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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. Ejemplo 1. La ecuació poliómica x 2 + 2x + 2 = 0, co coeficietes reales, tiee dos solucioes complejas cojugadas: 1 + i y 1 i. Este o es u hecho aislado. Proposició 1. Sea a x +a 1 x 1 + +a 1 x+a 0 = 0 ua ecuació poliómica de grado, co coeficietes a 0, a 1,..., a R. Si z C es ua solució de la ecuació, etoces su cojugado z tambié lo es. Demostració: Por ser z ua raíz del poliomio 0 = a 0 + a 1 z a z. Tomado cojugados y aplicado las propiedades de la cojugació, 0 = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z. Lo que prueba que z es ua raíz del poliomio Ejemplo 2. Si x 2 + ax + b, es u poliomio de segudo grado co coeficietes e R y si raíces reales, etoces existe α+βi, α βi C raíces del poliomio. Además x 2 +ax+b = (x (α+βi))(x (α βi)) = x 2 2αx+α 2 +β 2 = (x α) 2 +β 2. Despejado se tiee que α = a 2 y β = b α 2 = Observació 1. Si z = a + bi C, etoces zz = a 2 + b 2 = z 2. 1 b a2 4.

2 2 C. RUIZ Defiició 1. Dado z = a + bi C, se llama módulo de z al escalar z = zz = a 2 + b 2. Observació 2. El módulo z de u complejo z es igual al módulo (o orma) de u vector z e R 2 ( z, la distacia de z al orige) y por tato tiee las mismas propiedades: z 0; si z = 0, etoces z = 0. zw = z w para todo z, w C. z + w z + w para todo z, w C. Defiició 2. Para z = a + bi C se llama módulo de z a z = a 2 + b 2 ; argumeto de z a Argz = (1, 0)z [0, 2π) = θ, el águlo que forma el eje OX co el vector determiado por z (ver el dibujo de abajo); forma polar de z a z = z (cos θ + i se θ) = e iθ. Figura 1. Forma polar de u complejo. La forma polar de u úmero complejo os permite eteder mejor la multiplicació e C. Después de la siguiete Proposició etederemos que u productos de complejos o es más que u giro juto co ua homotecia. Proposició 2. Sea z, w C, co z = z (cos θ + i se θ) y w = w (cos β + i se β), etoces se tiee que zw = z w ( cos(θ + β) + i se(θ + β) )

3 APUNTES AM 3 Demostració: zw = z w ( cos θ + i se θ )(cos β + i se β) = z w ( (cos θ cos β se θ se β) + i(cos θ se β + se θ cos β) ) = z w ( cos(θ + β) + i se(θ + β) ) Figura 2. Giro co homotecia. Figura 3. Giro para w = 1. Co esta ueva image del producto de complejos, ahora es fácil calcular raíces de úmeros complejos.

4 4 C. RUIZ Proposició 3. a: Para todo z C y para todo N se tiee que z = z ( cos(argz) + i se(argz) ). b: Para todo z, w C existe u k Z de modo que Arg(zw) = Argz + Argw + 2kπ. c: Si z C\{0}, co z = z (cos θ + i se θ), y para todo N se tiee que ( z = z cos( θ + 2kπ ) + i se( θ + 2kπ ) ) dode k = 0, 1, 2,..., 1. Ates de hacer la demostració veamos alguas cosideracioes sobre los euciados. E primer lugar, el apartado c) os dice que existe raíces -ésimas de todo complejo o ulo. Notació: Para z = 1 sus raíces -ésimas se puede escribir de la forma e i 2kπ para k = 0, 1, 2,..., 1 dode e it = cos t + i se t (fórmula de Euler). E el siguiete ejemplo mostramos lo que os dice el apartado b). Ejemplo 3. Si z = 1 y w = i, etoces Argz = π, Argw = 3π 2 zw = i. Luego y Arg(zw) = Argi = π 2 = Argz + Argw 2π = π + 3π 2 2π. Figura 4. Argumetos mayores que 2π. Demostració: a: Se sigue directamete de la Proposició aterior aplicado la fórmula de multiplicació veces.

5 APUNTES AM 5 b: Como 0 Argz < 2π y 0 Argw < 2π, etoces 0 Argz + Argw < 4π. Ahora si Argz + Argw [0, 2π) Arg(zw) = Argz + Argw. E otro caso, Argz+Argw [2π, 4π) Arg(zw) = Argz+Argw 2π [0, 2π). c: Si teemos ua raíz -ésima de z ( w = z ), como w = w ( cos(argw) + i se(argw) ) = z (cos θ + i se θ). y la forma polar de u úmero complejo es úica siempre que el argumeto permaezca e el itervalo [0, 2π), se sigue que { w = z w = z Argw = θ + 2kπ, k Z Argw = θ+2kπ. Observemos que θ < θ + 2π < θ + 4π θ + 2( 1)π <... < < θ + 2π = θ + 2π. Vemos que para los valores de k = 0, 1, 2,..., ( 1), teemos argumetos distitos de la forma θ + 2kπ ; para otros valores del argumeto de w dados por otros k, solo coseguimos repetir las raíces que ya teemos Figura 5. cos θ = cos( θ + 2π). Ejemplo 4. Vamos a calcular las raíces cúbicas de la uidad 3 1.

6 6 C. RUIZ 3 1 = 3 1( cos( 0 + 2kπ 3 ) + i se( 0 + 2kπ ) ), k = 0, 1, 2. 3 Luego las tres raíces que os sale so z 1 = 1, z 2 = cos( 2π) + i se( 2π) 3 3 y por último z 3 = cos( 4π) + i se( 4π ). Observemos que las tres raíces 3 3 sobre la circuferecia uidad dibuja u triágulo equilátero Figura 6. Raíces cúbicas de la uidad. Ejemplo 5. Vamos a calcular las raíces cuartas de 1, = 4 1( cos( π + 2kπ 4 ) + i se( π + 2kπ ) ), k = 0, 1, 2, 3. 4 Luego las cuatro raíces que os sale so z 1 = cos( π) + i se( π), 4 4 z 2 = cos( 3π) + i se( 3π), z = cos( 5π) + i se( 5π) y por último z = cos( 7π) + i se( 7π ). Observemos que las cuatro raíces sobre la circuferecia uidad dibuja u cuadrado 4 4 Figura 7. Raíces cuartas de 1.

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