Figuras geométricas y números enteros. Introducción

Transcripción

1 Revista del Istituto de Matemática y Física Figuras geométricas y úmeros eteros Juaa Cotreras S. 6 Claudio del Pio O. 7 Istituto de Matemática y Física Uiversidad de Talca Itroducció Etre las muchas relacioes uméricas que ha despertado el iterés de matemáticos y aficioados a la matemática, desde la época de los atiguos griegos, se ecuetra aquellas que se obtiee de la observació de cofiguracioes de putos que represeta úmeros, e ua secuecia de figuras geométricas. Estos úmeros se cooce co el ombre de úmeros figurados. E esta clase de úmeros se ecuetra los llamados úmeros poligoales. Los pitagóricos (500 a.c.), para quiees los úmeros eteros teía u sigificado muy especial, iflueciados por modelos regulares, descubriero que los úmeros teía formas, y cotemplaro e especial propiedades de los úmeros cuadrados. Los griegos realizaro tambié iteresates estudios co úmeros petagoales, hexagoales y otras formas. Represetaba los úmeros eteros por medio de cofiguracioes de putos co formas geométricas muy simples que los caracterizaba. Estos modelos visuales se costituyero e u importate recurso, ya que les permitía descubrir propiedades uméricas y características propias directamete de la observació de los objetos geométricos, y les sugería camios para lograr ua demostració más formal. Los primeros trabajos matemáticos de los pitagóricos fuero sobre los úmeros poligoales. Diofato de Alejadría (00-8 a.c.) tambié trabajó co estos úmeros, legado importates resultados. La costrucció gradual o recurrete de los úmeros poligoales, que cojuga elemetos de aritmética, álgebra y geometría, lo hace u tema iteresate e iicialmete secillo, que puede ser tratado e diversos iveles de eseñaza. E este trabajo se preseta de maera resumida la temática de úmeros poligoales, icluyedo alguas relacioes iteresates y actividades e el tema. El uso de herramietas computacioales, e particular de software matemáticos co capacidades gráficas y diámicas, e el estudio de 6 jcotres@pehueche.utalca.cl 7 cdelpio@pehueche.utalca.cl

2 Revista del Istituto de Matemática y Física úmeros poligoales, potecia actividades de exploració y descubrimieto de propiedades de estos úmeros. Números poligoales Ua descripció más explícita de úmero poligoal se presetará posteriormete. Números triagulares Los úmeros triagulares so aquellos úmeros aturales que se puede represetar mediate ua cofiguració de putos co forma de triágulo, co igual catidad de putos sobre cada lado, y que se costruye agregado, siguiedo u pricipio de recurrecia, ua catidad de putos a la cofiguració del úmero triagular imediatamete aterior. La siguiete figura preseta las cofiguracioes de los cuatro primeros úmeros triagulares: 6 0 Auque u úmero triagular o queda defiido de maera explícita, se desprede claramete a partir de las figuras, u pricipio de formació o ley de recurrecia de estos úmeros. Si se deota por T, T, T,... a los úmeros triagulares obteidos e la primera, seguda, tercera,... etapa, se observa: Etapa T = T = T = + T = = + = T + T = ++ T = 6 = + = T + T = +++ T = 0 = 6 + = T + obteiedo ua ley de formació de estos úmeros: El úmero triagular que ocupa el lugar, >, deotado T se obtiee del úmero triagular aterior T añadiédole el úmero etero. T T = +

3 Revista del Istituto de Matemática y Física De la observació aterior se obtiee que: T = L +, relació que permite obteer de maera explícita el úmero triagular que ocupa el -ésimo lugar: ( +) T = Observacioes. Los pitagóricos dedujero esta fórmula a partir de la observació de úmeros que se represetaba por figuras de ( +) putos:. La misma relació la obtuviero de la represetació del úmero cuadrado obtiee agregado a la figura aterior ua columa co + putos. ( +), que se ( +) Específicamete: T + ( + ) = ( + ) obteiedo: T =. E la figura aterior se observa tambié, que la suma de dos úmeros triagulares sucesivos, de lugares y +, es u cuadrado perfecto: T + T + = ( + ). Los úmeros triagulares se forma como sumas parciales de la progresió o sucesió aritmética:

4 Revista del Istituto de Matemática y Física,,,, 5,... obteiedo la sucesió de úmeros triagulares: tal que el -ésimo úmero triagular es:, +, + +, + + +,... T = + + L ( ) + = ( + ) Actividad Se cueta co 0000 fichas circulares. a) Cuál es el mayor úmero triagular que puede represetar co las 0000 fichas? b) Si co las 0000 fichas se costruye, uo tras otro, los úmeros triagulares:,, 6, 0, etc. Cuál es el mayor úmero triagular que se alcaza a costruir? Nota a) Co apoyo de u software geométrico, se puede costruir de diversas maeras, cofiguracioes geométricas de úmeros triagulares, usado las trasformacioes geométricas (traslacioes, reflexioes, rotacioes, homotecia). b) Co u software co capacidades algebraicas y gráficas, se puede apoyar el estudio aritmético, algebraico y gráfico. Por ejemplo, la siguiete figura preseta el gráfico, e coordeadas cartesiaas, de los pares ordeados, T ) : ( Números Cuadrados Los úmeros eteros asociados a cofiguracioes de putos co forma de cuadrados, se llama úmeros cuadrados. La siguiete figura muestra las cofiguracioes de los cuatro primeros úmeros cuadrados: 5

5 Revista del Istituto de Matemática y Física 9 6 Si se deota por C, C, C,... a los úmeros cuadrados obteidos e la primera, seguda, tercera,... etapa, se observa: C = C = C = + C = = C + C = +5=++5 C = 9 = C + 5 C = 9+7=++5+7 C = 6 = C obteiedo ua ley de formació de estos úmeros: El úmero cuadrado de lugar, >, deotado C se obtiee del úmero cuadrado de lugar, deotado C añadiédole el úmero etero impar C = C + ( ) La cofiguració que se añade a C para obteer la figura del úmero cuadrado C tiee la forma de ua escuadra (llamada gomo por los pitagóricos), co putos. Observacioes:. Los úmeros cuadrados correspode a las sumas parciales de los térmios de la progresió aritmética co primer térmio y diferecia costate d=:,, 5, K obteiedo la sucesió de úmeros cuadrados:, +, + + 5, ,.... De la observació aterior se obtiee que: C = = L + ( ) 6

6 Revista del Istituto de Matemática y Física. De la observació de las cofiguracioes de úmeros cuadrados se obtiee ua relació etre úmeros cuadrados y úmeros triagulares: C = T + T. Resumiedo, el úmero cuadrado que ocupa el -ésimo lugar, o el correspodiete a la etapa cumple las siguietes relacioes: C = C + ( ) C = T + T C = L+ ( ) = Números petagoales Los úmeros eteros asociados cofiguracioes de putos co forma de petágoos, se llama úmeros petagoales. Las cofiguracioes de los tres primeros úmeros petagoales so: 5 Deotado por P P,, K a los úmeros petagoales, se tiee que:, P P = P = P = + P = 5 = P + P = ++7 P = = P + 7 P = P = = P obteiedo ua ley de formació de estos úmeros: 7

7 Revista del Istituto de Matemática y Física El úmero petagoal de lugar, >, deotado P se obtiee del úmero cuadrado de lugar, deotado P añadiédole el úmero etero impar P = P + ( ) Observacioes. Los úmeros petagoales correspode a los térmios de la sucesió de sumas parciales de la progresió aritmética co primer térmio y diferecia costate :,, 7, 0,,... cuyo -ésimo térmio es -, obteiedo la sucesió de úmeros petagoales:, +, ++7, ++7+0,.... El -ésimo úmero petagoal correspode a: P = L + ( ). Ua maera de obteer ua fórmula explícita del úmero petagoal P es: P = P = P = ( ) obteiedo: P = ( ), de dode: P =. Otra relació iteresate que se observa es la siguiete: cada úmero petagoal, a partir del segudo, se puede represetar como la suma de u úmero cuadrado y u úmero triagular: P = +, P = 9 +, P = 6 + 6, L relació que se expresa: ( ) ( ) P = C + T = + = para cada >. Actividad. Qué clase de úmeros poligoales se obtiee calculado el promedio etre y, para =,,,K?. Respecto de la relació etre úmeros petagoales, cuadrados y triagulares. E la cofiguració de u úmero petagoal, idetificar ua cofiguració del úmero cuadrado y triagular. Observació Cotiuado co el procedimieto seguido e la costrucció de cofiguracioes de putos de los úmeros triagulares, cuadrados, petagoales, se puede deducir que los úmeros 8

8 Revista del Istituto de Matemática y Física hexagoales correspode a los térmios de la sucesió de sumas parciales de ua progresió aritmética co primer térmio y diferecia :, 5, 9,,... Actividad. Obteer los cico primeros úmeros hexagoales y obteer ua fórmula explícita para el - ésimo úmero hexagoal H. Existe úmeros, distitos de, que so al mismo tiempo úmeros triagulares y cuadrados?.. La siguiete secuecia de úmeros: [685, 86, 00, 8, 79, 590, 86, 057,, 58, 870] correspode a úmeros poligoales cosecutivos asociados a u polígoo de m lados. Determiar m. Números poligoales Ua descripció más explícita de úmero poligoal es la siguiete: Sea m u úmero atural fijo, m. Los úmeros m-poligoales (triagulares, cuadrados, etc.) so aquellos úmeros aturales que se puede represetar mediate ua cofiguració de putos co forma de u polígoo de m-lados, que ha sido costruidos, aidado la cofiguració del úmero m-poligoal imediatamete aterior, y cada vértice homotético respecto de u vértice comú, tal que: Las ateriores cofiguracioes de polígoos de m-lados, correspode a los úmeros m- poligoales que tiee sucesivamete uo, dos, tres,... putos sobre cada lado del polígoo. El úmero total de putos e la cofiguració de la k-ésima etapa, dode hay k putos sobre cada lado, correspode al k-ésimo úmero m-poligoal: Q(m,k) Este úmero correspode a la suma de los térmios de la progresió aritmética: Luego:, + ( m ), + ( m ), K, + ( k )( m ) Q( m, k) = + + ( m ) + + ( m ) + K + + ( k )( m ) 9

9 Revista del Istituto de Matemática y Física ( m )( k ) k obteiedo: Q( m, k) = k +, k( + ( m )( k )) expresió equivalete a: Q ( m, k) = de modo que, para k=,,,, 5,... se obtiee la sucesió de úmeros m-poligoales. Números poligoales co DERIVE Se defie las siguietes fucioes e DERIVE: Usado estas fucioes: Q ( m, k) : = k( + ( m )( k )) / Poligoal( m,r,s): = vector([k,q(m,k)], k, r, s) Para m=, se obtiee úmeros triagulares asigado a k los valores,,,.... Por ejemplo: Para m=, se obtiee úmeros cuadrados. Por ejemplo: Para m=, se obtiee úmeros -poligoales, y la fórmula explícita del -ésimo úmero poligoal es: DERIVE: software computacioal de propósitos matemáticos co capacidades de cálculo umérico, simbólico y gráfico, especialmete diseñado para la eseñaza de la matemática, de eseñaza media y superior. 0

10 Revista del Istituto de Matemática y Física Actividad 5 a) De las cofiguracioes de úmeros cuadrados se obtuvo ua relació de éstos co úmeros triagulares. Escribir la relació. b) Calcular T + T, T + T, T + T, dode T represeta el -ésimo úmero triagular. Idetificar estos úmeros, euciar la propiedad que observa e itetar demostrarla. c) De maera aáloga, idetificar los úmeros T + T, T + T, T + T. Observacioes fiales. U importate teorema establecido por P. Fermat (matemático fracés, ), y probado 60 años más tarde por Cauchy (matemático fracés, ) es: Todo úmero atural es u úmero m-poligoal, o la suma de a lo más m úmeros m- poligoales E particular: Todo úmero atural es u úmero triagular, o es suma de a lo más tres úmeros triagulares. Todo úmero atural es u úmero cuadrado, o es suma de a lo más cuatro úmeros cuadrados.. Otros resultados, obteidos por C. G. Bachet (matemático fracés, 58-68) so: a) Todo úmero m-poligoal es suma de u úmero triagular que ocupa el mismo lugar y (m-) veces el úmero triagular que ocupa el lugar imediatamete aterior. Q(m,)=Q(,)+(m-)Q(,-) Este resultado señala que la sucesió de úmeros poligoales que ocupa el mismo lugar, costituye ua progresió aritmética. Por ejemplo: b) Q(m,) = Q(m-,) + Q(, -), para todo m, IN, m >

11 Revista del Istituto de Matemática y Física. Actualmete, los avaces alcazados e tecología computacioal juto co el desarrollo de software matemáticos, ha permitido experimetar co úmeros poligoales y así, ecotrar propiedades de estos úmeros y obteer curiosas relacioes y cojeturas. a) Por ejemplo: Los úmeros,,,,... así como los úmeros 55, 5050, , , ,... so triagulares. Las dos listas siguietes de úmeros poligoales: permite observar que el 5 es u úmero triagular que ocupa el oveo lugar y es el quito úmero hexagoal y 5=9*5. Otro úmero triagular y hexagoal es 950, y es tal que T 99 = H 50 = 950 y 99*50=950. La siguiete proposició se ecuetra e estado de cojetura: Es cierta la observació aterior para todos los úmeros que so al mismo tiempo triagulares y hexagoales? b) Notar que para cada úmero atural m, Q(m,) es ua expresió cuadrática. Luego, los pares ordeado (, Q(m,)) so putos de ua parábola. La visualizació de los gráficos de estos cojutos e el plao cartesiao ha permitido realizar iteresates exploracioes y platear uevas cojeturas.. Estudios, aálogo al de úmeros poligoales e el plao, se ha realizado co cofiguracioes de úmeros e tres dimesioes, formado pilas piramidales de esferas sobre bases triagulares, cuadradas, etc. Por ejemplo, los primeros úmeros -piramidales so:,, 0, 0,...,y los primeros úmeros -piramidales so:, 5,, 0, etc. Fialmete, cabe señalar la importacia de los úmeros poligoales y úmeros figurados e la Teoría de los Números, cuyo estudio ha cotribuido co importates resultados e iteresates desafíos.

12 Revista del Istituto de Matemática y Física Bibliografía [] Abramovich, S. et all. Multiple-Applicatio Medium for the Study of Polygoal Numbers. Proceedigs of the 99 Iteratioal Symposium o Mathematics/Sciece Educatio ad Techology. Charlottesville. 99. [] Duvillié, B. Sur les traces de l'homomathematicus. Ellipses [] Garder, M. Nuevos pasatiempos matemáticos. Aliaza Editorial. 966 [] Stewart, B.M. Theory of Numbers. The MacMilla Co. 96.