Intervalos de confianza Muestras grandes

Transcripción

1 Itervalos de cofiaza Muestras grades

2 Por qué u itervalo de cofiaza? E la Uidad 3 revisamos los coceptos de població y muestra. Los parámetros poblacioales so la media μ y la variaza σ. So costates y geeralmete o se cooce. Cotrariamete, el estadístico ( la media muestral), el pˆ (la proporció muestral) y el estadístico (la variaza muestral) so variables aleatorias, ya que varía de muestra e muestra. Es por eso que cuatificamos la icertidumbre asociada al estimador putual. Ya vimos que, e el caso de la media, esa icertidumbre se llama error estádar. E defiitiva, utilizamos ua muestra de la població, para cojeturar sobre la població. Pero qué ta buea es uestra estimació putual? La respuesta a esta preguta os la provee el itervalo de cofiaza. S

3 Por qué u itervalo de cofiaza? La vetaja del estimador putual es que es muy fácil de calcular y fácil de iterpretar. La desvetaja es que o teemos la meor idea de cua certero y preciso es el estimador. Para lidiar co esta icertidumbre, es que se costruye u itervalo de cofiaza, el cual provee u posible rago de valores para el parámetro poblacioal. Si uo provee u estimador putual va a ser difícil de acertar co el parámetro poblacioal. Por el cotrario, si uo provee u itervalo de cofiaza, i.e. u rago de valores, hay más posibilidades que dicho itervalo cotega al verdadero parámetro poblacioal. 3

4 Itervalos de cofiaza para la media Muestras grades Ahora os focalizamos e el caso dode el estimador putual es la media muestral y el parámetro es la media poblacioal. Pesemos que dispoemos de ua muestra, la cual os provee, uestra mejor estimació de la media poblacioal. Que os dice el TCL para la media muestral: ~ N(0,1) 4

5 Cómo se lee u itervalo de cofiaza al 95%? El 95% de las muestras o más precisamete el 95% de los itervalos costruidos e base a las muestras, cotedrá la verdadera media poblacioal, detro del itervalo correspodiete a la media muestral +/- errores estádar(se). SE = Estimador putual para la media poblacioal Marge de error Por lo tato el ivel de cofiaza es la probabilidad de que el itervalo estimado cotega al verdadero parámetro poblacioal, e uestro caso la media poblacioal. 5

6 Cómo se costruye u itervalo de cofiaza? E geeral costruimos u itervalo de cofiaza alrededor de la media muestral utilizado la siguiete expresió dode Z c * = Z c * Marge de error = la media muestral Z c = es el valor Z asociado a ua cofiaza C%. = el error estádar de la media. Lo usual para el ivel de cofiaza es C%= 90%, 95%, 99%. 6

7 Codicioes para el itervalo de cofiaza La costrucció del itervalo de cofiaza se basa e el TCL. Por lo tato se debe cumplir al meos co los mismos requerimietos del TCL i.i.d. : las observacioes muestrales debe ser idepedietes Muestreo aleatorio/ asigació aleatoria Si la muestra es si reemplazo, etoces 10% de la població. Asimetría/tamaño de la muestra: >30, o aú más grade si la distribució es asimétrica. 7

8 Itervalo de cofiaza exacto al 95% U itervalo de cofiaza aprox. para la media al 95% está dado por * * Cómo se costruye el itervalo exacto al 95%? = P Z z = P Z Z P Z z = P Z z = 1 ( z ) 0.05 z 0.05 = P = 8

9 Fudametos del itervalo de cofiaza Sea 1, ua muestra aleatoria de observacioes,..., extraídas de ua població que sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza coocida. Supogamos que queremos u itervalo de cofiaza de la media poblacioal al 100(1 )%. Por el TCL sabemos que N(0,1) P Z z = P - z Z z = 1 P - z z = + = P - z * z * 1 9

10 Iterpretació del itervalo de cofiaza Supogamos que tomamos muchas muestras y costruimos itervalos de cofiaza al 95% para cada ua de las muestras. estimació putual 1.96* SE = Luego, alrededor del 95% de los itervalos de cofiaza cotedrá al verdadero parámetro poblacioal ME 10

11 Itervalo de cofiaza: certero vs. preciso La precisió se vicula al error estádar mietras que la certeza se relacioa co el ivel de cofiaza Nivel o Regió de cofiaza usuales Regió de cofiaza (1-) / z / 90% ,645 95% % ,576 11

12 Certeza vs. precisió Si uo quisiera teer certeza de que captura al verdadero valor del parámetro, i.e. la media poblacioal μ, etoces que querríamos u itervalo más amplio o u itervalo más restrigido? 1

13 Certeza vs. precisió Por lo tato si lo que se persigue es certeza, etoces se debe aumetar el ivel de cofiaza, pero tambié aumeta el acho del itervalo. Mayor certeza icremetar el ivel de cofiaza pero veremos que hay ua pérdida 13

14 Certeza vs. precisió Hay algua desvetaja e aumetar el ivel de cofiaza para teer mayor certidumbre? ivel de cofiaza acho certeza pero precisio Etoces como se resuelve esto. Existe algua maera de aumetar la certeza si sacrificar precisió? icremetado el tamaño de la muestra. Al icremetar el tamaño de la muestra dismiuye el error estádar del estimador, y por ede se reduce el marge de error si alterar el ivel de cofiaza, i.e. si icremetar el acho del itervalo. 14

15 Ejemplo Volviedo al ejemplo de los tiempos e miutos de la marató de la 01 Cherry Blossom Ru. Tomamos ua muestra de tamaño 100 y la media muestral resulta = La desviació estádar de la població es de Calcule el itervalo de cofiaza al 90%, 95% y 99% para la media poblacioal? Otra muestra de 100 corredores arroja u valor de = Compruebe que los que varía so los itervalos y o la media poblacioal. Ojo co la iterpretació del itervalo! Hay u 95% de probabilidad de que la verdadera media poblacioal este detro del itervalo [, ] INCORRECTO Hay u 95% de probabilidad de que cualquier itervalo de cofiaza geerado a partir de ua muestra aleatoria cotega a la verdadera media poblacioal. CORRECTO 15

16 Ejemplo Como teemos u 95% de probabilidad de que cualquier itervalo de cofiaza cotega a la media poblacioal, etoces teemos u 5% de probabilidad de que o lo cotega, e cuyo caso estaríamos cometiedo u error. Este 5% de probabilidad es coocido como ivel de sigificació, o probabilidad de cometer Error de Tipo I Regió de cofiaza 1- Nivel de sigificació 16

17 Ejercicio La Geeral Social Survey de los EE.UU. es ua istitució que se ocupa de recopilar datos sobre las características demográficas y actitudes de los residetes de USA. Durate el año 010, la ecuestadora etrevistó a 1154 residetes. E base a los resultados de esta ecuesta, se costruyó u itervalo de cofiaza del 95% para el úmero de horas diarias promedio que los residetes americaos dedica al ocio después de u día de trabajo promedio fue de 3.53 a 3.83 horas. Cuál de las siguietes afirmacioes es correcta? 17

18 Ejercicio - cotiuació a. 95% de los americaos dedica etre 3.53 y 3.83 horas diarias al ocio después de u día de trabajo b. 95% de las muestras de 1154 residetes americaos va a arrojar itervalos de cofiaza que cotega al verdadero úmero de horas promedio que los americaos dedica al ocio después de u día de trabajo. c. 95% de las veces el verdadero úmero de horas promedio que los residetes americaos dedica al ocio después de u día de trabajo es 3.53 y 3.83 d. Se tiee ua cofiaza del 95% que los residetes americaos de esta muestra dedica e promedio etre 3.53 y 3.83 horas al ocio después de u día de trabajo. 18

19 Tamaño de la muestra vs. certeza Dado u marge de error deseado, u ivel de cofiaza, iformació sobre la variabilidad de la muestra (o de la població), se puede determiar el tamaño de muestra requerido para alcazar el marge de error deseado. ME = Z c * = Z * = Z * ME 19

20 Ejemplo U grupo de ivestigadores desea evaluar el posible efecto que cierta medicació para epilepsia, recetada a mujeres embarazadas, tiee sobre el desarrollo cogitivo de sus hijos. Como evidecia quiere estimar el coeficiete itelectual de iños de 3 años de edad acidos de madres que haya igerido esta medicació durate el embarazo. Estudios previos sugiere que la SD (desviació estádar) del coef. itelectual de los iños de 3 años es de 18 putos. Qué tamaño debería teer la muestra si se desea u itervalo de cofiaza del 90% y u marge de error meor o igual a 4 putos? Qué ocurriría co el tamaño de la muestra si se quisiera dismiuir el marge de error a putos? 0

21 Qué ocurre si o coocemos? Recordemos que estamos supoiedo que es grade (30) Si o se cooce, la desviació estádar poblacioal, podemos obteer ua estimació a partir de la muestra, i.e. reemplazar a por la desviació estádar muestral, S. Zc * Z * S Siempre y cuado 30 1

22 Itervalo de cofiaza para ua proporció e muestras grades Tambié se puede estimar la proporció de ua població mediate la costrucció de u itervalo de cofiaza a partir de ua muestra. Requisitos para aproximar la Biomial a la Normal: observacioes i.i.d. y p 10 y (1-p) 10 El itervalo de cofiaza para la proporció es pˆ Z c * pˆ pˆ Z * p(1 p)

23 Itervalo de cofiaza para ua proporció e muestras grades Nuestro desafío es estimar p, la proporció poblacioal, pero ecesitamos u valor de p para calcular el error estádar. Solució: estimar el error estádar (SE) utilizado proporció basada e la muestra aletoria. pˆ, la ˆ p ˆ = pˆ(1 pˆ) Etoces, como es grade por TCL sabemos que pˆ(1 pˆ) ( pˆ p) N(0,1) 3

24 Itervalo de cofiaza para ua proporció e muestras grades Por lo tato, si la proporció muestral observada es, se obtiee u itervalo de cofiaza aproximado de la proporció de la població al 100(1 )% de cofiaza de la siguiete maera P Z z = P - z Z z = 1 P- z = P pˆ - z pˆ Z c pˆ(1 * * ˆ pˆ pˆ p pˆ) pˆ(1 pˆ) z p pˆ Z pˆ + z * * pˆ(1 pˆ(1 pˆ) pˆ pˆ) = 1 Marge de error 4

25 Ejemplo Cierta idustria decide capacitar a sus empleados e u uevo programa de adiestramieto e reparació de máquias. De acuerdo co la experiecia de la empresa, la empresa sabe que ua persoa que apruebe el exame tiee ua alta probabilidad de desempeñarse bie es su puesto. Después de algua discusioes la empresa acordó basar la evaluació del uevo método de adiestramieto cosiderado la proporció de empleados que aprobaro el exame. De los 64 empleados que asistiero al curso de capacitació, solo aprobaro el exame 40. Determiar el itervalo de cofiaza para la media poblacioal co ua cofiaza del 90%. Iterpretar el resultado. Uidad 4 - Itervalos de cofiaza 5

26 Tamaño de la muestra para ua proporció Al igual que para la media muestral, se puede determiar el tamaño de muestra requerido para u marge de error deseado. Cual es el tamaño de muestra requerido para estimar la proporció de fumadores e Argetia si se desea ua cofiaza del 99% co u marge de error del 5%? ME = Zc * pˆ = Z * p(1 p) = p(1 p) Z ME Uidad 4 - Itervalos de cofiaza 6

27 Tamaño de la muestra para ua proporció Por lo tato el tamaño de muestra requerido para u marge de error dado y u ivel de cofiaza 100(1 )% está dado por = 0.5(1 0.5) Z = 0. 5 ME Z ME Por lo tato, si se ecuesta a 664 persoas, el 99% de las veces la proporció verdadera de fumadores estará e el itervalo ± 5% respecto a la proporció observada e la muestra. Uidad 4 - Itervalos de cofiaza 7

28 Ejemplo Supogamos que se realiza ua ecuesta de opiió tras uas eleccioes geerales sobre las opiioes de ua muestra de ciudadaos e edad de votar acerca de u cambio del sistema electoral. Se dice que la ecuesta tiee u «marge de error del 3 por cieto». Eso quiere decir que el itervalo de cofiaza al 95 por cieto de la proporció poblacioal que tiee ua determiada opiió es la proporció muestral más o meos u 3 por cieto como máximo. Cuátos ciudadaos e edad de votar debe teer la muestra para obteer este marge de error del 3 por cieto? Uidad 4 - Itervalos de cofiaza 8