Introducción a la Inferencia Estadística. Material Preparado por Olga Susana Filippini y Hugo Delfino

Transcripción

1 Itroducció a la Iferecia Estadística

2 Temario Diseño Muestral Teorema Cetral del Límite Iferecia estadística Estimació putual y por itervalos Test de hipótesis.

3 DISEÑO MUESTRAL

4 Porque utilizar muestras La gra mayoría de las ecuestas estadísticas, ya sea para toma de decisioes o para formulació de hipótesis o teorías se hace por muestreo. Esto se debe a que gracias a la teoría de muestreo es posible medir las propiedades de grades masas de datos co precisió calculada sobre la base de ua muestra. Las poblacioes que se ivestiga, puede ser ifiitas. La medició de ua població puede ser destructiva La població puede o ser accesible. Puede llegar a ser el método o mecaismo más eficiete. Puede dar resultados más eficietes que u ceso: recueto completo de ua població.

5 Modelos de Muestreo Probabilísticos Cada uo de los elemetos de la població tiee ua probabilidad coocida y o ula de ser seleccioado. La selecció de las uidades es aleatoria. No Probabilísticos La selecció de las uidades muestrales o se realiza aleatoriamete, sio siguiedo algú otro criterio e el que puede iterveir la subjetividad de las persoas participates del trabajo (ecuestadores, supervisores, jefes de campo, ivestigadores, expertos, etc.).

6 Ejemplos de muestras No Probabilísticas Muestras casuales o fortuitas. Selecció experta. Muestra por cuotas. Muestra de poblacioes e movimieto. Grupos de efoque.

7 Muestras Probabilísticas

8 Població, Muestra y distribucioes de muestreo Població: es la colecció, o cojuto, de idividuos, objetos o evetos cuyas propiedades será aalizadas. Muestra: es u subcojuto de la població de iterés. La utilizació de ecuestas por muestreo tiee como propósito hacer iferecias sobre la població.

9 Població, Muestra y distribucioes de muestreo Distribució de Població: distribució de frecuecia de todos los elemetos de la població, que se puede ajustar co ua distribució teórica de probabilidades. Parámetros (poblacioales): la media y desviació estádar so los mas frecuetes. Distribució de la Muestra: distribució de frecuecia de los elemetos de ua muestra idividual. Estadísticos (muestrales): la media ( x ) y desviació estádar (S -1 )

10 Caso: Cooperativa telefóica de Villa Rumipal La cooperativa telefóica de Villa Rumipal tiee 1336 clietes. De la misma teemos para cada asociado el cosumo e pesos del mes de eero de 009 e llamadas locales, a celulares y de larga distacia. Debemos presetar u iforme al Cosejo de Admiistració sobre uestros asociados, describiedo la població bajo estudio, calculado los parámetros de la misma. Dado que deseamos coocer características de uestros asociados queremos seleccioar ua muestra de los mismos y para aseguraros que la muestra es válida queremos verificar si el promedio de cosumo es similar al de la població bajo estudio. Extraemos ua muestra de tamaño 0 y comparamos el resultado co el parámetro problacioal. Para ello utilizaremos el archivo e excel Cooperativa telefóica de Villa Rumipal

11 Població, Muestra y distribucioes de muestreo Distribució de Muestreo de la Media Muestral: distribució de frecuecia de la media muestral de cada ua de las posibles muestras de tamaño tomadas de determiada població. La media muestral pasa a ser ua variable aleatoria que mostrará su variació de muestra e muestra. La esperaza de ua variable aleatoria es igual a su parámetro. E(x)= por lo tato E( ) = x

12 Població, Muestra y distribucioes de muestreo La variacia de la media muestral x mide la variació de muestra e muestra de la media muestral. La variacia de ua variable aleatoria es igual a su parámetro. V(x)= por lo tato ( x) = E( x -) x La distribució de la media muestral se cocetra cada vez más e el etoro de, a medida que aumeta el tamaño de la muestra ().

13 Població, Muestra y distribucioes de muestreo Teorema Cetral del Limite: si ua població tiee ua media y variacia, fiitas, etoces, a medida que el tamaño de la muestra () aumeta, la distribució de la media de la muestra ( x), tiede a la distribució ormal co media y variacia ( ). El TCL se cumple si importar cual es la distribució de la variable aleatoria bajo estudio. Es codició idispesable que la muestra sea aleatoria.

14 Caso: Cooperativa telefóica de Villa Rumipal TAREA Para costruir la distribució de frecuecia de las medias muestrales, extraemos 30 muestras de tamaño 0 cada ua. Aalizamos si lo propuesto por el teorema geeral del límite se cumple o o. Que pasa si aumetamos el tamaño de muestra a 40? A qué coclusioes puede arribar?

15 Iferecia Estadística La iferecia estadística es la forma de tomar decisioes basadas e probabilidades y preseta dos aspectos: Estimació de parámetros: Putual Por itervalos Prueba de Hipótesis co respecto a ua fució elegida como modelo.

16 Estimadores Estimadores so las expresioes matemáticas que se costruye a partir de los datos de la muestra y que tiee como objetivo estimar los valores poblacioales o e leguaje estadístico los parámetros del estudio. Ejemplos: Promedio diario de llamados telefóicos al Número total de cosumidores de la marca A. Porcetaje de votates al cadidato K.

17 Estimadores Los estimadores debe ser cosiderados variables aleatorias, ya que el valor que adopte (la estimació a la que de orige), depede de las uidades que itegra la muestra, y éstas por ser elegidas aleatoriamete, varía de muestra e muestra.

18 Estimadores putuales de los parámetros de ua població ormal Sea ua muestra aleatoria simple, X 1, X,..., X de ua població co distribució N(, ). Estimador de la media ˆ x i1 La distribució muestral de la media es : x (, xi )

19 Estimadores putuales de los parámetros de ua població ormal Estimador de la Variacia poblacioal es la variacia muestral ˆ S i1 ( xi x) ( 1)

20 Estimadores putuales de los parámetros de ua població ormal S estima a la desviació típica de la media y se deomia error estádar de la media muestral, por esta razó se dice que el error estádar de la media mide la variabilidad de la media e el muestreo.

21 Estimadores putuales de los parámetros de ua població ormal Estimador del total i i x N Nx T 1 La variacia estimada es: ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ S N x N Nx T

22 Estimadores putuales de los parámetros de ua població ormal Estimador de ua proporció p i1 Dode x i =1 si tiee la característica bajo estudio xi La variacia estimada es: ˆ ( p) ( p*(1 p) )

23 Caso: Cooperativa telefóica de Villa Rumipal Co los datos de la cooperativa telefóica de Villa Rumipal Cuál es el promedio de cosumo total, que se obtuvo co ua muestra de tamaño 0? Cuál es de desvío estádar de la estimació? Cuál es la estimació del total de cosumo? Cuál es la proporció de clietes femeio? Cada uo de Uds. obtuvo el mismo resultado? Explicar porque fuero iguales o distitas las estimacioes.

24 Estimadores Realizada la estimació de u parámetro cabe pregutarse: Es exacta la estimació? Es probable que la estimació sea alta o baja? Co otra muestra se obtedría el mismo resultado, o bastate diferete? La calidad de u procedimieto de estimació mejora bastate si la estadística de la muestra es meos variable e isesgada a la vez?

25 Estimadores y propiedades deseables de los estimadores Ausecia de sesgo Se dice que u estimador es isesgado (o cetrado) si la esperaza del estimador coicide co el parámetro a estimar E( ˆ) Cosistecia E caso cotrario se dice que es sesgado. Se dice que u estimador es cosistete si se aproxima cada vez más al verdadero valor del parámetro a medida que se aumeta el tamaño muestral. Pr[( ˆ ) ] 0, 0 La distribució del estimador se cocetra más alrededor del verdadero parámetro cuado el tamaño muestral aumeta.

26 Métodos de estimació Hay varios métodos de estimació, el de máxima verosimilitud es el que proporcioa estimadores cosistetes pero o siempre isesgados. Los estimadores mecioados e los putos ateriores ( x, T, S p) so estimadores máximo verosimiles. El mismo resultado se puede obteer por el método de los mometos.,

27 Estimació por itervalos Dada ua muestra aleatoria X1, X,..., X, de ua població co fució de desidad f(x;) U itervalo de cofiaza, de extremos L-iferior y L-superior, para el parámetro de la població es u par ordeado de fucioes reales de las medidas de la muestra I = [L iferior (X 1,...,X );L superior (X 1,..., X )] Costruidas de forma que la probabilidad de que los extremos cotega al verdadero valor del parámetro es u valor prefijado (1 - ). Al úmero (1 - ) se le deomia ivel de cofiaza.

28 Estimació por itervalos El ivel de cofiaza suele ser 0,95 (95%) ó 0,99 (99%). La iterpretació práctica es secilla, por ejemplo si el ivel de cofiaza es del 95%, sigifica que e el 95% de las veces que repitiéramos el experimeto, el itervalo de cofiaza calculado cotedría al verdadero valor del parámetro y e el 5% restate el itervalo o cotedría el verdadero valor. Ua vez que el itervalo de cofiaza ha sido calculado para ua muestra cocreta, el itervalo obteido cotiee o o cotiee al verdadero valor del parámetro, co probabilidad 1, por esa razó, cuado ya teemos u valor cocreto hablamos de cofiaza y o de probabilidad. Cofiamos e que el itervalo que hemos calculado sea del 95% que cotiee el verdadero valor.

29 Nivel de cofiaza gráficamete

30 Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocido Supogamos que dispoemos de ua població e la que teemos ua v.a. co distribució N(,) co coocida (de estudios previos, por ejemplo). Obteemos ua muestra de tamaño y deseamos estimar la media de la població. El estimador putual de la misma es la media muestral cuya distribució muestral es coocida la catidad x (, ) x Z tedrá distribució ormal estádar

31 Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocido Sobre la distribució N(0, 1) podremos seleccioar dos putos simétricos -z / y z /, tales que P(-z / Z z / ) = 1-

32 Sustituyedo Z por su valor e este caso particular Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, coocido 1 / / z x z P Despejado os queda el itervalo de cofiaza, 1 / / z x z x P

33 Itervalo de cofiaza para la media poblacioal, descoocido Recordemos que si la variaza poblacioal es descoocida y la variable es ormal o se puede aproximar a la distribució ormal por el Teorema cetral del límite, etoces se usaría la t de Studet co 1 grados de libertad y el desvío estádar muestral. El itervalo de cofiaza que resulta, Px t ( / ; s s 1) x t( / ; 1) 1

34 Itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal Supogamos que dispoemos de ua població e la que teemos ua v.a. co distribució N(,) co coocida (de estudios previos, por ejemplo). Obteemos ua muestra de tamaño y deseamos estimar la proporció p de la població. El estimador putual de la misma es la proporció muestral cuya distribució muestral es coocida la catidad p ( p, p ) p p Z p * q tedrá distribució ormal estádar

35 Sustituyedo Z por su valor e este caso particular Itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal 1 * / / z q p p p z P Despejado os queda el itervalo de cofiaza, 1 * * / / q p z p p q p z p P

36 Caso: Cooperativa telefóica de Villa Rumipal Co los datos de la cooperativa telefóica de Villa Rumipal Costruya los itervalos de cofiaza de: El promedio de cosumo total, que se obtuvo co ua muestra de tamaño 0 Del total de cosumo de la cooperativa. De la proporció de clietes femeio Cada uo de Uds. obtuvo el mismo resultado? Explicar porque fuero iguales o distitas las estimacioes.

37 Ejercitació Ejercicio 1: U productor desea lazar u uevo producto y lo hará si cosigue que los supermercados veda e promedio 880 uidades o más por semaa. Para respoder a esto, se coloco el producto e 1 supermercados y se registraro las vetas semaales. Etre que valores se espera estará las vetas del uevo producto co u 95% de cofiaza? Debo lazar o o el producto? Por qué? Ejercicio : U operador de telefoía celular quiere saber si el tiempo promedio de uso diario de celular es diferete etre mujeres y hombres a efectos de preparar ua promoció basada e miutos de cosumo. Para ello realiza ua ecuesta a 00 usuarios. Etre que valores se espera estará co u 95% de cofiaza el tiempo medio de uso diario de celular para mujeres y para hombres? Preparo ua úica promoció o dos? Por qué? Ejercicio 3: El fabricate de ua marca de fideos sabe que e GBA su producto esta distribuido e el 19% de los egocios y esta iteresado e saber si e la ciudad de Córdoba tiee el mismo ivel de distribució, a efectos de modificar o o su estrategia de distribució. Para ello realiza ua ecuesta e 85 egocios y el resultado refleja que el porcetaje de egocios que comercializa mi marca es de 14.1% Etre que valores se espera estará la distribució de mi producto e Córdoba co u 95% de cofiaza? Necesita modificar la estrategia? Por qué? Los datos para los ejercicios 1 y esta e u archivo excel Ecuesta a Supermercados y usuarios de Telefóia Celular