Ejercicios de intervalos de confianza en las PAAU

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1 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica 3 días. a)determiar u itervalo de cofiaza para estimar µ a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 100 efermos cuya media es 8 1 días. b) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar µ co u error máximo de 1 día y u ivel de cofiaza del 92%? Solució: (7 449, 8 751), 28 pacietes. RESOLUCIÓN a) El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es X z, X. Coocemos X = 8,1 ; = 3; = 100 y 1-α = 0,97 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α = 0,03 ; α/2 = 0,015 ; 1-α/2 = 0,985. Por tato hay que averiguar que ) = 0,985, resultado que z = 2, El itervalo pedido es etoces 8,1.2,17, 8,1 +.2,17 = (7'449,8'751) b) El error máximo cometido al dar el itervalo de cofiaza es el valor del radio de zα / dicho itervalo, es decir 2 = 1, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso, puesto que 1-α = 0 92, α = 0 08 ; α/2 = 0 04 ; 1-α/2 = Por tato hay que averiguar que ) = 0,96, resultado que z = 1,75; de dode resulta que = 3.1'75 = 5' 25, de dode = que como ha de ser u úmero etero lo aproximamos a El tiempo diario que los jóvees pasa ate el televisor sigue ua distribució ormal co desviació típica 20 miutos. Ua muestra aleatoria de 100 chicos ha dado u tiempo medio de 170 miutos. a)obteer el itervalo de cofiaza del 90% para el tiempo medio que los jóvees pasa ate el televisor. b) qué tamaño míimo debe teer la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media co u ivel de cofiaza del 99% o exceda los 0 5 miutos? Solució: (166,71; 173,29), jóvees. a) X = tiempo diario que los jóvees pasa ate el televisor es ua N(µ, 20). Para ua muestra de tamaño = 100, se ha obteido X = 170. El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es X z, X. Coocemos X = 170 ; = 20; = 100 y 1-α = 0,9 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z

2 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU E uestro caso α = 0 1 ; α/2 = 0,05 ; 1-α/2 = 0,95. Por tato hay que averiguar que ) = 0,96, resultado que z = El itervalo pedido es etoces '645, '645 = (166'71, 173'29) b) El error máximo cometido al dar el itervalo de cofiaza es el valor del radio de zα / dicho itervalo, es decir 2 < 0 5, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso, puesto que 1-α = 0 99, α = 0 01 ; α/2 = ; 1-α/2 = Por tato hay que averiguar que ) = 0,995, resultado que z = 2,575; de dode resulta que > 20.2'575.2 = 103, de dode = Para efectuar u cotrol de calidad sobre la duració e horas de u modelo de juguetes electróicos se elige ua muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo obteiédose ua duració media de 97 horas. Sabiedo que la duració de los juguetes electróicos de ese modelo se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 10 horas, a) ecotrar el itervalo de cofiaza al 99,2% para la duració media de los juguetes electróicos de ese modelo. b) Iterpretar el sigificado del itervalo obteido Solució: (92,58; 101,42), quiere decir que teemos ua cofiaza del 99 2% de que la duració media de los juguetes de ese modelo esté etre 92,58 horas y 101,42 horas. RESOLUCIÓN a) X = duració de los juguetes es ua N(µ, 10). Para ua muestra de tamaño = 36, se ha obteido X = 97. El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es X z, X. Coocemos X = 97 ; = 10; = 36 y 1-α = 0,992 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α = ; α/2 = ; 1-α/2 = 0,996. Por tato hay que averiguar que ) = 0,996, resultado que z = El itervalo pedido es etoces '65, '65 = (92'58, 101,42) b) Cuado afirmamos que la media de la població está e ese itervalo, la probabilidad de que así sea es 0 992, es decir ua probabilidad muy alta, quedádoos u marge de error e la afirmació co ua probabilidad

3 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU El coeficiete itelectual de los idividuos presetes e ua sala puede supoerse que sigue ua distribució ormal de media µ y variaza igual a 81 a) cuáto vale µ si sabemos que solo u 10% de las persoas e la sala sobrepasa u coeficiete itelectual de 105? E los dos siguietes apartados supodremos que µ = 95: b)elegida ua persoa al azar de la sala, cuál es la probabilidad de que su coeficiete itelectual esté etre 86 y 107? c)elegimos 9 persoas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficietes itelectuales, cuál es la probabilidad de que esa media esté etre 86 y 107? Solució: 93 48, , a) X = Coeficiete itelectual de los idividuos de ua sala. Se trata de ua N(µ, 9) porque la variaza 2 = 81, co lo que la desviació típica es µ Sabemos que P(X>105) = 0 1; es decir que P(Z> ) = ; es decir que µ P(Z< ) = 0' 9 ; de dode resulta, yedo a la tabla de la ormal (0,1) que µ = 1,28; de dode µ = = b) Estamos e este caso ate ua N(95, 9) P(86 < X < 107) = P ( -1 < Z < 1 33) = P(Z<1 33) P(Z<1) = = c) Ahora trabajamos sobre la variable Y = Media muestral de las 9 persoas, por tato, segú el teorema cetral del límite Y N(95, ), es decir ua N( 95, 3) Nos pide P ( 86 < Y < 107) = P(-3<Z<4) = P(Z<4) -1+P(Z<3) = = E ua determiada població se sabe que el valor de la tasa diaria de cosumo de calorías sigue ua distribució ormal co desviació típica = 400 calorías a)si la media poblacioal es µ =1600 calorías y se elige al azar ua muestra aleatoria de 100 persoas de esa població, determiar la probabilidad de que el cosumo medio diario de calorías e esa muestra esté compredido etre 1550 y 1660 calorías. b)si descoocemos la media µ y co el mismo tamaño de muestra se afirma que El cosumo medio diario e esa població toma valores etre 1530 y 1670 calorías, co que ivel de cofiaza se realiza esa afirmació? Solució : , 92% a) X = tasa diaria de cosumo que es ua N(1600, 400). Si elegimos ua muestra de 100 persoas Y= cosumo medio diarios que es ua N(1600, 40). Recordemos que la media 400 muetral tiee por desviació típica, e uestro caso =

4 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU Me pide P (1550 < Y < 1660) = P(-1 25 < Z < 1 5) = P(Z<1 5)-1+P(Z<1 25) = = b) Nos da u itervalo de cofiaza para la media del cosumo diario es decir para X, cuyos extremos so : 1530 y Por tato z 2 es el radio de dicho itervalo, 100 α / es decir ( )/2 = 70., y falta averiguar z, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α es lo que pretedemos averiguar de: z = 70, es decir z = 70, z = 1 75; de dode α/2=0 9599; α = y 1-α = , por 10 tato el ivel de cofiaza es del 91,98%, aproximado a 92% 6.-Se supoe que el peso de los limoes de ua determiada variedad sigue ua distribució ormal de media 250 g y desviació típica 24 g. Se toma ua muestra al azar de 64 de estos limoes y se calcula su media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea meor que 244 g? Solució: X = peso de los limoes N(250, 24). Y = peso medio e ua muestra de 64 limoes que es N(250, 24/8), es decir N(250,3) Me pide P(Y<244) = P(Z<-2) = 1-P(Z<2) = = Ua ecuesta, realizada sobre ua muestra de los jóvees de ua ciudad para determiar el gasto mesual medio, expresado e euros, e teléfoo móvil, cocluyó co el itervalo de cofiaza al 95% (10,794; 13,206) a) cuál es el gasto mesual medio muestral? b) cuál es correspodiete itervalo de cofiaza al 99%? c) Si, aproximado co cuatro cifras decimales, la desviació típica del gasto mesual es , cuál es el tamaño de la muestra ecuestada? Solució: 12, (10,416; 13,584), 169 jóvees Nota: para resolver el segudo apartado hay que usar el radio del itervalo que figura como dato para, ayudados del ivel de cofiaza, obteer y así utilizarlo e el uevo itervalo pedido. Ya e el tercer apartado tiee que aportar la desviació típica para poder obteer el tamaño de la muestra. a) Si el itervalo de cofiaza para la media poblacioal es (10 794, ) el valor de la media muestral siempre es el puto medio de dicho itervalo, e este caso ( ) / 2 = 12 b) El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es

5 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU X z, X. Coocemos X = 12 Del apartado aterior a) sabemos que z es el radio del itervalo dado, es decir 1 206, y como era ua estimació co u ivel de sigificació del 95% 1-α = 0 95, α = 0 05 α/2 = 0 025; 1-α/2 = P(Z< z )= 0 975, de dode z =1 96. Por tato 1 '96 = 1' 206 etoces = que es u valor que o varía del caso a) al caso b) Calculamos ahora z para el 99%, es decir 1-α = 0 99, α = 0 01 α/2 = 0 005; = P(Z< z )= 0 995, de dode z = α/2 El itervalo pedido es ( 12 0'615.2'576, '615.2'576) = (10'415, 13,584) c) Dado que = 0 615, etoces = (7 9989/0 615) 2 = E u IES hay 650 estudiates. Su altura, medida e metros, sigue ua variable ormal de media 1 65 y desviació típica 0 1. a) cuátos estudiates se espera que mida más de 1 75 m? b) Si el % de los estudiates o sobrepasa determiada altura, cuál es esa altura? c) Si se ha de elegir los 200 estudiates cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por defecto), cuál es el itervalo de alturas que se debe fijar? Solució: 103, 1 87 m, (1 61, 1 69) RESOLUCION a) X = altura de los estudiates. X es N(1 65, 0 1) Nos pide 650. P(X > 1 75) = 650. P(Z > 1) = 650 [ ] = ; 103 aproximadamete. b) Ahora sabemos que P(X<h) = , siedo h esa cierta altura que o sobrepasa. h 1'65 h 1'65 P(Z < ) = ; de dode = 2, por tato h = 1 85 c) Ahora P(1 65-a < X < 1 65+a) = 200/650;. Como hay simetría respecto a la media, podemos reducirlo a: P(1,65 < X < h) = 100/650, siedo h = 1 65+a h 1'65 h 1'65 h 1'65 P(Z< ) -P(Z<1 65) = ; P(Z< ) = 0 654; = 0' 495, h = el radio del itervalo será Por tato el itervalo pedido es (1 6005, )

6 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU Para estimar el gasto medio por comesal e u restaurate, se toma ua muestra de 81 persoas resultado que el gasto medio muestral es de Si la desviació típica es de 5 30, co ua cofiaza del 98%: a)costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de dicho gasto. b)hallar el tamaño de la muestra para que la estimació de dicho gasto se haga co u error meor de 1 euro. Solució: (26 13, 28 87), como míimo 153 comesales RESOLUCION: a) El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es X z, X. Coocemos X = 27,5 ; = 5 3; = 81 y 1-α = 0,98 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α = 0 02 ; α/2 = 0 01 ; 1-α/2 = 0,99. Por tato hay que averiguar que ) = 0,99, resultado que z = El itervalo pedido es etoces 5'3 5'3 27 '5.2'33, 27'5 +.2'33 = (26' 13, 28'87) b) z 5'3 <1 2'33 < 1 > 152,49, es decir a partir de 153 comesales 10.-El sueldo de los trabajadores de ua multiacioal sigue ua distribució ormal co media µ = 2500 y desviació típica = 600. Si se toma ua muestra de 64 trabajadores: a) de que tipo es la distribució de las medias de las muestras que pueda extraerse? b) cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea meor que 2350? c)calcular el itervalo característico de las medias muestrales correspodietes a ua probabilidad del 90% Solució: N(2500, 75), , ( , ) a) Por el teorema cetral del límite si X es N(2500, 600) la media muestral para ua muestra de 64 trabajadores es ua variable aleatoria Y, N (2500, 600/ 64 ) = N(2500,75) b) P(Y<2350) = P(Z<-2) = 1-P(Z<2) = = c) P(2500-a < Y < 2500+a) = 0 9 ; P(-a/75 < Z < a/75) = P(Z<a/75)-1+P(Z<a/75) = 0 9 Etoces 2.P(Z<a/75) = 1 9 P(Z<a/75) = 0 95 a/75 = 1,645 a = 123,37 El itervalo pedido es (2376,63, 2623,37)

7 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU El tiempo míimo, e miutos, dedicado cada día a escuchar música por los estudiates de secudaria de ua cierta ciudad se supoe que es ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica igual a 15 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 estudiates y se obtiee los siguietes tiempos: a) Determiar u itervalo de cofiaza al 90 % para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por u estudiate b) calcular el tamaño muestral míimo ecesario para coseguir ua estimació de la media del tiempo dedicado a escuchar música co u error meor que 5 miutos, co u ivel de cofiaza del 95% Solució: (58 2, 73 8), como míimo 35 RESOLUCION: a) X tiempo míimo e miutos dedicado a escuchar música N(µ, 15) Co los diez datos que os da hallamos la media muestral, resultado 66 miutos. El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es X zα / 2, X. Coocemos X = 66 ; = 15; = 10 y 1-α = 0,9 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α = 0 1 ; α/2 = 0 05 ; 1-α/2 = 0,95. Por tato hay que averiguar que ) = 0,95, resultado que z = El itervalo pedido es etoces '645, '645 = (58'2, 73'8) b) El error máximo cometido al dar el itervalo de cofiaza es el valor del radio de zα / dicho itervalo, es decir 2 < 5, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso, puesto que 1-α = 0 95, α = 0 05 ; α/2 = ; 1-α/2 = Por tato hay que averiguar que ) = 0,975, resultado que z = 1 96; de dode resulta que > 15.1'96.0'2 = 5' 88, de dode = La solució es a partir de ua muestra de La putuació media obteida por ua muestra aleatoria simple de 81 alumos de secudaria e el exame de cierta asigatura ha sido 25 putos. Supoiedo que la distribució de las putuacioes de la població es ormal co ua desviació típica igual a putos, calcular el itervalo de cofiaza para la media de la població co u ivel de sigificació de Solució: (19 21, 30 79) El itervalo de cofiaza para la media co la desviació típica coocida es

8 Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU X z, X. Coocemos X = 25 ; = 20 25; = 81 α = 0,01 ;, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso α = 0 01 ; α/2 = ; 1-α/2 = 0,995. Por tato hay que averiguar que ) = 0,995, resultado que z = El itervalo pedido es etoces 20'25 20' '575, '575 = (19'21, 30'79) Ua compañía de autobuses sabe que el retraso e la llegada sigue ua ley ormal de media 5 miutos, y que el % de los autobuses llega co u retraso compredido etre los 2 y los 8 miutos. Hallar la desviació típica de la ley ormal y la probabilidad de que u autobús se retrase más de 10 miutos. Solució: =3, P(2<X<8) = Tipificado P( < Z < ) = 0' 6826 P(-3/ < Z < 3/) = P(Z < 3/) = P(Z < 3/) = / = 1, = 3 P(X>10) = P(Z > 5/3) = 1-P(Z < 1 66) = = La vida media de u determiado modelo de bombilla sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 60 días. Elegida ua muestra y co u ivel de cofiaza del 98 % se obtiee (388,68; 407,32) como itervalo para la vida media. Calcular la media y el tamaño de la muestra elegida. Detallar los pasos realizados para obteer el resultado. Solució: 398, = 225 RESOLUCION: X vida media de ua bombilla N(µ,60). Nos pide y sabemos 1-α = 0 98 La media muestral es el cetro del itervalo dado, es decir 398 (sumamos los extremos y los dividimos por 2) 60 El radio del itervalo es z = 9 32,, que es tal que e la distribució N (0,1) P(Z< z E uestro caso 1-α = 0 98 ; α = 0 02; α/2 = 0 01 ; 1-α/2 = 0,99. Por tato hay que averiguar que ) = 0,99, resultado que z = Así pues 2' 33 = 9 32 de dode = 225

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