Estimación de los parámetros de las distribuciones Bernoulli y Poisson bajo cero eventos

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1 Publicado e la Rev. Fac. Nac. Salud Pública 999; 7(): Estimació de los parámetros de las distribucioes Beroulli y Poisso bajo cero evetos Estimatig parameters of the Beroulli ad Poisso distributios for zero evets Resume Jua Carlos Correa M. Esperaza Sierra L. Cuado los parámetros p, e la distribució de Beroulli y λ, e la de Poisso, so muy pequeños, su estimació es u problema díficil porque, a meudo, e muestras aleatorias o se preseta el caso de iterés. E estudios epidemiológicos sobre efermedades poco comues es frecuete ecotrar este tipo de resultados. Se preseta alguas solucioes a este problema. Palabras clave Itervalo de cofiaza, distribució de Poisso, distribució de Beroulli, muestras co cero evetos. Abstract Whe the parameters p, i the Beroulli distributio, ad λ, i the Poisso distributio, are very small their estimatio presets difficulties whe radom samples shows o evets or successes. I epidemiological studies of rare diseases it is commo to obtai these kids of results. Several solutios to this problem are preseted. Keywords Cofidece iterval, Poisso distributio, Beroulli distributio, zero-evets sample, zerosuccess sample. Profesores, Departameto de Matemáticas. Uiversidad Nacioal, Medellí, Colombia. E- mail: jccorrea@perseus.ualmed.edu.co. esierra@perseus.ualmed.edu.co

2 Itroducció U problema frecuete e estudios epidemiológicos es la estimació de p, la proporció de sujetos que e ua població tiee ua característica dada. El problema se complica cuado e la muestra que se tiee o se observa u solo caso favorable, situació que se preseta cuado la característica de iterés es muy rara, esto es, p es muy pequeña. Sea x, x 2,...x ua muestra aleatoria de ua distribució de Beroulli co parámetro descoocido p. Se quiere estimar p cuado las observacioes so x=0, x 2 =0,...x =0. Se sabe que el estimador máximo verosímil de p es $p= x ; e este caso i estos parámetros se costruirá, itervalos uilaterales superiores (, Ls) co ( α ) de cofiaza. Es decir, co ua cofiaza de ( α ) 00% i= p $ = 0. Por ejemplo, se toma ua muestra de persoas de ua comuidad para determiar p, la proporció de persoas que tiee ua efermedad poco comú, y igua de ellas tiee tal efermedad. Puede etoces cocluirse, si igua medida de cofiabilidad, que e la comuidad o existe la efermedad, ó puede determiarse co u ivel de cofiaza dado, el mayor valor que p podría tomar, sabiedo que e la muestra o se presetó igu efermo. Otro caso similar se preseta cuado se toma ua muestra aleatoria para estudiar u eveto, que e u tiempo dado ocurre pocas veces, esto es, u eveto co ua tasa de presetació λ muy baja. Es comú que el úmero de evetos e la muestra sea cero. Por ejemplo, e ua uidad de salud, e ua muestra de semaas o se ecotró igua mujer embarazada portadora del VIH. Se puede cocluir que semaalmete o cosulta igua embarazada portadora de VIH; ó ecotrar co u ivel de cofiaza dado, el mayor valor posible de λ -el úmero promedio de embarazadas portadoras que semaalmete cosultría- sabiedo que e la muestra estudiada hay cero casos. Se a y, y 2,...y ua muestra aleatoria de ua distribució de Poisso co parámetro descoocido λ, se va a estimar este parámetro cuado los datos observados so y = 0, y 2 = 0,..., y = 0. Como el estimador máximo verosímil de λ es $ λ = y i etoces i= el estimador de λ es 0. E los dos casos la estimació máximo verosímil del parámetro es cero, y esto impide costruir los itervalos de cofiaza co base e los métodos usuales, porque la variaza estimada de dichos estimadores es cero. Como p y λ so parámetros positivos, que a priori se supoe pequeños, para estimar se determiará Ls, el valor más 0 00% 2

3 grade que podría tomar el parámetro. Se preseta alguos métodos para calcular la cota Ls, para el parámetro de cada distribució. Métodos para la costrucció de los itervalos de cofiaza. Estimació del parámetro p de la distribució de Beroulli Jovaovic y Levy (997) deduce la regla del tres, ua regla fácil y rápida para α 00% p determiar la cota superior Ls del itervalo uilateral de ( ) de cofiaza para ; y ecuetra que Ls = l( α ). Si el ivel de cofiaza es del 95%, se obtiee Ls = 3. Haciedo uso de la estadística Bayesiaa se puede modificar esta regla. Supoiedo que p tiee ua distribució a priori Beta (, b), dode b se escoge de acuerdo al coocimieto previo que se tega sobre p; se puede establecer la regla del tres bayesiaa : Ls= ( + b) 3. Para b = se tiee la mayor cota superior, pero si se ha realizado k estudios ateriores, bajo las mismas circustacias del estudio actual, e los cuales o se presetó igú caso k favorable, se puede tomar b = +, dode i = i, 2,..., k so los tamaños de las muestras de los k estudios ateriores. La tabla muestra las cotas superiores para p, que se obtiee al aplicar las reglas descritas ateriormemte co distitos tamaños de muestra. Tabla. Estimació del límite superior del itervalo uilateral del 95% de cofiaza ( 0, Ls) para p co distitos valores de. Tamaño de muestra Regla del tres Regla del tres Bayesiaa co b= Regla del tres Bayesiaa co b=25 3/ 3/ 3/(+25) 0 0,3000 0,3000 0, ,500 0,500 0, ,0600 0,0600 0, ,0300 0,0300 0, ,0060 0,0060 0,0057 La última columa se calculó supoiedo que e u estudio aterior, co ua muestra de tamaño 24, tampoco se observó igú caso favorable. 3

4 2. Estimació del parámetro λ de la distribució de Poisso 2. Itervalo de máxima verosímilitud La probabilidad de observar ua muestra 0, 0, L, 0 de tamaño de ua distribució de Poisso co parámetro λ es Py ( = 0, y = 0,K, = /λ) = e λ 2 y 0 λ Hallado λ tal que e α, se puede establecer u límite superior, Ls para λ de tal maera que ( α ) 00% de los λ que pueda geerar esa muestra sea a lo sumo iguales a Ls, Ls = l( α ). Si α = 0,05 etoces este límite superior es 3. Por ejemplo, si e ua muestra de 20 semaas o se presetó igua paciete portadora del VIH, se puede estimar que la tasa semaal de portadoras es a lo sumo igual a 0,5 casos por semaa. 2.2 Usado u factor de correcció Se sabe que ˆ+ λ a se distribuye asitóticamete ormal, co media λ + a y variaza λ + a dode λˆ es el estimador de máxima verosimilitud de λ y { a } es ua sucesió de costates que cumple ciertas codicioes y que coverge a cero 2. La sucesió {/ m } co m> cumple estas codicioes. Usado la distribució asitótica y tomado α 00 de cofiaza: ( ) % λˆ =0, se costruye el itervalo uilateral del m (0, m + z α ) dode z α es el percetil ( α )00 de la ormal estádar. E ua simulació 3 co m =,;,5; 2,0 y 3,0 y α = 0,05 para distitos valores de λ y se observó que por este método los mejores itervalos se obtiee cuado m=,5. Por ejemplo, si e ua muestra de 20 semaas o se presetó igua paciete portadora del VIH, se puede estimar que la tasa semaal de portadoras es a lo sumo igual a casos por semaa. 2.3 Método bayesiao Co miras a obteer las estimacioes, el método bayesiao permite cosiderar la iformació previa que se tega sobre el parámetro; esto lo hace muy atractivo para los ivestigadores. 4

5 Este método requiere, para estimar u parámetro θ, que ates de tomar la muestra, y, y 2,...y se asige al parámetro ua distribució a priori ξ( θ ) y luego de recoger la muestra, tal distribució se actualice mediate el teorema de Bayes; esta distribució actualizada, ξ ( θ y), recibe el ombre de a posteriori, y se sabe que, ξ ( θ y) es proporcioal a f ( y θ ) ξ ( θ ) siedo f ( y θ ) la distribució que geera la muestra que se tiee, si el parámetro fuera θ. Para determiar la distribució a posteriori se puede usar las familias cojugadas de distribucioes. Ua familia de distribucioes es cojugada si tato la distribució a priori como la a posteriori perteece ella 4. Para la distribució de Poisso la familia cojugada es la familia de distribucioes Gamma que por ser ta amplia permite represetar el coocimieto previo que se tiee sobre la tasa λ, a la que ocurre el eveto. Tomado como distribució a priori de λ ua Gamma ( α, β etoces la distribució a posteriori será ua Gamma, co media ) α + y + i = i,β ( µ = α + y β i= i +. Se puede usar µ como u estimador de λ escogiedo valores apropiados para α y β. E el caso de la muestra co igú eveto, ξ ( λ y ) es ua Gamm a ( α, β+ ) y la estimació sería ( ) $ λ= α β+. Teiedo e cueta que la tasa a la que ocurre el eveto es muy baja y la distribució Gamma es sesgada a la derecha, se puede escoger los valores de α y β iguales y pequeños; de esta forma los λ tedría media uo y ua variaza grade. El estudio de simulació 3 citado ateriormete muestra que si el parámetro verdadero es muy pequeño, tomado valores de α pequeños, como 0,5 ó 0,25, se obtiee itervalos de cofiaza más estrechos, aú e caso de muestras pequeñas. ) Para hallar el itervalo de cofiaza se ecuetra ( ) Ls tal que: P ( 0 λ Ls) y = α ) El itervalo de probabilidad obteido ( 0, Ls sirve como ua buea aproximació auque estrictamete o es u itervalo de cofiaza. 2.4 Resultados úmericos Co los metódos descritos e las seccioes 2. a 2.3 se calcularo los itervalos uilaterales superiores del 95% de cofiaza ( 0, Ls) para alguos tamaños de muestra. E la tabla 2 se muestra esos valores de Ls. 5

6 E el aexo figura el programa e SAS que se utilizó para resolver la ecuació plateada e 2.3. que permite calcular la última columa de la tabla 2. Tabla 2. Estimació del límite superior del itervalo uilateral del 95% de cofiaza 0 ) para λ co distitos valores de. Tamaño (, Ls Máxima Verosimilitud 3 Factor Correcció /,5 de Itervalo Bayesiao α = β = 05, 0 0,3000 0, , ,500 0,6276 0, ,0600 0, , ,0300 0,0502 0, ,0060 0,0547 0,00384 Coclusioes Cuado se quiere estimar p, e el caso de ua muestra que o presetó igú caso favorable todavía es posible determiar, co u ivel de cofiaza dado, cual sería el mayor valor de p que podría esperarse. Los resultados mostrados e la tabla permite cocluir que los itervalos costruídos co la regla del tres bayesiaa so mejores y si se tiee k estudios ateriores similares al actual, dode las muestras o presetaro casos favorables es recomedable tomar b = k +, especialmete si la muestra es pequeña. Para muestras grades es suficiete tomar i = i b =. E el caso de la distribució de Poisso co parámetro λ, cuado la muestra preseta cero evetos tambié es posible estimar, dado u ivel de cofiaza, el mayor valor que λ podría alcazar. Los resultados que se muestra e la tabla 2 permite cocluir que los itervalos calculados co el método bayesiao resulta ser los mejores, cuado se elije adecuadamete los parámetros de la distribució a priori. Ua buea elecció es tomar α = β = 05,, auque si se tiee iformació pasada sobre el proceso, se puede refiar esta elecció teiedo e cueta que mietras más pequeña sea λ, más pequeños debe ser los parámetros escogidos. 6

7 Aexo Programa SAS que calcula, mediate el método bayesiao, el límite superior del itervalo uilateral del 95% de cofiaza para λ el parámetro de la Poisso cuado e ua muestra de tamaño 500 hay cero evetos y co data uo; beta=0.5;*coloque aquí el valor de beta; alfa=beta; =500;*coloque aquí el tamaño de la muestra; b=beta+; s=0.95;*coloque aquí el ivel de cofiaza; ls=gamiv(s,alfa)/b;*este es límite superior; proc prit data=uo; var alfa s ls; ru; quit; Referecias α = β = 05,. Jovaovic BJ, Levy PS. A look at the rule of tree. Am Stat 997; 5(2); Serflig RJ. Approximatio theorems of mathematical statistics. New YorK: Joh Wiley & Sos; Correa, JC, Sierra E. Sobre la estimació de la distribució poisso co tasa pequeña. Reporter Técico. Medellí: Uiversidad Nacioal; DeGroot M.H. Optimal statistical decisios. New York: McGraw-Hill;