramos que P 0 es u puto fijo y a es u vector tambie costate, etoces teemos que P es ua fució vectorial del parametro real t, es decir, cada valor de t esta asociado co u puto P de la recta. Ejemplo.- Si f es la fució vectorial por f(t = ( cos(t, si(t co t ɛ [0, π], teemos etoces que f asocia a cada úmero real t e el itervalo t ɛ [0, π], u par ordeado (x, y co x = cos t y y = si t, que so las ecuacioes paramétricas de ua circuferecia de radio y cetro e el orige. Asi pues la gráfica de f es ua circuferecia.
2 Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R Cada ua de las fucioes vectoriales que se da a cotiuació, defie el mismo lugar geométrico o ua parte de éste; si embargo, el setido, el puto de partida y la rapidez de recorrido así como la porció de la curva que se cosidera e cada caso varia. f 1 (t = ( cos t, si t t ɛ [0, π] f (t = ( cos t, si t t ɛ [0, π] f 3 (t = ( cos 3t, si 3t t ɛ [0, π] f 4 (t = ( cos t, si t t ɛ [0, π] f 5 (t = ( cos t, si t t ɛ [0, 6π] f 6 (t = ( cos t, si t t ɛ [ π, π] Para ua fució vectorial e R 3 decimos que: Si D es u cojuto de R, etoces f(t es ua fució vectorial co domiio D si y sólo si, para todo t ɛ D f(t = x 1 (ti + x (tj + x 3 (tk dode x 1 (t, x (t y x 3 (t so fucioes escalares co domiio D. Gráficas de Fucioes Vectoriales Si f(t es ua fució vectorial e el espacio o e el espacio 3, etoces la gráfica de f(t se defie como la curva paramétrica descrita por las fucioes de las compoetes de f(t. Ejemplo.-Gráficar la fució vectorial cuyas ecuacioes parametricas so: ( 1 t f(t = 1 + t, t 1 + t E este caso haciedo la sustitució t = ta se tiee que 1 t 1 + t = 1 1 se ta 1 + ta ( cos u = 1 + se cos t 1 + t = ta 1 + ta ( u = se cos = 1 + se cos cos se cos cos +se cos ( u = cos = ( ( = cos u se u cos ( ( u + se u = cos(u se cos cos +se cos dode u [0, π]. al ser ( 1 t ( + t = cos (u + se (u = t 1 + t se trata de ua circuferecia co cetro e el orige = cos ( se u ( u = se cos = se = se(u
3 Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 3 Domiio de ua fució Vectorial El domiio de ua fució vectorial r(t es el cojuto de valores permitidos de t. Si r(t se defie e térmios de las fucioes de las compoetes y o se especifica explícitamete el domiio, etoces se sobreetiede que el domiio es la itersecció de los domiios aturales de las fucioes de las compoetes, por lo que éste recibe el ombre de domiio atural de r(t. Sea f(t = (x 1 (t, x (t,..., x (t R etoces el Dom(f = x i(t Ejemplo.-Halle el domiio de la fució vectorial f(t = (t, t 1, 5 t Sol. teemos que Si x 1 (t = t etoces Dom(x 1 (t = R Si x (t = t 1 etoces Dom(x (t = {t R t 1} Si x 3 (t = 5 t etoces Dom(x 3 (t = {t R 5 t} Dom(f(t = {Dom(x 1 (t, Dom(x (t, Dom(x 3 (t} = {t R 1 t 5} t Ejemplo.-Halle el domiio de la fució vectorial f(t = (L(t, t 1, e t Sol. teemos que Si x 1 (t = L(t etoces Dom(x 1 (t = {t R 0 < t} Si x (t = t t 1 etoces Dom(x (t = {t R 1 t} Si x 3 (t = e t etoces Dom(x 3 (t = R Dom(f(t = {Dom(x 1 (t, Dom(x (t, Dom(x 3 (t} = {t R 0 < t, t 1} Limites de Fucioes Vectoriales Defiició 1. Sea f : R R ua fució vectorial defiida para todos los valores de t e algua vecidad de u puto t 0, excepto quiza e t 0. Etoces se dice que el ite de la fució f cuado t se acerca a t 0 es L R y se expresa como f(t = L si y solo si ɛ > 0 δ > 0 tal que f(t L < ɛ siempre que t t 0 < δ Teorema 1. Si f : I R R es ua fució vectorial, etoces Dode f(t = (x 1 (t,, x (t f(t = L = (l 1,, l R t t0 x i (t = l i
4 Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 4 Demostració. Si f(t = L etoces ɛ > 0 δ > 0 tal que si 0 < t t 0 < δ, etoces f(t L < ɛ. Pero como se tiee que 1 f(t L = x 1 (t l 1,, x (t l = (x i (t l i < ɛ 1 x i (t l i (x i (t l i < ɛ dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que 0 < t t 0 < δ x i (t l i < ɛ por lo tato Reciprocamete Supogamos ahora que x i (t = l i x i (t = l i i = 1,,. Esto quiere decir que ɛ i > 0 δ i > 0 tal que 0 < t t 0 < δ i x i (t l i < ɛ i. Sea ɛ > 0 y sea ɛ i = ɛ tomamos δ = mi(δ 1,, δ. Para esta δ se tiee 0 < t t 0 < δ x i (t l i < ɛ i = 1,,, etoces 1 ( ( 1 ɛ f(t L = (x i (t l i < = ɛ f(t = L Ejemplo: Se sabe que (t, t = (, t Puesto que ɛ > 0, determie δ > 0 que verifique la validez del ite. Teemos que ( (t, t = t, t = (, t t t Segú la defiició (t, t (, = (t + (t = (t = t podemos defiir a δ = ɛ si t < ɛ
5 Itroducció a las Fucioes Vectoriales (Fucioes de R R 5 Ejemplo: Se sabe que (t, t t3 = (, 8 Puesto que ɛ > 0, determie δ > 0 que verifique la validez del ite. Teemos que ( (t, t t3 = t, t3 = (, 8 t t Ahora bie t = P ara t ɛ δ 1 > 0 tal que 0 < t < δ 1 t < ɛ t t3 = 8 P ara ɛ δ > 0 tal que 0 < t < δ 1 t 3 8 < ɛ si cosideramos δ = mi{δ 1, δ } se tiee (t, t 3 (, 8 = (t + (t 3 8 < ( ( ɛ ɛ + = ɛ = ɛ t (t, t 3 = (, 8 Cotiuidad de Fucioes Vectoriales Defiició. Sea f : R R ua fució vectorial. Se dice que f es cotiua e t 0 si y solo si se cumple que f(t = f(t 0
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