- estimación de parámetros, - intervalos de confianza y

Transcripción

1 Iferecia estadística: es el proceso de sacar coclusioes de la població basados e la iformació de ua muestra de esa població. Objetivos de la iferecia: - estimació de parámetros, - itervalos de cofiaza y - docimasia, test de hipótesis o pruebas de sigificació estadística.

2 Itervalos de Cofiaza para ua proporció Cuado hacemos u test de hipótesis decidimos sobre u valor hipotético del parámetro. Qué proporció de mujeres espera compartir las tareas de la casa co su pareja? Qué proporció de la població sufre de cácer? Cada ua de estas pregutas es sobre el valor de la proporció P. Es decir, queremos estimar P.

3 Ua proporció muestral pˆ es u estimador putual de la proporció e la població P. U estimador de itervalo de cofiaza de la proporció e la població P, es u itervalo, calculado a partir de los datos de la muestra, e el cual osotros cofiamos se ecuetra la proporció de la població P.

4 El ivel de cofiaza es la probabilidad de que el método de estimació os dé u itervalo que cotiee al parámetro ( P e este caso). El ivel de cofiaza se deota por 1 α. Nivel de sigificació α Nivel de cofiaza 1 α 0,10 o 10% 90% 0,05 o 5% 95% 0,01 o 1% 99%

5 Para costruir itervalos de cofiaza recordemos la distribució muestral de $p: pˆ ~ & N( P, P(1 P) ) etoces aproximadamete 95% de los valores de $p estará etre dos desviacioes estádar de P : N( P, P(1 P) ) 9 5% p - p ( 1 - p ) p p + p ( 1 - p ) p Hacemos u itervalo: pˆ ± 1,96 P(1 P)

6 Esperamos que 95% de esos itervalos cotega a P y 5% o. El problema es que o podemos coocer la desviació estádar porque cotiee al parámetro descoocido. Solució: Estimar la desviació estádar, co el error estádar de $p: S( pˆ) = pˆ(1 pˆ) U itervalo de 95% de cofiaza para P esta dado por: pˆ ± 1,96 pˆ(1- pˆ) E teoría esta aproximació fucioa bie si se cumple que: P 5 y (1 P) 5. E la práctica la comprobamos co: pˆ 5 y (1 pˆ) 5

7 Estudio: Sídrome de fatiga cróica o ecefalopatía miálgica Se realiza u estudio para coocer la proporció de adultos que sufre del sídrome de fatiga cróica (SFC). Para este estudio, se elige al azar 4000 miembros de ua Isapre, a los que se les evía u cuestioario por correo. E el cuestioario se les preguta por cualquier fatiga iusual que haya iterferido sus resposabilidades e el trabajo o e la casa e los últimos 6 meses. De las 3066 persoas que respodiero (posible sesgo por o respuesta), 590 afirmaro haber sufrido de fatiga cróica. Se quiere estimar la proporció de adultos que piesa que sufre de sídrome de fatiga cróica. De las 3066 respuestas, 590 dice sufrir fatiga cróica, u estimador putual será: p ˆ = ,19 o 19,%

8 U itervalo de cofiaza 95% para la verdadera proporció de adultos que piesa que sufre de SFC está dado por: 590 (590 / 3066)(1 590 / 3066) ± 1, ,194± 0, [ 0,179; 0,06] o ua tasa de 179 a 06 por adultos. Este itervalo os da valores posibles de la proporció e la població de persoas que piesa que sufre del SFC basado e ua muestra de tamaño = 3066.

9 Pesemos: Sabemos si el itervalo de 95% de cofiaza cotiee a la verdadera proporció e la població que piesa que sufre de SFC? Este ivel de 95% cofiaza sigifica que hay ua probabilidad de 95% de que la verdadera proporció P está e el itervalo [0,179 ; 0,06]? Podemos exteder estos resultados al resto de la població geeral de adultos?

10 Iterpretació! El itervalo que costruimos o cotiee P o o lo cotiee. No es correcto decir que la probabilidad de que el itervalo [0,178 ; 0,06] cotega a P es 0,95. El valor del parámetro P es fijo. No varía. La iterpretació del ivel de 95% de cofiaza tiee que ver co la proporció de veces que itervalos como el que costruimos cotiee a P si lo hiciéramos muchas veces.

11 p m.a.s #1 m.a.s. # m.a.s. #3 m.a.s. #4 Si repetimos este procedimieto muchas veces, calculado muchos itervalos de cofiaza de 95% para P, podemos esperar que aproximadamete 95% de estos itervalos cotega P (y aproximadamete 5% o).

12 Revisemos los percetiles de la Tabla N(0,1): Nivel de Cofiaza 1 α 1 α z 1 α 0,90 0,95 1,645 0,95 0,975 1,96 0,98 0,99,33 0,99 0,995,575 N(0,1) α 1 α α -z 1 α +z 1 α Z

13 U itervalo de cofiaza ( 1 α) *100% para P está dado por: p $ ± z α 1 p(1- $ p) $ dode: z 1 α es u percetil de la distribució N(0,1)

14 Este itervalo da valores posibles para la proporció e la població P basado e sólo ua proporció muestral $p. Esta aproximació esta basada e el supuesto de que los datos proviee de ua muestra aleatoria de la població y fucioa bie si P 5 y (1 P) 5. Esta codició se puede corroborar co pˆ 5 y (1 pˆ ) 5.

15 Forma geeral de los Itervalos de Cofiaza: estimador putual ± percetil error estádar distribució muestral del estimador

16 PES revisitado Recordemos el experimeto diseñado para probar si u sujeto tiee PES (poderes extrasesoriales). De u mazo corriete bie barajado, se elige 96 cartas, ua por ua, co reemplazo. A la persoa e cuestió se le pide que adivie la pita de la carta. Sea P la proporció de respuestas correctas si el sujeto o tiee PES. La persoa tiee 35 correctas de las 96 cartas, etoces la proporció muestral de respuestas correctas es: $p Costruya u itervalo de 95% cofiaza para P basado e los resultados observados. Este itervalo de cofiaza cotiee a 0,5? Si es así, qué implica? Si o lo cotiee, qué podemos iferir?

17 Pesemos: Si el ivel de cofiaza aumeta de 95% a 99%, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño muestral aumeta (pero la proporció muestral es la misma), el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño de la població aumeta, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo?

18 FUMADORES Tabaquismo Total (%) Hombres (%) Mujeres (%) Total (=1007) 368 (36,5) 134 (39,5) 34 (35,0) La tabla preseta la prevalecia de fumadores e ua ecuesta realizada e residetes de la ciudad de Talca, adultos de 18 a 74 años, el año 005 ( a) Cuál es la població bajo estudio? b) Basado e los resultados del estudio, costruya u itervalo de 90% de cofiaza para la proporció de sujetos que fuma. c) Iterprete el itervalo. d) Costruya u itervalo de 95% de cofiaza para la proporció de sujetos que fuma. Es este itervalo más acho o más agosto del calculado e (b)? e) Cuál es la mitad del acho del itervalo?

19 Defiició: El marge de error para ua proporció es la mitad del acho del itervalo de cofiaza, y está dado por: E = z α 1 p(1- $ p) $ E = Marge de Error ( ) p$( 1 p$) p$( 1 p$) p$ z α $p p$ + z α 1 1 Acho

20 Se calcula u itervalo de 99% cofiaza para P que resulta: (0,7, 0,4) (a) Cuál es el valor de la proporció muestral $p? (b) Cuál es el marge de error? (c) Dé dos sugerecias para reducir el marge de error.

21 Cuál es el tamaño de la muestra? A partir del marge de error podemos resolver ahora cuato puede ser u tamaño muestral míimo. Tamaño de la muestra: = ( z ) ) 1 ˆ(1 ˆ α E p p Pero esta fórmula cotiee a la proporció muestral $p y todavía o teemos la muestra!

22 Ecotremos el máximo. Dibuje $p versus $p(1-$p) P P(1-P) 0,0 0,0 0,1 0,09 0, 0,16 0,3 0,1 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,4 0,7 0,1 0,8 0,16 0,9 0,09 1,0 0,0

23 P(1-P) P

24 Defiició: Si descoocemos la variabilidad e la població, el tamaño muestral requerido para estimar la proporció de ua població co ivel de cofiaza ) 1 ( α y marge de error E esta dado por: ) ( = E z α = 1 E z α

25 La Cruz Roja quiere veir a sacar sagre a la Uiversidad de Talca y os pide que estimemos la proporció de estudiates y fucioarios que estaría dispuestos a doar sagre. Co cofiaza 99% y u 4% de marge de error a cuatas persoas debemos etrevistar? Ua estimació coservadora sería: = z α 1 E =,576 (0,04) = 1036,84 Por lo tato ecesitamos etrevistar al meos 1037 estudiates y fucioarios.

26 E la oficia de admisió de la UTal quiere estimar la proporció de alumos que abadoa la Uiversidad después del primer año de estudio. A cuatos estudiates debe etrevistar para costruir u itervalo de cofiaza para P del 90% co u marge de error de putos porcetuales?

27 Correcció para població fiita (cpf) (Opcioal) La fórmula para calcular el tamaño muestral supoe que el tamaño de la població es grade o es u muestreo co reemplazo. Cuado queremos sacar ua muestra de ua població pequeña e coveiete usar la cpf c = 1 N Ejemplo: Crédito uiversitario. Supogamos que queremos coocer la proporció que tiee crédito uiversitario etre los alumos de Psicología de la UTal. Co u ivel de cofiaza de 95% y u marge de error del 5% a cuatos estudiates debe ecuestar?

28 = z α 1 E = 1,96 (0,05) = 384,16 Pero e el año 001 había sólo 71 alumos e la carrera! c = = 59,9 Tiee que ecuestar a 60 persoas.