Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros

Transcripción

1 Idice: Señales periódicas. Aálisis de Simetría Simetría Par Simetría Impar Simetría de Media Oda Simetría de Cuarto de Oda Señales Ortogoales Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 1

2 1. Señales Periódicas So aquellas señales que muestra periodicidad respecto del tiempo, es decir, describe ciclos repetitivos. E ua señal periódica se cumple que: x(t)= x (t + T) Dode T es ua costate coocida como período fudametal. E forma geeral podemos escribir x(t)= x ( t + T ) dode = 0, 1, 2, 3,. La forma más simple de señal periódica es la siusoide, que se describe matemáticamete: X(t)= A. Se( wt + θ) A = Amplitud w = Frecuecia e rad/seg. θ = Agulo de Fase iicial co respecto al orige temporal e rad. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 2

3 1. Señales Periódicas La frecuecia w (rad/seg.) y f que es la frecuecia de la compoete fudametal de la señal periódica, está relacioadas co el período fudametal por: w = 2π T 1 f = T w = 2πf Si x(t) y g(t) tiee el mismo período T, si a y b so costates reales: y = a x(t) + b g(t) será tambié periódica de período T. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 3

4 1. Señales Periódicas Si la señal x(t) = cos (w 1 t) + cos (w 2 t) es periódica de período T, etoces debe ser posible ecotrar dos úmeros eteros m y tales que: w 1 T = 2 π f 1 T = 2 π m w 2 T = 2 π f 2 T = 2 π w 1 w 2 f = 1 f = 2 m x (t) será periódica si la fracció m/ o w 1 /w 2 es racioal e irreducible. El valor más pequeño de m o determia el período T. Por ejemplo si m >, etoces T = /f 2 Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 4

5 1. Señales Periódicas Ejemplo: Verificar si las señales siguietes so periódicas, e cuyo caso determiar el período. a) w 1 4 = m = 4 ; = 3 w 2 3 f 1 = 1/6π f 2 = 1/8π La fracció es racioal, la señal y(t) es periódica de período: T 3 = = 24π f 2 b) w 1 1 = m = 1 ; = 3 w 2 3 f 1 = 1/2 f 2 = 3/2 La fracció es racioal, la señal y(t) es periódica de período: T = 1 = 2 f 1 Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 5

6 2. Aálisis de Simetría 2.1 Simetría Par e Impar. Simetría Par La simetría par de ua señal se verifica mediate la existecia de ua simetría co respecto al eje vertical "t = 0", esto equivale a reflejar la señal y obteer como resultado ua señal idética a la origial. Matemáticamete se dice que ua fució es par si satisface la codició: f ( t) f ( t) Ua fució par es simétrica respecto al eje vertical e el orige. f(t) t Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 6

7 2. Aálisis de Simetría Simetría Impar La simetría impar de ua señal se verifica mediate la existecia de ua simetría co respecto al orige "t = 0, x(t)=0, esto equivale a reflejar e ivertir la señal y obteer como resultado ua señal idética a la origial. Matemáticamete se dice que ua fució es impar si satisface la codició: f(t) t Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 7

8 2. Aálisis de Simetría Propiedades de las Fucioes Pares e Impares a) El producto de ua fució par por otra fució par, da como resultado ua fució par. b) El producto de ua fució impar por otra fució impar, da como resultado ua fució par. c) El producto de ua fució par por otra fució impar, da como resultado ua fució impar. 2.2 Simetría de Media Oda Simetría que se verifica al ivertir y desplazar medio período (adelate o atrás) la señal y obteer como resultado ua señal idética a la origial. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 8

9 2. Aálisis de Simetría 2.2 Simetría de Media Oda Matemáticamete se dice que ua fució tiee simetría de media oda si satisface la codició: f ( t) f ( t ) T 2 f(t) t La fució se desplaza medio período hacia la izquierda o hacia la derecha la fució tedrá el mismo valor, pero de sigo egativo. Esto es, la porció egativa de la oda, es el reflejo de la porció egativa desplazada horizotalmete medio período. Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 9

10 2. Aálisis de Simetría 2.3 Simetría de Cuarto de Oda Si la simetría de Media Oda se combia co las simetrías Par e Impar da como resultado Simetrías de Cuarto de Oda Par e Impar respectivamete. f(t) Simetría Impar + Simetría de Media Oda t f(t) Simetría Par + Simetría de Media Oda t Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 10

11 3. Señales Ortogoales U cojuto de fucioes ø k (t) es ortogoal e u itervalo a < t < b si para dos fucioes cualesquiera ø m (t) y ø (t) perteecietes al cojuto ø k (t), se cumple: b a m ( t). ( t). dt 0 para m r para m r = Costate Real Si las señales ø m (t) y ø (t) so complejas, etoces la codició de ortogoalidad es: b a m ( t). ( t). dt 0param r param Correspode a la compleja cojugada Podemos decir: = r δ (m-) δ (m-) = 1 m = 0 m Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 11

12 3. Señales Ortogoales Ejemplo: Dado el cojuto de señales ø m (t) = Se (m t), m = 0, 1, 2,..., ; e el itervalo (-π, π) verificar la codició de ortogoalidad. Sustituyedo Se A. Se B = ½ Cos (A-B) - ½ Cos (A+B) J = k J k Etoces las señales ø m (t) = Se (m t), m = 0, 1, 2,...,, forma u Cojuto Ortogoal de Señales e el itervalo (-π, π). Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 12

13 3. Señales Ortogoales Ejercicio Propuesto: Dado el cojuto de señales ø m (t) = Cos (mw 0 t), m = 0, 1, 2,..., ; e el itervalo ( -T, T ) verificar la codició de ortogoalidad. 2 2 Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 13